Keresés

Részletes keresés

mma Creative Commons License 2021.01.26 0 0 227

Nahát, a gömbharmonikus függvények tényleg alapvetők a kvantummechanikában, de, hogy még a szamelmélettel is összefüggésbe hozhatók, azt nem gondoltam volna. Irigylem a tudásodat.

Előzmény: Gergo73 (224)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.26 0 1 226

P.S. Egy link lemaradt: konvolúció csoportokon. A kommutatív konvolúció-algebrákat azért szeretjük, mert egyszerűbb a reprezentációelméletük (pl. sok mindent vissza lehet vezetni a klasszikus Fourier-transzformáltra).

Előzmény: Gergo73 (224)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.26 0 0 225

a jele L2(KG/K)

 

Helyesen: a jele L2(K\G/K).

Előzmény: Gergo73 (224)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.26 0 1 224

Egy csoportot jól lehet vizsgálni a reprezentációi segítségével. Ha G egy unimoduláris topologikus csoport (ide tartoznak a kompakt csoportok, így a véges csoportok is), akkor célszerű a csoport (jobb)hatását nézni az L2(G) Hilbert-téren, amely algebra is a konvolúcióra nézve. Fontos kérdés, hogy ez a Hilbert-tér hogyan bomlik fel a G irreducibilis Hilbert-tér reprezentációinak direkt integráljára (kompakt csoport esetében direkt összegére).

 

Legyen K egy maximális kompakt részcsoport a G-ben (ha ilyen van). Az L2(G) egy fontos zárt alterét alkotják azok a függvények, amelyek balról és jobbról is invariánsak a K-ra nézve. Ezek egy konvolúció-részalgebrát alkotnak, a jele L2(KG/K). Ez utóbbinak a harmonikusai a fizikában is nagyon fontosak, lásd itt. Az L2(KG/K)-t különféle (G,K) párok esetén Hecke-algebrának nevezzük, és a fentiekből világosnak kell lennie, hogy a reprezentációelméletben (globális analízisben, szimmetrikus terek elméletében, számelméletben stb.) nagyon fontosak. Ne csak Lie-csoportokra gondolj, mint pl. G=SLn(C) és K=SUn(C), hanem p-adikus csoportokra is mint pl. G=SLn(Qp) és K=SLn(Zp).

Előzmény: mma (223)
mma Creative Commons License 2021.01.26 0 0 223

Ezt így már értem. De hol jelennek meg ilyen függvények, amiknek ráadásul még a konvolúciójuk is érdekes? És mi a jelentősége annak, ha az kommutatív?

Előzmény: Gergo73 (211)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.25 0 0 222

Nem. n=8 hoz még nem.

Előzmény: szabiku_ (221)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.25 0 0 221

De már az n=8 hoz is.

Előzmény: szabiku_ (220)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.25 0 0 220

Úgy látom a Pauli-mátrixokat tartalmazó csoport az n=16 hoz tartozik. Ugye? 

Előzmény: mma (205)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.25 0 0 219

Gondolkoztam bonyolultabb eseten, de nem találok.

Előzmény: G.Á 0123 (215)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.25 0 0 218

Az állításom lényege nem az... (de ezt a témát átviszem a másik topikba.)

Előzmény: G.Á 0123 (217)
G.Á 0123 Creative Commons License 2021.01.25 0 1 217

Már rámutattam arra, hogy az állításod miért nem következik a Landauból, illetve általában miért tarthatatlan (az állításod lényege, hogy két Hilbert-tér, melyet általános unitér transzformációk kötnek össze, nem "ekvivalensek"). Elfoglaltabb vagyok most annál, hogy feleslegesen magyarázzak, kivéve ha fizetsz érte.

Előzmény: szabiku_ (216)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.25 -1 0 216

Köszi.

Meg a b=-1 is egy nagyon egyszerű eset, amire korábban nem is gondoltam.

 

Neked sikerült belátnod a Hamilton-operátor időfüggőségi problémásságát? Minden könyvemet (majdem) átnyálaztam, és mindenhol olyan dolgok vannak, hogy az nem megy ki abból a kitranszformálható keretből, amit mondtam, illetve legfeljebb a kis perturbációkra engedhető meg, de ez utóbbi is csak elhanyagolások mellett. (Csak emlékeztetőül...) :) 

Előzmény: G.Á 0123 (215)
G.Á 0123 Creative Commons License 2021.01.25 0 1 215

Pl  b=diag(-1,1)

    a=diag(1,-1)

Előzmény: szabiku_ (213)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.25 0 0 214

> ... közös a sajátvektoraik halmaza. Tehát nem lehetnek különböző csoportelemek.

 

#Ez sem igaz. :/

Előzmény: szabiku_ (198)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.25 0 0 213

A hasonlósági transzformációkkal kapcsolatban kérdezek:

Milyen egyszerű négyzetes mátrix példa van erre?

 

b =/= 1 mellett:

 

b-1ab = a

 

megszorítottabb eset:

 

bab = a

Előzmény: Gergo73 (209)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.25 0 0 212

Nyelvbotlás: x eleme esetén SLn(R) --> x eleme SLn(R) esetén

Előzmény: Gergo73 (211)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.25 0 0 211

Akkor mondom egyszerűbben. Tekintsük az SLn(R) csoporton azokat az f(x) függvényeket, amelyekre f(k1xk2)=f(x) teljesül minden k1, k2 eleme SOn(R) és x eleme esetén SLn(R). Ezek a függvények a konvolúcióra nézve zártak, és a meglepő állítás az, hogy a konvolúció kommutatív: f*g=g*f. Az (SLn(R),SOn(R)) helyett sok más párra igaz ez az állítás, lásd Gelfand-pár.

Előzmény: mma (210)
mma Creative Commons License 2021.01.25 0 0 210

 hasonló ötlettel igazolható, hogy a különféle Hecke-algebrák kommutatívak (lásd itt).

 

 

Sajnos ez nekem teljesen kínai. Azt látom, hogy ezeknek a Hecke-algebráknak van közük a Weyl-csoportokhoz, és azt a könyvet is épp Weyl írta, aminek egy darabkáját 193-ban mutattam. De van ennek a két dolognak valami köze egymáshoz a személy azonosságán kívül?

Előzmény: Gergo73 (207)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.24 0 1 209

Ha G egy n elemű csoport, akkor izomorf a GLn(Z) egy részcsoportjával. Tehát semmi megkötést nem jelent, ha egy véges csoport elemeiről felteszed, hogy invertálható mátrixok.

 

Amúgy meg minden csoportban igaz az, hogy ha bb=1, akkor b=b-1. Ebből egyáltalán nem következik az, hogy bab=a esetén b=1.

Előzmény: szabiku_ (208)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.24 -1 0 208

És (négyzetes) mátrixoknál? Meg ott, ha bb = 1, vagyis b=b-1

Előzmény: Gergo73 (201)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.24 0 0 207

Neked hogy jut ilyesmi az eszedbe?

 

Ezek standard dolgok, sok tankönyvben, példatárban, gyakorlaton, stb. megtalálhatók. Egyébként az Általad említett bizonyítás variánsa máshol is előjön, pl. hasonló ötlettel igazolható, hogy a különféle Hecke-algebrák kommutatívak (lásd itt).

Előzmény: mma (206)
mma Creative Commons License 2021.01.24 0 0 206

Ha minden elem négyzete az identitás, akkor a csoport automatikusan kommutatív.

 

Ez is érdekes, és egyúttal olyan egyszerű, hogy még én is be tudom bizonyítani: 

 

Ha minden elem négyzete 1, akkor minden elem inverze önmaga, így tetszőleges a és b elemekre

 

ab = a-1b-1 = (ba)-1 = ba

 

De ez megint olyan, ami bennem soha nem merült volna fel. Neked hogy jut ilyesmi az eszedbe?

Előzmény: Gergo73 (201)
mma Creative Commons License 2021.01.24 0 0 205

Hát igen, nem árt, ha az ember tud ezekről, ha csoportokkal foglalkozik. Örök tanulságként belinkelem ide magamnak az első 64 különböző rendű csoportok táblázatát.

Előzmény: Gergo73 (204)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.24 0 1 204

Igen, minden p rendű csoport ciklikus (ha p prím), és minden p2 rendű csoport vagy ciklikus vagy két ciklikus p rendű csoport direkt szorzata. Általánosan is igaz, hogy prímhatványredű csoport centruma nemtriviális, ezért a csoport feloldható (ez indukcióval következik).

Előzmény: mma (203)
mma Creative Commons License 2021.01.24 0 0 203
Előzmény: mma (202)
mma Creative Commons License 2021.01.24 0 0 202

Nagyon köszönöm! Illett volna felismernem, mert már találkoztam vele máskor is.  Meg hát azért is, mert összesen 2 darab 4-elemű csoport létezik, de az fel sem merült bennem, hogy ez ilyen egyszerű. Gondolom, Te ezt fejből tudtad. Most már én is (amíg el nem felejtem).

Előzmény: Gergo73 (199)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.24 0 1 201

Nemkommutatív csoportban sem következik a bab=a egyenletből, hogy b=1. Jegyezzük még meg, hogy ha minden elem négyzete az identitás, akkor a csoport automatikusan kommutatív.

Előzmény: szabiku_ (200)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.24 -1 0 200

Jó, véletlenül nem-Abeli csoportban gondolkoztam.

Előzmény: Gergo73 (199)
Gergo73 Creative Commons License 2021.01.24 0 2 199

A bab=a egyenletből nem következik, hogy b=1. A szóban forgó 4 elemű csoport természetesen létezik, ez az ún. Klein-csoport.

Előzmény: szabiku_ (196)
szabiku_ Creative Commons License 2021.01.24 -1 0 198

Egyből látszik a dolog onnan is, hogy x és y (azaz a,b,c mindegyik elem) felcserélhető egymással. Ekkor közös a sajátvektoraik halmaza. Tehát nem lehetnek különböző csoportelemek.

Előzmény: mma (195)

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!