>szám jellegűek. Ámde operátor jellegűek is lehetnek.
#Ez azért nem teljesen igaz. Mert az úgy még nem a vektor. Nem mennyiség. Csupán csak a vektor jellegét hordozza, amely lényeges egy műveletvégzés ill. eredményének értelmezéséhez.
Ott a szintaktikai szabályokon módosít, nem egy ördöngősség. A lényeg az, hogy a vektorműveletek vektorkomponensekkel dolgoznak, és ezek a komponensek alapvetően (és megszokottan) szám jellegűek. Ámde operátor jellegűek is lehetnek. És ami eddig szorzás volt (a csupán csak számok esetén), az ezekkel más művelet. Bekapcsolódik ide az alkalmazás művelete. Ez lép operátorok esetén a szorzás helyébe. Viszont még a szorzás csak valamelyik egyik tényezőre hat, addig pl. a deriválás művelete minden tényezőre hat külön-külön, és ezzel több tagot ír elő. Ezzel módosul a(z ilyen) vektorművelet. (Kicsit pongyolán, de egyszerűen írtam le.)
Még azt is lehet látni, hogy β(s) is lehet tetszőleges függvény, csak nullában felcserélhetőnek kell lennie A-val, pl. szintén identitás: β(0)=1 ∂sβ=B
Az egész dolog meghatározója, hogy egy hasonlósági transzformáció ül a kifejezésben, amit egy α exponenciális kifejezés végez. Az utóbbi jelleg vezet ugyanis a kommutátorra, illetve így β(0)=1 esetén a második tag eltűnésére.
Annyit látok egyelőre, hogy β-1 helyett tetszőleges f(0)=1 tulajdonságú f(s) deriválható függvényt büntetlenül oda lehet biggyeszteni αβα-1 után, hiszen
Érdekes dologra figyeltem fel mátrix Lie-csoportok Lie-algebrájával kapcsolatban.
Egyrészt
∂t∂s(etAesBe-tAe-sB) = [A,B]
másrészt
∂t∂s(etAesBe-tA) = [A,B]
vagyis a baloldali dereiválandó függvényből az utolsó tényező elhagyása semmit sem változtat. Ezt számolással könnyű ellenőrizni, de hogy lehet azt érezni, hogy ennek így kell lennie?
Nem gondolkoztam sokat az eredeti kérdésen, és nem is értek a témához, de az intuícióm (a lenti megjegyzéstől függetlenül) a következő. Ha a csoportok topologikus csoportok, és a leképezések folytonosak, akkor csak két kiterjesztés van: a direkt szorzat, és a másik, amit az U(1)->U(1) négyzetre emelés homomorfizmus ad meg. Általánosan pedig (folytonosság nélkül) nagyon sok kiterjesztés van, talán 2^kontinuum.
Valaki ehhez a kérdéshez az alábbi megjegyzést fűzte (itt):
>As to classifying central extensions of U(1) by ℤ2, a direct argument may be easier.
>Suppose E is a topological group with a central subgroup Z≅ℤ2 such that E/Z≅U(1).
>Topologically, E is a (possibly disconnected) covering space of the circle.
>Consider the standard hom F:ℝ→U(1) with kernel ℤ.
>It lifts uniquely to F~:ℝ→E.
>Consider F~(1)∈Z.
>If F~(1)=1, E≅U(1).
>If F~(1)=0 then F~ descends to a splitting map U(1)→E,
>so E≅U(1)×Z
Ha jól értem, ő a folytonos csoporthomomorfizmusokra korlátozódik, ezért topológiai megfontolásokkal hozza ki az eredményét. De sajnos nem értem egészen. Amit értek és amit nem, az a következő.
>As to classifying central extensions of U(1) by ℤ2, a direct argument may be easier.
>Suppose E is a topological group with a central subgroup Z≅ℤ2 such that E/Z≅U(1).
>Topologically, E is a (possibly disconnected) covering space of the circle.
OK. A Wikipedia jelöléseivel X=U(1), D={0,1}, ha x=eit, akkor pl. U=(ei(t-π/4),ei(t+π/4)) ,
V0=Z ∩ r-1(U), V1= (E-Z) ∩ r-1(U)
>Consider the standard hom F:ℝ→U(1) with kernel ℤ.
OK. A kernel ℝ-nek azokból az elemeiből áll, amit az F az 1-be visz. Tehát F az egész számokat 0-ba viszi, vagyis F:ℝ→U(1): t ↦ exp(2πti)
>It lifts uniquely to F~:ℝ→E.
?
>Consider F~(1)∈Z.
Miért Z-beli az F~(1)? Ez azt jelenti, hogy a ℤ2→ E→U(1) sorozat E→U(1) szürjekciójának a magjában van. De miért is kell neki abban lenni? Azt tudom csak, hogy F-nek a magjában kell lennie.
>If F~(1)=1, E≅U(1).
?
>If F~(1)=0 then F~ descends to a splitting map U(1)→E,
?
>so E≅U(1)×Z
?
Ha jól értem, a végkövetkeztetése az, hogy E-nek vagy U(1)-gyel, vagy U(1)×ℤ2-vel kell izomorfnak lennie. De ez még kevés a teljes H2(U(1),Z2)-hoz, hiszen egymással izomorf E-khez tartozhat inekvivalens Z2 → E → U(1) bővítés, nem?
Oké, azt már tudjuk, hogy ha E=G=T, A=({-1,1},ˇ), akkor az A → E természetes beágyazás és az E → G: z ↦ z2 szürjekció esetén az
A → E → G
csoportbővítés nem felhasadó, és egy lehetséges kociklusát is tudjuk. Ez a csoportbővítés egy speciális esete az általános
Z2 → E → U(1)
csoportbővítésnek, vagyis azt tudtuk meg, hogy H2(U(1),Z2) nem triviális. De ha nem csak az a kérdés, hogy triviális-e, vagy sem, hanem az, hogy mi a H2(U(1),Z2) kohomológiacsoport, akkor nem csak egy speciális bővítést és egy hozzá tartozó kociklust, hanem az összes inekvivalens
U(1)⨯U(1) → Z2
kociklust meg kell találnunk. Ezt hogy lehet megtenni?
Még fel is figyeltem rá, hogy milyen szokatlanul tömör jelölést találtál erre, ami az egyik végét, a 0-t megengedi, a másik végét a pi-t meg nem. Csak épp az "egyik vége" nem a 0, hanem a -pi. :)
Ebben a példában érdekesen találkozik a topológia a csoportelmélettel. Az itteni nyaláb topológiai értelemben egy olyan fibrált nyaláb, amelynek a teljes tere is és a bázistere is egy kör, a projekciója Möbius-szalag élének a szalag középvonalára eső projekciója. Ennek a nyalábnak köztudomásúan nincs folytonos globális szelése. Csoportkohomológiai szempontból pedig ez T-nek a kételemű csoporttal való nemfelhasadó centrális bővítése. Gondolom, ez valahogy úgy van, hogy topologikus csoportok centrális bővítése pontosan akkor felhasadó, ha a bővítésnek mint fibrált nyalábnak létezik globális folytonos szelése. Lehet, hogy ez triviális is, de én most így kapásból nem tudnám bizonyítani.
Viszont most erről mégiscsak eszembe jutott valami, Isaksen-nek az a cikke, amit már mutattam, amelyben az egész számok összeadásnál keletkező átvitelt mutatje be mint kociklust. Ez épp olyan. Egy 1 abszolútértékű komplex számot egy "kétjegyű szám"-ként írunk fel (n,t):=neit alakban, ahol n a {-1,1} halmaz eleme és |t|<pi. A kétjegyű számok vezető 0-jának n=1 felel meg, az "egyjegyű számok" összeadása pedig ez: (1,t1)+(1,t2):=(c(t1,t2), ei(t1+t2)).
amellyel az alább definiált műveletet véve G ⨯ A, (vagyis T ⨯ {-1,1}) izomorf E-vel (vagyis T-vel)
A T ⨯ {-1,1} nem izomorf a T-vel. Az előbbinek a 2-torziója {-1,1} ⨯ {-1,1}, az utóbbinak a 2-torziója {-1,1}.
Ez azt is jelenti, hogy a példádban a kociklus nem az 1. A kociklust úgy kapod meg, hogy veszel egy tetszőleges s:G->E szelést, majd c(z1,z2):=s(z1)s(z2)s(z1z2)-1. Egy lehetséges szelés a következő. Ha z=exp(it) és |t|<pi, akkor s(z):=exp(it/2). Tehát ha zj=exp(itj) és |tj|<pi, akkor c(z1,z2)=1 ha |t1+t2|<pi, és c(z1,z2)=-1 egyébként.
Megint elakadtam egy csoportbővítéses példában. A példa az az
A → E → G
csoportbővítés, amelyben A={-1,1} a szorzással, E = G = T, ahol T az 1 abszolútértékű komplex számok multiplikatív csoportja, az E → G szürjekció pedig a z ↦ z2 függvény. Mivel ez egy centrális csoportbővítés, van olyan c: G ⨯ G → A kociklus, amellyel az alább definiált műveletet véve G ⨯ A, (vagyis T ⨯ {-1,1}) izomorf E-vel (vagyis T-vel):
(z1, a1) * (z2, a2) := (z1z2, c(z1,z2)a1a2)
Ha c=1 lenne, akkor
(z1, a1) * (z2, a2) = (z1z2, a1a2)
lenne. És itt már el is akadtam. Hogy lehet látni, hogy
1. ez izomorf, vagy nem izomorf T-vel?
2. Ha nem izomorf, akkor hogy lehet egy jó c kociklust találni?
Ez a példa azt mutatja, hogy két inekvivalens centrális bővítés eredményezhet egymással izomorf csoportot. Érdekesség, hogy ha a csoportok végesek és az egyik bővítés a direkt szorzat, akkor ehhez nincs olyan nem felhasadó centrális bővítés, ami vele csoportként izomorf bővítést adna. Ezt Joseph Ayoub bizonyította be 2004-ben.
Tanulságos ez nekem, mert én eredetileg azt hittem volna, hogy ha van G-nek egy f automorfizmusa, akkor ha az A → E → G csoportbővítésben szereplő π:E → G projekciót lecserélem π∘f-re, akkor az eredetivel ekvivalens bővítést kapok. Most kiderült, hogy nem.
Mint már említettem, ezt a példát azért nézegetem, mert a H2(G, U(1)) kohomológiát szeretném világosan átlátni, ahol G a Galilei-csoport. Ezt pedig azért, mert a Galilei-csoport minden projektív-unitér ábrázolásai megkapható G-nek U(1)-gyel való centrális bővítéseinek az unitér ábrázolásaiból.
Néha kicsit összekeverednek a fejemben a dolgok, szeretném őket kigubancolni.
Háromféle egzakt sorozat van a játékban, az egyik az
U(1) → (H - {0}) → P (1)
sorozat, ahol H a Hilbert-tér, a P pedig egy vektorhoz az őt tartalmazó 1-dimenziós alteret rendeli. Ennek semmi köze a kociklusokhoz, és mindkét leképezés, a beágyazás is, és a projekció is fix.
A másik sorozat az
U(1) → U(H) → U(H)/U(1) (2)
sorozat, itt is fix minden.
A harmadik sorozat az
U(1) → E → G (3)
csoportbővítés. Ez a csoportbővítés az érdekes, mert ennek a bővítésnek az ekvivalenciaosztzályai határozzák meg a G → U(H) projektív-unitér reprezentációk ekvivalenciaosztályait. A projektív-unitér reprezentációk olyan f: G → U(H) függvények, amelyekre π ∘ f csoporthomomorfizmus, ahol π a (2) sorozat második leképezése. Az érdekes tehát a (3)-beli E=G⨯ωU(1) csoportbővítés, amely egymástól nem kohatárban különböző ω kociklus esetén inekvivalens bővítéseket jelent. Az érdekelne, hogy az ω1 és ω2 inekvivalens kociklusokhoz tartozó inekvivalens bővítések hogyan inekvivalensek. Lehet, hogy a G⨯ω1U(1) csoport nem izomorf G⨯ω2U(1)-vel, de az is lehet, hogy izomorf, de a (3)-beli valamelyik leképezés (a baloldali beágyazás, vagy a jobboldali projekció) olyan módon különbözik egymástól, hogy az inekvivalens bővítést ad (mint ahogy Dummit és Foote példájában π1 és π2).
