Nahát, a gömbharmonikus függvények tényleg alapvetők a kvantummechanikában, de, hogy még a szamelmélettel is összefüggésbe hozhatók, azt nem gondoltam volna. Irigylem a tudásodat.
P.S. Egy link lemaradt: konvolúció csoportokon. A kommutatív konvolúció-algebrákat azért szeretjük, mert egyszerűbb a reprezentációelméletük (pl. sok mindent vissza lehet vezetni a klasszikus Fourier-transzformáltra).
Egy csoportot jól lehet vizsgálni a reprezentációi segítségével. Ha G egy unimoduláris topologikus csoport (ide tartoznak a kompakt csoportok, így a véges csoportok is), akkor célszerű a csoport (jobb)hatását nézni az L2(G) Hilbert-téren, amely algebra is a konvolúcióra nézve. Fontos kérdés, hogy ez a Hilbert-tér hogyan bomlik fel a G irreducibilis Hilbert-tér reprezentációinak direkt integráljára (kompakt csoport esetében direkt összegére).
Legyen K egy maximális kompakt részcsoport a G-ben (ha ilyen van). Az L2(G) egy fontos zárt alterét alkotják azok a függvények, amelyek balról és jobbról is invariánsak a K-ra nézve. Ezek egy konvolúció-részalgebrát alkotnak, a jele L2(KG/K). Ez utóbbinak a harmonikusai a fizikában is nagyon fontosak, lásd itt. Az L2(KG/K)-t különféle (G,K) párok esetén Hecke-algebrának nevezzük, és a fentiekből világosnak kell lennie, hogy a reprezentációelméletben (globális analízisben, szimmetrikus terek elméletében, számelméletben stb.) nagyon fontosak. Ne csak Lie-csoportokra gondolj, mint pl. G=SLn(C) és K=SUn(C), hanem p-adikus csoportokra is mint pl. G=SLn(Qp) és K=SLn(Zp).
Már rámutattam arra, hogy az állításod miért nem következik a Landauból, illetve általában miért tarthatatlan (az állításod lényege, hogy két Hilbert-tér, melyet általános unitér transzformációk kötnek össze, nem "ekvivalensek"). Elfoglaltabb vagyok most annál, hogy feleslegesen magyarázzak, kivéve ha fizetsz érte.
Meg a b=-1 is egy nagyon egyszerű eset, amire korábban nem is gondoltam.
Neked sikerült belátnod a Hamilton-operátor időfüggőségi problémásságát? Minden könyvemet (majdem) átnyálaztam, és mindenhol olyan dolgok vannak, hogy az nem megy ki abból a kitranszformálható keretből, amit mondtam, illetve legfeljebb a kis perturbációkra engedhető meg, de ez utóbbi is csak elhanyagolások mellett. (Csak emlékeztetőül...) :)
Akkor mondom egyszerűbben. Tekintsük az SLn(R) csoporton azokat az f(x) függvényeket, amelyekre f(k1xk2)=f(x) teljesül minden k1, k2 eleme SOn(R) és x eleme esetén SLn(R). Ezek a függvények a konvolúcióra nézve zártak, és a meglepő állítás az, hogy a konvolúció kommutatív: f*g=g*f. Az (SLn(R),SOn(R)) helyett sok más párra igaz ez az állítás, lásd Gelfand-pár.
hasonló ötlettel igazolható, hogy a különféle Hecke-algebrák kommutatívak (lásd itt).
Sajnos ez nekem teljesen kínai. Azt látom, hogy ezeknek a Hecke-algebráknak van közük a Weyl-csoportokhoz, és azt a könyvet is épp Weyl írta, aminek egy darabkáját 193-ban mutattam. De van ennek a két dolognak valami köze egymáshoz a személy azonosságán kívül?
Ha G egy n elemű csoport, akkor izomorf a GLn(Z) egy részcsoportjával. Tehát semmi megkötést nem jelent, ha egy véges csoport elemeiről felteszed, hogy invertálható mátrixok.
Amúgy meg minden csoportban igaz az, hogy ha bb=1, akkor b=b-1. Ebből egyáltalán nem következik az, hogy bab=a esetén b=1.
Ezek standard dolgok, sok tankönyvben, példatárban, gyakorlaton, stb. megtalálhatók. Egyébként az Általad említett bizonyítás variánsa máshol is előjön, pl. hasonló ötlettel igazolható, hogy a különféle Hecke-algebrák kommutatívak (lásd itt).
Igen, minden p rendű csoport ciklikus (ha p prím), és minden p2 rendű csoport vagy ciklikus vagy két ciklikus p rendű csoport direkt szorzata. Általánosan is igaz, hogy prímhatványredű csoport centruma nemtriviális, ezért a csoport feloldható (ez indukcióval következik).
Nagyon köszönöm! Illett volna felismernem, mert már találkoztam vele máskor is. Meg hát azért is, mert összesen 2 darab 4-elemű csoport létezik, de az fel sem merült bennem, hogy ez ilyen egyszerű. Gondolom, Te ezt fejből tudtad. Most már én is (amíg el nem felejtem).
Nemkommutatív csoportban sem következik a bab=a egyenletből, hogy b=1. Jegyezzük még meg, hogy ha minden elem négyzete az identitás, akkor a csoport automatikusan kommutatív.
Egyből látszik a dolog onnan is, hogy x és y (azaz a,b,c mindegyik elem) felcserélhető egymással. Ekkor közös a sajátvektoraik halmaza. Tehát nem lehetnek különböző csoportelemek.
