Keresés

Rekonstruáljuk a hatásintergált:

Az időfüggő tagot nem a kinetikus energiához vettem, hanem a potenciális energiához.

T-V(t)

Ebből már könnyű az időfüggő Hamilton operátort átszámolni...

Aztán kalapozhatjuk a harmonikus oszcillátort.

Szeparáljuk a bázisfüggvényeket:

c₂ és c₃ tetszőlege.

c₁ és ω₂ kiadódik.

Tulajdonképpen számozhattam volna másképp is, hogy a kiadódók azonos indexelést kapjanak.

Kicsit átparamétereztem, hogy megoldható legyen:

 x₁    = c₁ sin ω₁t

(x₂)" = Z₂ x₁ - Z₂ x₂

Ezt szépen belyelyettesítjük:

(x₂)" = Z₂ c₁ sin ω₁t - Z₂ x₂

Egyrészt ezt a differenciálegyenletet kell megoldani.

Viszont sokkal fontosabb, hogy ebből a hatásintegrált rekonstruálni lehessen.

Többértelműség. Az első tagban nincs sem x₂ sem pedig az idő szerinti első deriváltja.

De most mi időfüggő potenciált akarunk, nem pedig időfüggő tömeget. ;)

d(d(m₂(x₂')²/2)/dx₂')/dt + d(c1 (cos(ω₁t)-x₂)/2)dx₂

Valahogy így. Majd képletszerkesztővel leírom rendesen...

(x₁)" = -(Z₁+Z₃) x₁ + Z₃ x₂

(x₂)" =           Z₂ x₁ -  Z₃ x₂

Átgondoltam.

A két egyenlet közül az egyiket le fogom cserélni explicit időfüggésre. (Csak még nem döntöttem el, hogy melyiket.)

x_? = sin ωt

És majd ebből kell "rekonstruálni" a hatásintegrált, majd pedig abból az időfüggő H(t) energiaoperátort.

Talán megcsinálom mindkét esetet...

A próbafüggvényekben a c_hk együtthatók komplex számok. (Fázis.)

Behelyettesítés után egyeztetjük az együtthatókat:

Ehhez két független másodfokú egyenletet kell megoldani:

Csatolt rezgéseket kaptunk

A frekvenciák függenek a rezgések kitérésétől.

Próbafüggvény módszer:

x₁ = c₁₁ e^iω₁t + c₁₂ e^iω₂t

x₂ = c₂₁ e^iω₁t + c₂₂ e^iω₂t

(x₁)" = -Ω₁ c₁₁ e^iω₁t - Ω₂ c₁₂ e^iω₂t

(x₂)" = -Ω₁ c₂₁ e^iω₁t - Ω₂ c₂₂ e^iω₂t

(x₁)" = -(Z₁+Z₃) x₁ + Z₃ x₂

(x₂)" =           Z₂ x₁ -  Z₃ x₂

Behelyettesítés után egyeztetjük a különböző frekvenciájú alapfüggvények (_?bázisok^?) együtthatóit:

(Z₁+Z₃) c₁₁ - Z₃ c₂₁ = Ω₁ c₁₁

(Z₁+Z₃) c₁₂ - Z₃ c₂₂ = Ω₂ c₁₂

Z_{2 *} (c₂₁-c₁₁) = Ω₁ c₂₁

Z_{2 *} (c₂₂-c₁₂) = Ω₂ c₂₂

Ebből:

Ω₁ = Z_{2 *} (c₂₁-c₁₁)/c₂₁

Ω₂ = Z_{2 *} (c₂₂-c₁₂)/c₂₂

Visszahelyettesítve:

(Z₁+Z₃) c₁₁ - Z₃ c₂₁ = c_{11 *} Z_{2 *} (c₂₁-c₁₁)/c₂₁

(Z₁+Z₃) c₁₂ - Z₃ c₂₂ = c_{12 *} Z_{2 *} (c₂₂-c₁₂)/c₂₂

Az átszorzást holnap folytatom...

Megpróbálkozok az m₁=∞ illetve m₂=∞ közelítéssel.

m₂=∞, x₂=konstans

m₁ (x₁)" = -(k₁+k₂) x₁

Ω₁ = ω₁ = k₁/m₁

Ω₃ = ω₃ = k₂/m₁

Ω = Ω₁ + Ω₃

(x₁)" = -(Ω₁+Ω₃) x₁ = -Ω x₁

A megoldást x₁(t) = C sin ωt alakban keressük, ahol Ω=ω².

x₁ = C sin ωt

(x₁)' = C ω cos ωt

(x₁)" = -C ω² sin ωt = -C Ω sin ωt

Behelyettesítve:

-C ω² sin ωt = -C Ω sin ωt = -C (Ω₁+Ω₃) sin ωt

ω = √(k₁/m₁+k₂/m₁) = √( (k₁+k₂)/m₁ )

m₁=∞, x₁=konstans

m₂ (x₂)" =  -k₂ x₂

Ω₂ = ω₂ = k₂/m₂

A megoldást x₂(t) = C sin ω₂t alakban keressük.

x₂ = C sin ω₂t

(x₂)' = C ω₂ cos ω₂t

(x₂)" = -C (ω₂)² sin ω₂t = -C Ω₂ sin ω₂t

Behelyettesítve:

-C (ω₂)² sin ω₂t = -C Ω₂ sin ω₂t

ω = √(k₂/m₂)

Következhet a perturbáció...

λ_1,2 = ( (A+B+C) ± √( (A+B+C)²-4AB ) )/2AB

Helyesbítés:

λ_1,2 = ( (A+B+C) ± √( (A+B+C)²-4AB ) )/2

Már nagyon idegesítő, hogy nem jön ki a megoldás. :(

m₁ (x₁)" = -(k₁+k₂) x₁ + k₂ x₂

m₂ (x₂)" =          k₂ x₁  - k₂ x₂

És most nem lesz Ω = ω² = k/m

mert ez azt sugallaná, hogy ezek a körfrekvenciák fognak megjelenni. De ez egyáltalán nem biztos, sőt nem is jön ki.

A = k₁/m₁

B = k₂/m₂

C = k₂/m₁

Ezekről tudjuk, hogy egyik sem negatív. Ennek később lesz még szerepe.

(x₁)" = -(A+C) x₁ + C x₂

(x₂)" =          B x₁  - B x₂

Determináns alakban:

| A+C-λ, -C   |

|        -B, B-λ |

det = (A+C-λ) _* (B-λ) - BC =

      = AB + BC - Bλ -Aλ -Cλ + λ² - BC =

      = AB + BC - BC - (A+B+C)λ + λ² =

      = λ² - (A+B+C)λ + AB

A másodfokú megoldóképlettel:

a = 1

b = - (A+B+C)

c = AB

λ_1,2 = ( (A+B+C) ± √( (A+B+C)²-4AB ) )/2AB

A diszkrimináns:

(A+B+C)²-4AB = (A-B)²+C²+2AC+2BC

Amiről belátható, hogy nem negatív.

Ha C=0:

0 ≤ (A-B)²

viszont ha A=0 vagy B=0:

0 ≤ (B+C)²

illetve

0 ≤ (A+C)²

de sajnos egyszerűbb alakra hozni nem sikerült.

Pedig szép lett volna valami (A-B+C)² alakra hozni.

Végül a sajátértékekből még négyzetgyököt kellene vonni. A gyökvonásnál hamis gyök is keletkezhet. :(

https://forum.index.hu/Article/viewArticle?a=156856378&t=9168928

Még gyökölök vele...

Számomra a hossz és a távolság pozitív (illetve nemnegatív) skalár mennyiségek.

Tehát a távolságtól függő potenciális energiát eleve úgy írtam fel, hogy a nagyobb távolságból volntam ki a kisebbet: x₂-x₁.

Miért x₁-x₂? Miért nem x₂-x₁?

Az rendben van, hogy az előjel a kettő közül valamelyiknél megfordul.

Keressük a megoldást a következő alakban:

x₁ = A₁ sin ωt

x₂ = A₂ sin ωt

Ha jól veszem fel a potenciális energiát, és nem fordítva, akkor az alábbi eredmény kapható:

A₂ = -A₁ m₁/m₂

vagyis az amplitudók fordítottan arányosak a tömegekkel.

A₂/A₁ = m₁/m₂

ω² = k / (m₁ × m₂ ) = k / ( (1/m₁) + (1/m₂) )

A potenciális energiát azonban nem lehet ész nélkül felírni. Ellenőrizni kell, hogy a hely szerinti deriváltja a megfelelő irányú erőt adja.

https://youtu.be/3YARPNZrcIY?list=PLQrxduI9Pds1fm91Dmn8x1lo-O_kpZGk8&t=3486

Sokadik próbálkozásra sikerült megoldanom az egyszerűsített példát: rúgó két végén különböző tömegek.

A probléma nem matematikai természetű.

L=T-V

Csakhogy

V(x₁,x₂) = k _* (x₁-x₂)²/2 = k _* (x₂-x₁)²/2

:(

A potenciális energia szempontjából mindegy (mert a négyzet megeszi az előjelet), de az erő szempontjából már nem.

Rossz előjellel persze nem jön ki az eredmény.

Na most ilyenkor mi van?

Egyszerűsítettem a feladatot, csak egy rúgó van. De úgy sem akar kijönni a megoldás.

Pedig ott egyértelműen a közös tömegközéppont körül kellene rezegnie.

Kváziperiodikus. Speciális esetben lehet periodikus is.

De nem inga, hanem órarúgógerincű felpattanó.

A megoldás pedig azért érdekes, mert ebből lesz majd időfüggő Hamilton. Ha egyszer sikerül megoldani.

Ez nem valamiféle kaotikus inga?

Tehát a rezgések szétcsatolódnak, amikor m₁ >> m₂ és m₁/k₁ >> m₂/k₂ esete vizsgáltatik.

Úgy tűnik, hogy ez csak közelítés.

Ugyanis sem egy, sem pedig kettő sajátértékkel nem lehet a próbafüggvény együtthatóit tökéletesen egyeztetni.

(Megpróbáltam három sajátértékkel is, de ott már túl sok a szabadsági fok. Habár azt nem hinnám, hogy három lenne neki.)

Talán az lehet a baj, hogy tisztán képzetes sajátértékekkel próbálkoztam, ami még a közelítőleg csatolatlan rezgések határesetében sem teljesül pontosan.

https://forum.index.hu/Article/viewArticle?a=156856063&t=9168928

Elnézést, ezt elkapkodtam és kimaradt a lényeg. ;)

Hogyan lehetséges, hogy a földszinten álló üres liftbe két ember száll be, és az első emeleten már hárman szállnak ki belőle?

De az nem is volt mondva az elején, hogy üres volt a lift. 

De hát olyan nincs.

Ez csak definíció kérdése. ;)

Vicc:

Megkérdeznek egy fizikust, egy biológust és egy matematikust.

Hogyan lehetséges, hogy a földszinten álló liftbe két ember száll be, és az első emeleten már hárman szállnak ki belőle?

A fizikus szerint ez ellentmond az anyagmegmaradás elvének.

A biológus szerint ez a természetes szaporulat.

A matematikus szerint viszont csak definíció kérdése: a földszinte álló lift akkor üres, ha egy ember már van benne. :D

>Nagyon fontos. Ugyanis az időfüggő Hamilton operátort akarom vizsgálni, ha majd...

:DDD

#De hát olyan nincs. (Legalább is a K.K - G.Á féle elképzelési módon...) A project megbukott.

Ez pedig m₂>m₁ esete:

A nagyobb tömeg mozgását alig befolyásolja a kisebbik fickándozása.

Ezzel együtt a nagyobb tömeg mozgásának visszahatása is kicsi.

m₁>>m₂:

Szimuláció m₁>m₂ esetére:

Nagyon fontos. Ugyanis az időfüggő Hamilton operátort akarom vizsgálni, ha majd beleülök x₂ rendszerébe.

Annyi azonban biztos, hogy egy labda pattogását elhanyagolhatóan befolyásolja a Föld keringése a Nap körül.

Tehát a rezgések szétcsatolódnak, amikor m₁ >> m₂ és m₁/k₁ >> m₂/k₂ esete vizsgáltatik.

Vagyis mindenképpen kell lennie a próbafüggvényben Ω = ω² = k₁/m₁ körfrekvenciának.

Elsőrendű lineáris diffegyenlet-rendszer megoldására találtam leírást.

Másodrendűnél viszont csak próbafüggvényekkel majomkodhatok, de túl sok az ismeretlen együttható.

Itt van egy szimuláció:

https://www.myphysicslab.com/springs/double-spring-en.html

Sajnos a rúgómerevség és a hossz közös, ami az általánosság rovására történő megszorítás.

Ráfüggtél erre a kéttömegű agyzsibbasztóra? :D

Fontos az egzakt megoldás? Szimulálni triviális, és gyakorlati célra megfelelő.

Még nem tudtam megoldani.

Asszem még soha életemben nem oldottam meg másodrendű parciális differencoálegyenlet-rendszert.

De az alfa sem!