Szándékosan nem írok róla semmit, csak annyit, hogy Google jelenleg egyetlen találatot ad erre a kifejezésre. Pedig azt hiszem, sok érdekességet el lehetne mondani róla. Akinek ilyesmi nyomja a bögyét, kérem, ne fogja vissza magát!
Illetve, ha az "inner product space" fogalmába beleértjük a nemdegeneráltságot is, akkor jó, csak éppen szűkebb a definíció, mint a szokásos, mert Clifford-algebrák esetében ezt nem szokás kikötni.
Clifford algebrában szorzást és összeadást használva ott az 1/n!-os képlet az ékszorzásra. A másik irányba is van ilyen szép képlet?
Grassman algebrában, ha Clifford-szorzást akarnál definiálni.
Hestenes nem ír ilyet? A nekem első ránézésre jobban tetsző 2019-es Rosén-könyv ír, bár ő is csak egy ortonormált bázis bázisvektoraira, ugyanúgy, mint a Wikipedia, viszont ő formálisan megfogalmazza azt az esetet is, amit én a így fogalmaztam meg a 208-ban:
Külön kell tehát definiálni a fenti szorzatot akkor, ha vannak benne azonos indexek. Akkor a definíciónak annak kell lennie, hogy az azonos indexű tényezőkből a jobb oldalon páronként Q(ei)-vel helyettesítjük, és adunk egy olyan előjelet, ami megfelel annak ami azzal az előjelváltással jár a jobboldalon, ami úgy következik be, hogy ezt a páros számú azonos elemet egymás mellé visszük.
Érdemben ehhez nem tudok hozzászólni. Viszont ügyrendi megjegyzésem van.
Érdekes, hogy 9 év és 82 ezer megtekintés alatt senkinek sem tűnt fel.
Egyszer már felvetettem azt a problémát, hogy amikor egy bizonyítást 100 ember megnéz, előfordulhat, hogy mindenki azt gondolja, hogy neki nem kell alaposan átnéznie, mert másik 99 úgyis megnézi.
Hestenest egyébként többen is leszólják a math.stackexchange-en, lehet, hogy nem tőle kéne Clifford-algebrát tanulni. Egy első ránézésre valóban igéretes könyvet ajánlanak itt.
Bocs, rosszul írtam, mert azt hittem, hogy a, b ∈ Vn azt jelenti, hogy a és b azonos fokszámú multivektorok, de Vn nem az n fokszámú multivektorok tere itt, hanem az 1 fokszámúaké, vagyis a és b itt 1-vektorok. Tehát Hestenes nem mond itt mást, mint amit eddig is tudtunk. (Nem tudom, mi értelme egy vektorteret megindexelni a dimenziószámával, soha nem láttam még ilyet)
Az ékszorzatnak viszont asszociatívnak kell lennie, tehát a jó definíciója az 1/k!-os definició, amit természetesen értek, miért ne érteném. Csak azt hittem, hogy az kijön az előtte lévő definíciókból
Ki is jön csak máshogy. A kommutátoros definíció állítólag egybeesik az ékszorzattal, ha azonos fokszámú elemeket ékszorzunk illetve kommutálunk. Ld. Hestenes p.5. (1.5)
Az még nem egészen világos nekem, hogy tetszőleges algebraelemekre ebből konkrétan hogy jön ki az 1/k!-os definíció.
Clifford algebrában szorzást és összeadást használva ott az 1/n!-os képlet az ékszorzásra. A másik irányba is van ilyen szép képlet?
Grassman algebrában, ha Clifford-szorzást akarnál definiálni.
Próbáljuk meg úgy, hogy megnézzük, hogy Cliffordban hogy tudjuk az ékszorzattal és a skalárszorzattal kifejezni a geometriai szorzatot, aztán - mivel ezek Grassmannban is megvannak - ez lesz a Clifford-szorzat definíciója, ha Grassmann-algebrából indulunk ki. Nézzük tehát!
Amit itt már kisütöttem, az végül is "egységes szerkezetben" leírva ennyi volt:
Ha még nincs Clifford-szorzatunk, de van ékszorzatunk és van egy nem nulla Q-nk, akkor úgy tudunk Clifford-szorzatot bevezetni, hogy veszünk egy Q-ra nézve ortogonális {e1,...,en} bázist és a különböző bázisvektorok egymás közti Clifford szorzatát így definiáljuk:
ei1...eik := ei1∧..∧ eik.
Ha az i1, ... in indexek között van azonos, akkor ez a definíció 0-t ad, hiszen ei∧ei=0 pedig nem kéne, hiszen Clifford-algebrában eiei = 1.
Külön kell tehát definiálni a fenti szorzatot akkor, ha vannak benne azonos indexek. Akkor a definíciónak annak kell lennie, hogy az azonos indexű tényezőkből a jobb oldalon páronként Q(ei)-vel helyettesítjük, és adunk egy olyan előjelet, ami megfelel annak ami azzal az előjelváltással jár a jobboldalon, ami úgy következik be, hogy ezt a páros számú azonos elemet egymás mellé visszük.
Speciálisan k=2-ra
eiei = Q(ei)
és
eiej = ei ∧ ej
ha i ≠ j. ezért vektorok geometriai szorzata:
∑(aiei)(bjej) = ∑iaibiQ(ei) + ∑különböző i,jaibjei ∧ ej = a ˇ b + ∑i<j (aib j - ajbi)ei ∧ ej = a ˇ b + a ∧ b
, ahogy lennie kell, már ha igaz az, hogy ∑i<j (aibj - ajbi)ei ∧ ej = a ∧ b (remélem, igen)
k=3-ra
eieiej = Q(ei)ej
, csupa különböző i, j, k esetén pedig
eiejek = ei ∧ ej∧ ek
Így, ha a = ∑iaiei és b = ∑jkbjk ej ∧ ek , akkor
ab = ( ∑aiei)(∑jkbjk ej ∧ ek ) = ∑ij(aibijQ(ei)ej + aibjjQ(ej)ei - aibjiQ(ei)ej) + ∑különböző i,j,k aibjkei ∧ ej ∧ ek .
Honnan lehet tudni, hogy a második lépésnél csak a jelölést cserélted meg, és nem mennyiségcserét hajtottál végre? Sehonnan. Én azt látom, hogy eiek felcserélődött ekei -re, és ai...ak felcserélődött ak...ai -re. Utóddinál semmit nem tesz a csere, mert csupán szám együtthatók, de az előbbinél előjelváltást okoz. Ennek a felfogásnak van prioritása az átalakításoknál.
A magyarázat az, hogy figyelembe véve az előbbi megállapítást, a szumma tagjai páronként kiejtik egymást, az összeg nulla.
Találós kérdés. Ugyebár adott a ≠ 0 és c vektorok esetén az a × b = c egyenlet (akkor és) csak akkor oldható meg b-re, ha c merőleges a-ra, hiszen a × b mindig ilyen. Ellenben Clifford-algebrában a ≠ 0 esetén mindig megoldható b-re az ab = c egyenlet: b=ac/|a|2. Vagyis ha c = s + v, ahol s tetszőleges skalár, v pedig tetszőleges vektor, akkor van olyan b, hogy ab = c, és mivel ab = a ˇ b + a × b, ezzel a b-vel a ˇ b = s és a × b = v. Akkor tehát az a × b = v egyenlet mégiscsak megoldható tetszőleges v esetén, nem csak akkor, ha v az a-ra merőleges. Hol van a hiba ebben az okoskodásban?
Úgy, ahogy mondtam. Az 1-vektorok a Clifford (vagy Grassmann-) algebra alterét alkotják, tehát két 1-vektor összege egy 1-vektor. Az 1-vektorok a sima vektorok, csak azért írom 1-vektornak őket, mert a bivektorok, meg a trivektorok is vektorok, csak éppen a Clifford (vagy Grassmann-) algebra más más alterlben vannak. Az 1-vektorok V1-ben, a bivektorok V2-ben, a trivektorok V3-ban (a szabatos jelölés V1, V2, V3 helyett V, Λ2(V), Λ3(V)).
