Azért hoztam létre, hogy kísérletet tegyek ennek a tudományágnak a rejtett szépségeinek a bemutatására. Matematikatörténettől a bizonyításokig, ellenpéldáktól a szokatlan trivialitásokig minden ami belefér...
Igen. Mindegyik feladatra viszonylag gyors (tehát célratörő) megoldás adható komplex számokkal. A harmadik valóban nehezebb az első kettőnél. Szívesen segítek ötletekkel, ha az olvtársak úgy kérik.
A második nem túl nehéz (kell egy jó ötlet, ha az megvan, akkor szinte kész is a feladat, és ha jól emlékszem, ez nálunk a műszaki egyetemen is volt). A harmadikkal nem boldogulok, sajnos a másodiknál alkalmazott ötlet ott nem jön be, pedig valami olyasmi kell itt is. Az elsőhöz nincs ötletem, de mivel Gergő elárulta, hogy a komplex számokhoz van köze, így nyilván ott is segítenek a komplex számok. Szóval, igen, segítenek a komplex számok!
Ajjaj a matlap megoldasok bekuldesi feltetelei otven ev ota valtozatlanok. Annak idejen nem is tobb gondom volt a feladat bekuldesenek a formatumaval mint magavaval a feladatmegoldassal.
ott a mindenfele ganmmaspektrumok meg a valoszinusegek jol megvannak valos szamokkal is
Pont valószínűségszámítást elég nehéz csinálni komplex számok nélkül. Pl. a centrális határeloszlástétel szokásos bizonyításai az X valószínűségi változó karakterisztikus függvényét használják, ami ugye az eitX várható értéke. Bármiféle spektrum (Fourier-analízis) maga is komplex számokkal definiálva természetes. Hiszen sokkal természetesebb a körmozgás (azaz az eitx függvény), mint annak vetülete valamelyik koordinátatengelyre (cos(tx) és sin(tx)).
A fizikusok ugye Taylor-sorokkal dolgoznak. Na most az is komplex függvénytan. Pl. az 1/sinh(x) függvény ugyan végtelen sokszor differenciálható a valós számokon, de a Taylor-sora csak az |x|<pi/2 intervallumon konvergál. Vajon miért? Azért, mert a komplex számok felett az 1/sinh(z) csak a |z|<pi/2 körlemezen differenciálható, nevezetesen a z=i.pi/2 pontban a sinh(z) nevező nulla.
Fizikat kell valasztani, ott a mindenfele ganmmaspektrumok meg a valoszinusegek jol megvannak valos szamokkal is. Otven eve meg ugrottam volna a feladataidra a matlapban,ha meg egyaltalan letezik, de akkoriban is csak az elso @70- be sikerult csak bejutnom.a170 ezres korosztalybol, ami.meg egy elte matekszakra se volt eleg, ezen kivul persze barmire.
Meg egy kutatointezetben is kihuzhat az ember jopar evtizedet komplex szamok.nelkul.
Matematikai kutatóintézetben bajosan. Úgy értem - persze - lehet matematikai kutatást végezni komplex számok nélkül (ahogyan valós vagy akár természetes számok nélkül is), de a matematikai területek nagy része ellehetetlenülne (vagy jelentős részben kiürülne) nélkülük. Én a komplex számokat általános iskolában tanítanám az euklideszi geometria helyett vagy amellett.
Amúgy a jövő héten kezdem a 19. komplex függvénytan kurzusomat. Az első órán a következő 3 feladatot fogjuk megbeszélni a komplex számok hasznosságának illusztrálására. Mindenkinek a figyelmébe ajánlom őket!
1. feladat. Egy tetszőleges háromszög oldalaira kifelé rajzoljunk szabályos háromszögeket. Mutassuk meg, hogy a kapott szabályos háromszögek középpontjai is szabályos háromszöget alkotnak.
2. feladat. Az egységkörbe írjunk szabályos n-szöget. Az egyik csúcsból húzzunk szakaszt az összes többi csúcshoz. Igazoljuk, hogy az így kapott n-1 darab szakasz hosszának szorzata n.
3. feladat. Az egységkörbe írjunk tetszőleges n-szöget. Igazoljuk, hogy van olyan pont az egységkörön, amiből ha szakaszt húzunk az összes csúcshoz, a kapott n darab szakasz hosszának szorzata 2.
A komplex szamok.azegy jo dolog, nagyon elveztuk a gimoben es az egyetemen, es meg erthatoek is voltak szemben a T test feletti N dimenzios V vektorterrel ala Gyapjas professzor:-) A sarki kozertben csak valos osszegeket fizet az emberfia, akomplex szamokat legfeljebb az uzletlanc tulajdonosai hasznaljak az armgallapitaskor. Meg egy kutatointezetben is kihuzhat az ember jopar evtizedet komplex szamok.nelkul. Az egyeduli gyaorlat talalkozas az arammero lehetett volna,eg az aramfelhasznali keszulekek a cosinusz fi kompenzalo kondenzatorokkal, de nem erte meg az a havi parszaz forint a nyuglodest:-)
Komplex számok nélkül nincsen matematika, lényegében a középkorba mennénk vissza nélkülük. Mindig megdöbbent, amikor valaki a komplex számokat kevésbé érzi természetesnek, mint a valós számokat. Mind algebrai, mint analitikus szempontból sokkal jobban lehet dolgozni a komplex számokkal, mint a valósokkal.
A 240-es üzenetben adtam egy egyszerűbb példát "fura összegre". A racionális számtest ugyanúgy beágyazható a 2-adikus számtestbe, mint a valós számtestbe. Az utóbbiba beágyazva az 1+2+4+8+16+... mértani sor divergens, az előbbibe beágyazva viszont konvergens, és az összege a szokásos összegképlet szerinti 1/(1-2) = -1.
A számelméletben alap, hogy egy racionális számra nem csak úgy gondolunk, mint speciális valós szám, hanem úgy is, mint speciális p-adikus szám (ahol p tetszőleges prímszám). Tehát egy racionális számnak végtelen sok "arca" van, és ezek közül csak egyik a Q->R beágyazásból származó "arca". Ennek a felfogásnak a hasznát gyönyörűen tükrözi a Hasse-Minkowski tétel racionális kvadratikus formákra. Lásd a 34. oldalt ebben a magyar nyelvű szakdolgozatban.
A gyakorlati életben viszont komplex számokat sem használnak, nem lehet az üzletbe bemenni "i" kg krumplit venni. Másrészről nagyon is gyakorlati dolog akkor, ha egy áramkör impedanciáját kell kiszámítani. Engem az nyűgözött le igazán, amikor olvastam egy levezetést, miszerint "i" az "i"-diken az egy valós szám, értéke kb. 0,2 pontosabban "e" a "mínusz pi/2" -iken. Aztán ez is tök-érdekes, hogy a sin(z) mikor lehet "2": https://youtu.be/3C_XD_cCeeI
Úgyhogy egy kicsit meg vagyok edződve a fura dolgokhoz, de egyelőre nem sikerült megemésztenem a 1+2+3+........= -1/12 , hiszen ez legalább két dologban túlmegy minden elképzelhetőn. Először, hogy a "végösszeg" negatív szám. Másodszor, hogy egész számok "összege" törtszám. Persze ha a komplex számoknak van gyakorlati hasznuk, akkor elvileg ennek a "-1/12"-nek is lehet. Az is lehet, hogy bizonyos fizikai modellekben (pl. a húrelméletben) tényleg hasznos lehet. No persze még azt sem tudjuk, hogy a húrelmélet mennyire jó modell. Mindenesetre érdekesebb a vlág, mint ahogy azt fel tudjuk fogni. És akkor még nem beszéltünk Gödel nemteljességi tételéről ...
Egyébként divergens sorozatok előfordulnak a fizikában. Bizonyos esetekben a regularizációnak teljesen szemléletes fizikai megfontolások felelnek meg, máskor meg nem.