Pontosabban lényeges szingularitása van az origóban. Ez alatt azt értjük, hogy az origóbeli Laurent-sorában végtelen sok negatív kitevőjű tag szerepel nemnulla együtthatóval.
e^z^2 ez sima, de nem analitikus.
Ez a függvény analitikus a teljes komplex számsíkon.
Ha k egy valós szám és x egy pozitív szám, akkor az xk hatványfüggvényt úgy szokták értelmezni, mint exp(k*ln(x)). Ha k nem nulla, akkor ennek a hatványfüggvénynek van inverze, nevezetesen x1/k. Az xk-t általában az x szám k. hatványának nevezzük, ezért az x1/k-t nyugodtan hívhatjuk az x szám k. gyökének.
Ha én írnék tankönyvet, a fentit írnám bele (részletesebben kifejtve). Ha valaki idegenkedik a k. gyöktől (ahol k nem egész szám), akkor annak valószínűleg az az oka, hogy komplex számok körében ez egy bajosan értelmezhető fogalom (egyrészt mert a k. hatványfüggvény a logaritmus választásától függ, másrészt mert ennek a függvénynek nincs inverze).
Minden nagyobb városban volt egyetem, sok helyen már évszázadok óta. A korabeli tudósok elég jól ismerték egymást, és elődeik munkáit is, és egymással élénk levelezésben álltak. A matematikához meg nem szükséges túl sok biológiai, kémiai vagy fizikai ismeret a világunkról.
Manapság több ember fér hozzá az információhoz, viszont nagyon felhígult. Egyrészt a tömegoktatás levitte a szinvonalat. Másrészt a jó szántóvetőnek alkalmazni elegendő. (Na ehhez képest Császárné könyve annyi bizonyítást tartalmaz, hogy elolvasni se lett volna idő.)
Kevesebb zavaró tényező, mély fókusz
Nem volt internet, nem volt adminisztráció, nem volt publish-or-perish.
Eulernek volt:
- ideje,
- intézményi támogatása (Szentpétervár, majd Berlin),
- és egy kultúra, ahol a matematikát nem eszköznek, hanem önmagáért művelték.
A 18. században a természettudomány valóban kezdetlegesebb volt, de a matematika pont ekkor robbant be. Newton és Leibniz frissen „feltalálták” az analízist, és Euler volt az, aki ezt rendszerré tette. Rengeteg dolgot ő talált ki először, nem volt mihez „lemaradni”.
Milyen szép sima függvény lett. Egyébként heted7 nálam egy hölgyként jön be.
Gondolom a szabásminták ismerősek azért. Ott ugye az emberi test felülete van síkba terítve a szükséges ruha és test közötti hézaggal. Tehát fázistérkép. Egy vonal egy pontja a síkban a fázisgörbén a Módusz értéke.
A Hankel függvényeknek is van fázis Módusz diagrammja. Az origóban fázis nulla helyre berajzolnak egy fv görbét.
Felvesznek egy lekerekített kontúrt. Ezen a vonalintegrált számolnak. Ilyen alkalmaĽása is van. Fázis nulla nem Módus 0 többnyire. Van egy ilyen diagrammom. Ha érdekes linkelhetem. Ha érdekes.
Azért ez az 1748-as dátum elgondolkodtatott. Euler Bach kortársa volt, azaz egy olyan időben élt, amikor még sokkal kevesebbet lehetett tudni a természetről, és az a kevés információ is sokkal nehzebben volt hozzáférhető, mint ma. Ennek a látszólagos elmaradottságnak az ellenére Euler annyira durva dolgokat csinált, hogy a zömét azt egyetemen, vagy legjobb esetben matekszakos gimnáziumban lehet csak megtanítani.
Gergő említett egy függvényt az imént, ezt: exp(-1/(x^2)). Azon gondolkoztam, ez felírható-e így: 1/((x^2)-edik gyök e) ? Szegény chatgpt egyszer igent mond, egyszer nemet, de a fő kérdés az, hogy az n-edig gyök értelmezve van-e nem egész n-ekre. Persze az egész csak egy jelölés, hiszen amit Gergő írt az tuti jó, de azért érdekelne. A chatgpt össze-vissza beszél, awikipedia nem említ semmit expliciten, rendes matekkönyvben meg nem néztem meg, már csak azért sem, hogy kicsit másról is beszéljünk, mint sehrsehr mérnök kollegáinak a bántásáról.
Kicsit részletesebben, a tipikus hozzászólása a következő:
Kitalál valami teljes félreértésen alapuló marhaságot. Azt hiszi, világrengető bölcsesség, és leírja, egyben szánakozik a fizikán úgy általában, hogy még ezt se látja.
Aztán megkérdezi az AI-t.
Az smúzol neki, és nagyon óvatosan, udvariasan elmondja, hogy marhaság. :-)
Szerintem a normális az lenne, hogy megbeszéli a marhaságot nagyszerű ötletet az AI-vel, letisztul az ötlet és ha még tetszik neki, akkor azt írja meg nekünk, parttalan AI szöveg nélkül. Vagy ha az AI lebeszéli róla, akkor megkímél minket.
Egy teljes függvényt rekonstruálunk egyetlen pontjából, ha ismerjük az adott pontban a deriváltakat.
Nem minden függvényt lehet rekonstruálni így. Pl. legyen f(x)=exp(-1/x2), ha x nem nulla, továbbá f(0)=0. Ez a függvény végtelen sokszor differenciálható a teljes számegyenesen, és a 0 pontban mindegyik deriváltja 0 (ez egy nemtriviális állítás). Tehát az f(x) nullabeli Taylor-sora az azonosan 0 függvény, nem az f(x).
Nagyon jó a kérdésed — és a hasonlat is pontos. Amit keresel, az nem a recept, hanem az elv, ami mögötte van.
Próbálom ugyanabban a „Hilbert-tér / operátoros” nyelvben végigvinni, amit elkezdtél.
1. Miért elvileg lehetséges egy pontból rekonstruálni egy függvényt?
A kulcsszó: analiticitás.
Nem „minden” függvény rekonstruálható egy pontból, hanem csak az analitikusak. Ez már önmagában egy nagyon erős struktúra.
Analitikus =
a függvény lokálisan hatványsor, és ez a sor nemcsak közelít, hanem azonos a függvénnyel egy környezetben.
Ez nem definíciós trükk, hanem mély tétel:
* komplex esetben: Cauchy–integráltétel, Cauchy-formula
* valós esetben: lényegében a komplex analitikus eset „árnyéka”
👉 Az analitikus függvények „merevek”. Ha két analitikus függvény egy pont környezetében végtelen rendig megegyezik, akkor mindenhol megegyeznek (ahol értelmezettek).
Ez az ún. azonossági tétel.
(A nevére emlékszem. Volt egy Cauchy-Bunyakovszki tétel. De már elpárolgott.)
Tehát:
az analitikus függvények nem tartalmaznak több információt, mint a deriváltjaik egy pontban.
A jet = az összes derivált egy pontban:
J^infty f(a) = { f(a), f'(a), f''(a), dots }
Ez nem ortogonális, nem normált, nem globális.
Ez egy lokális koordinátarendszer a függvények egy nagyon szűk osztályán.
Jó. Itt megállunk. Ez nekem már sok(k).
(Nem étrem az exponensbe felmászott differenciál operátort.)
