Nyilván, az absztrakció fontos, a matematikus munkájának mindennapi része. Én különösképpen kedvelem. Azt akartam mondani, hogy a nagy, általános elméletépítések most éppen nem túl népszerűek, nincs is rájuk szükség, a kiépített rendszerekben mély, nyitott problémák merültek fel, és ezeket oldják meg. Ha pedig alkalmazni akarnak, vannak, ill. konstruálhatók ma már speciális struktúrák, terek, sztochasztikus folyamatok, dinamikai rendszerek, stb., amelyek képesek kezelni más tudományok gondjait.
Ezzel szemben a matematika a múlt század első felében tele volt filozófiai kérdésekkel; a hetvenes évekig pedig grandiózus elméletépítéssel (halmazelmélettől, topológiától, univerzális algebrától, valószínűségelmélettől a hipergráfokig).
Sejteni lehet, szvsz, hogy az igazán nagy problémákat is csak teljesen új definíciós rendszerekben és elméletekben lehet majd megoldani: P?=NP, Riemann-sejtés. A matematika azonban egyszerűen nem tart még itt.
Az igazi, nemtriviális alkalmazások a fizikában, gazdaságban virágzanak.
Szerintem a legtöbb "igazi, nemtriviális" alkalmazás továbbra is a matematikán belül van.
A Bourbaki-csoport absztrakciós programja a múlté
Ezzel is vitatkoznék, bár az alkalmazások illetve konkrét struktúrák szerepe és megbecsülése valóban változott az utóbbi időkben. Csak tudni kell, hogy sok áttörés annak köszönheti a létét, hogy a mögötte levő elmélet egy bizonyos mélységet, absztrakciós szintet elért. Sok Bourbaki által elvetett mag csak mostanában kezd kivirágozni. Pl. említetted Mumford-ot, konkrétan algebrai geometria a mai formájában nem létezne Bourbaki nélkül. A Time magazin Ngo nagy áttörését (a fundamentális lemma bizonyítása) az idei év 10 legfontosabb tudományos eredménye közé választotta, és Ngo az egyik biztos befutó a Fields-éremre jövőre. Ő Franciaországban doktorált, Bourbaki emlőin nevelkedett. Ugyanez mondható el Lafforgue-ról (aki a közelmúltban lett Fields-érmes és akinek a testvére is zseniális matematikus), szintén kiváló Bourbaki-növendék.
A lényeges dolgok 1%-át talán lehet követni, de az egész 1%-át magunkévá tenni nem. Én számelmélész vagyok, de a számelméletből biztos nem tudom követni az összes lényeges eredményt (a számelmélet kb. 3%-ot tesz ki a matematikából). Igaz persze az is, hogy nem tartozom a világ legjobb matematikusai közé, de azért elég fanatikus vagyok és korán kezdtem a szakmát. A szűkebb szakterületemen évente kb. 500 cikk jelenik meg (az összes matematikai publikáció 0.5%-a), ott sem tudom követni az összes lényeges fejleményt. Pl. legalább havonta megjelenik egy olyan 50 oldalas cikk a szakterületemen, ami áttörés, egy ilyen feldolgozásához szükségem lenne több hónapra. És emellett tanítani és kutatni is kell, illetve lektorálni és recenziót írni, és persze nem csak a friss és nem csak az áttörő cikkeket kell megérteni, hanem a már meglévő 2 millió cikkből és 100ezer könyvből is amit csak lehet.
en ebben nem vagyok biztos. egy MSC primary lefedi a matematika kb 1%-at. szerintem joparan kepesek kovetni mondjuk 3 primary eredmenyeit. persze ez nem azt jelenti, hogy mindent elolvasnak reszletesen, de nem is maradnak le a lenyeges dolgokrol.
Különben a matematikában szerintem az alkalmazásoknak rendkívüli tekintélye van. Az igazi, nemtriviális alkalmazások a fizikában, gazdaságban virágzanak. A Bourbaki-csoport absztrakciós programja a múlté, a jelen a speciális, tulajdonságokban gazdag struktúráké, és ezeket könnyebben lehet alkalmazni is.
Több terület az utóbbi évtizedekben ért meg arra, hogy alkalmazzák (csoport- és reprezentációelmélet, funkcionálanalízis, kombinatorika).
A kombinatorika, az algebrai topológia, differenciálgeometria, valószínűségelmélet (pl. biztosítási, tőzsdei matematika) és sztochasztikus folyamatok, statisztika, közönséges és parcdiffegyenletek területe, a numerikus analízis virágzik, ahogyan a számítógéptudomány, operációkutatás, algoritmuselmélet számos ága is. Egy szép alkalmazásnak mindenki örül, az a piacon pénzt jelent, elismerést. Éppen az alkalmazás a kor szelleme.
A fizika nagy része, mint a kozmológia, égi mechanika, (pl. KAM-elmélet, többtest-problémák), húrelmélet, elméleti részecskefizika lényegében matematika. Penrose, Witten és Mumford (Fields-érmesek), Lax (Abel-díjas), Arnold, Szináj a legnagyobbak között vannak.
Nem hiszem. Ott kezdődik, hogy ő egy elég szűk területen mozog, ami viszonylag kevés helyen kapcsolódik más területekhez. Vannak nagyon széles látókörű matematikusok (pl. Serre vagy Tao), de az 5%-ot ők sem érik el. Egyszerűen fizikai képtelenség az 5%, hiszen naponta legalább 5000 oldal új matematika jelenik meg. Nézd meg mondjuk az arXiv novemberi termését és ezt szorozd be 5-tel: itt.
Talán Shelah a matematika 5%-át ismeri, bár azért fenntartom, hogy a maradék jó részével már találkozott olyan szinten, hogy betudja valahova sorolni.
Fizikából az egyes területek között valamivel nagyobb a "kohéziós erő", de nagyobb szakirodalma van, mint a matematikának, ha jól sejtem.
(abból indulok ki, hogy egy eléggé szűk részterületnek, a napelemeknek is 1000 meg 1000 elágazása van, a villamosmérnöki kutatócsoporttól kezdve a bionikain át fraktálelméletig, a szilárdtestfizikától kezdve a kvantummechanikán az elektrodinamikáig minden előfordul)
Csak azért, mert egész eddig magabiztosan állíthattam, hogy a fizika és a matematika kapcsolatát egy ősrégi viszonzatlan szerelem jellemzi. Tehát, ha valaki matematikusnak megy, sokkal kisebb valószínűséggel fog nyitni a fizika felé, mintha fizikusnak ment volna, és utána tetszik meg neki a matematika.
Én speciel ilyen vagyok, a matematika kb. egy éve érdekel igazán, a középiskolás matekot nagyon untam, furcsa mód a biológiával együtt figyeltem föl rá, bár annak a szerves napelemek miatt megvoltak az okai.
De azért nagyon hiszem (és ahogy a történelmet vizsgálom, elég erős sanszot is adok rá), hogy matematika úttörői (még ha nem is tudják) fektetik le az alapját az elméleti fizika felfedezéseinek.
Egy aranyos példa, hogy az egyik (nagyon okos) professzorunk az egyetemen meglepve vonta meg a vállát, mikor megkérdeztem, hogy a minimálpolinomok kiszámítása hol jön elő a fizikában.
Nem hiszem, hogy a halmazelmélet forradalmasítani tudná az ergodelméletet. Fordítva inkább. Persze ez csak magánvélemény. Akula úrnak azt a fajta ergodelméletet kéne tanulnia, ami a fizikában vagy a matematikai fizikában fontos, pl. a kvantum káosz vizsgálatában.
Az nemigen fog menni. Ha nagyon tehetséges és megszállott vagy, éjjel-nappal kutatsz és tanulsz, akkor a fizikának max 1%-át teheted magadévá (ugyanez vonatkozik a matematikára). Ha kevésbé vagy tehetséges stb., akkor mondjuk csak 0.01%-ot. Ezt tartsd fejben, nehogy túl nagy meglepetés érjen.
Az ergodelmélet és a halmazelmélet kapcsolata egyre szorosabb, és éppen most alakul ki. Legjelentősebb képviselője Matt Foreman.
Megjelentek a projektív hierarchia halmazai, amelyek tulajdonságai (pl. Lebesgue-mérhetőség, Baire-tulajdonság) jórészt ZFC-függetlenek, nemritkán nagy számosságokból következnek, ilyen feltevésekkel ekvivalensek/ekvikonzisztensek (transzfer-tételek).
Szerintem egy fizikusnak nemigen van szüksége ultrafilterekre, elérhetetlen számosságokra, vagy mondjuk toposzokra. Tanulj sok valós és komplex függvénytant, harmonikus és funkcionálanalízist, csoportelméletet, Lie-csoportokat, reprezentációelméletet, ergodelméletet, differenciálegyenleteket, differenciál- és Riemann-geometriát, esetleg algebrai geometriát és algebrai topológiát.
Még azt jegyzem meg, hogy a "létezik" kvantorból itt bizonyos értelemben "következik" a "minden" kvantor, mert egy bizonyos tulajdonsággal bíró ultrafilter (normális mértékhez tartozó ultrafilter, azaz a szuperkompakt számosság) létezéséből következik az erősen kompakt számosság létezése, azaz a kiterjesztési tétel általánosítása.
Erősen kompakt számosság létezése esetén egyébként a nevezetes Vopenka-Hrbacek tétel szerint a V Univerzum nem L[A] alakú, ha A halmaz (még akkor sem, ha A maga az erősen kompakt számosság).
Ilyen halmazrendszer létezése ugyan ZFC-ben nem bizonyítható
Az érthetőség kedvéért:
A Teichmuller-Tukey általánosítása megszámlálható metszetre erősebb persze, még az erősen kompakt számosságnál is, hiszen _tetszőleges_ halmazrendszerről beszél, nem csak filterekről. Még az is lehet, hogy inkonzisztens; az ultrafilter-kiterjesztési tétel általánosítása viszont valószínűleg nem (és ezt akartam mondani).
Továbbá, a mérhető számosság természetesen csak valamennyi megfelelő ultrafiltert biztosít, lehet olyan omega-metszetzárt filter, amely terjeszthető ki!
Ha a mérhető számosság V-ben van, akkor ez a "valamennyi" elég sok; de ha az L[ U ] relatíve konstruktív hierarchiában, akkor egy (Kunen).
Ide kívánkozik még, hogy az az állítás, hogy "létezik kappa végtelen számosság, hogy minden halmazon, minden kappa-metszetre zárt filter kiterjeszthető kappa metszetre zárt ultrafilterré" mérhetőnél sokkal nagyobb kappa számosság, az ún. erősen kompakt egyik definíciója.
Az elnevezés oka, hogy bizonyos végtelen logikára kompaktsági tételt biztosít ez a számosság.
Bár én is végigolvastam e cikket, nem mondanám, hogy minden 100%-ig kínai volt számomra, az ultrafilter-kiterjesztési tétellel kapcsolatban pl. már szeptemberben találkoztam, s mivel akkor valóban semmit sem értettem belőle, addig nem tudtam nyugodni, amíg el nem magyaráztattam valakivel.
Ha ez érdekel: egy gondolatmenet.
Az ultrafilter kiterjesztési tétel (Tarski) a Teichmuller-Tukey-lemmával triviális, és a kiterjesztés ZF-ben nem is bizonyítható (sőt, egyetlen filter sem terjeszthető ultrafilterré ki ZF-ben); viszont lehet ZF+~AC-modellben igaz.
Másrészt a TT azon általánosítása, amikor nem véges, hanem megszámlálható részhalmazokra engedünk tetszőleges tulajdonságot, inkonzisztens.
Felmerül tehát a természetes kérdés, hogy az is inkonzisztens-e, amikor ez a tulajdonság speciálisan a megszámlálható részhalmaz-rendszereken való metszetre zártság?
A meglepő válasz, hogy valószínűleg nem. Ilyen halmazrendszer létezése ugyan ZFC-ben nem bizonyítható, de nem várható ellenpélda sem, mivel ez a legkisebb mérhető számosság definíciója.
Nem állt szándékomban definiálni csak egyfajta puritán értelmezését adtam, még csak körül sem írtam, s minthogy csak kiegészítő tananyagként jött szóba, ennek ismerete a vizsgaidőszakban nem követelmény, nem róható föl ellenem ismeretének foghíjassága.
A matematikában nem örülünk annak, ha valaki egy tömör és világos definíciót körülményesen és kevésbé precízen "átfogalmaz" avagy "értelmez". Nincs rá szükség, nem professzionális és csak eltávolít a tárgytól.
a matematikai filozófia kedvelőinek: egy olyan elem-páron értelmezett viszonyt, mely feltételezi az elemek párba állíthatóságának egyértelmű tulajdonságát), akkor metrikus térről beszélünk.
Ez nem puritánság, ez hibás, amennyiben egyáltalán érthető. A mondat előző része, amely "az analízis kedvelőinek" szól, szintén hibás, hiszen a metrika valós értékű függvény, amely három tulajdonsággal bír.
Nem akarlak lebeszélni a lelkesedésről, de előbb az alapokat kell megtanulni. Ha absztrahálsz, tanuld meg az absztrakció tárgyának definícióját, és a hozzá tartozó fontos tételeket. Csak így értheted meg, hogy az absztrakció miért volt a maga korában fontos, mint a toposzelmélet például A. Grothendieck korában; miért pont ezt az általánosítási irányt választották.
