A címnek megfelelően minden eddig megoldatlan matematika probléma leírását várom ide, kérem, hogy minden problémát vastag betűvel írjatok, a róluk való beszélgetést pedig simával. Hozzáértő és érdeklődő laikus egyaránt jöhet nyugodtan.
Egy megoldatlan matematikai probléma: 1. változat: Mennyi a valószinűsége annak, hogy egy újonnan nyitott topic első n hozzászólásában nem fordul elő a "Minkowski" és a "Lagrange" szó? 2. változat: Ugyanez a feladat, ha tudjuk, hogy a topic a 'Tudomány' blokkban nyílt.
Nem matematikai levezetések alapján jött ki az ált.rel. hanem fizikai intuíció révén. Persze ebben sok gondolatkísérlet, számolások, esetleges matematikai meggondolások vezérelték Einsteint, de egy modell létrejötte sohasem matematikai levezetés eredménye, hanem a fantázia szüleménye. A matematikai levezetések csak a kész modellen belül értelmesek. Továbbá megjegyezném, hogy a fizikusok nagyon sokszor olyan fogalmakban gondolkodnak, amiket vagy nem tudnak vagy nem is akarnak rendesen formalizálni. Ez az ő szívük joga. De az ilyen kvázi-modellekkel nem tud egy matematikus mit kezdeni. Az ált.rel. az egy korrektül megfogalmazott matematikai elmélet, ezért lehet rendesen foglalkozni a matematikai aspektusaival. A 2006-os évben 78500 cikket publikáltak a matematikusok, ebből 2600 foglakozott az általános relativitás matematikai problémáival.
Még azt is hozzátenném, hogy egy ellentmondásmentes matematikai elméletben az elmélet egy axiómája mindig igaz (definíció szerint). Ugyanis az adott elméletben igaz állítások az elmélet axiómáinak formállogikai következményei. Ez az "igaz" definíciója ebben a kontextusban. Tehát még akkor is igaz az az axióma abban az elméletben, ha ő egy hamis fizikai állítást fogalmaz meg.
Bocs, de ez a topik matematikai problémákról szól. Te olyan dolgokról beszélsz, amik matematikában egyszerűen nem léteznek. A matematika nem tud szabadesésről, meg kémiai elemekről stb. A matematika csak halmazokról tud. De ezt már kiveséztük, szóval csak arra kérlek, ne off-topikolj tovább.
A természet dolgait átfogalmazni a halmazelmélet nyelvére és aztán megfogalmazni a megfelelő axiómákat az átfordított fogalmakra: ez a fizikusok dolga. Amikor egy fizikus ezt megteszi, akkor beszélhetünk modellről, addig nem. A matematikusok dolga csak itt kezdődik. De ettől függetlenül a matematikusok nagy részét nem érdeklik a fizika modelljei (amik a halmazelmélet nyelvén vannak megfogalmazva), mert a figyelmüket más matematikai problémák kötik le (amiket nem a fizika szolgáltat). Szóval a gyakorlatban a modell adta matematikai problémákon is a fizikusok szoktak gondolkozni, nem a matematikusok, mert nekik igazán fontosak vagy érdekesek ezek a problémák. A matematikának csak egy töredékét teszik ki a fizikusok által felvetett problémák.
A szabadesés egyetemessége nem egy matematikai állítás. A matematikai állítások kivétel nélkül halmazokról szólnak és nincs közük semmiféle méréshez vagy a természet bármiféle működéséhez. A geometria axiómái egyenesekről és pontokról szólnak, továbbá az illeszkedés relációról, de ezek mind-mind csak halmazok. A valószínűségszámításban az események és a valószínűségi mérték is csak halmazok. Az analízisbeli valós számok is halmazok, a függvények is halmazok, a függvények terei is halmazok, azok lineáris operátorai (pl. deriválás) is csak halmazok, de még a terület fogalma is, ami bizonyos ponthalmazokhoz egy számot rendel, is csak egy halmaz. Minden, minden csak halmaz. Nincs benne szabadesés, meg fény, meg anyag, meg impulzus, meg idő, meg ki tudja még micsoda. A matematikában minden halmaz és magasról szarik a természetetre.
Miután ezt tisztáztuk, azt is tisztáznunk kell, hogy mindenki olyan axiómákat (halmazokról szóló állításokat) választ magának, amilyen neki tetszik. Aztán megkérdezheti hogy egy konkrét (halmazokról szóló) állítás a választott axiómákból következik-e vagy sem. Na így néz ki egy matematikai probléma. Az, hogy "miként oldjunk meg egy egyenletet" az nem egy matematikai probléma, hanem egy emberi-didaktikai-pszichológiai probléma. Az hogy "mi ennek meg annak az egyenletnek a megoldása" szintén csak egy emberi-didaktikai-pszichológiai probléma. Az iskolában (egyetemen) annyi ilyen (rossz) kérdést tesznek fel a nebulóknak, hogy nem csoda, hogy a végén nem tudják, mi fán terem egy matematikai probléma. A matematikusok viszont jól tudják és szarnak az olyanokra, akik nem tudják.
Erdos es De Brujin egy klasszikus tetele szerint ha egy adott szinre nincs megfelelo szinezes, akkor van egy olyan veges reszhalmaza a siknak, hogy mar az sem szinezheto jol.
Ez szvsz minden grafra igaz: ha 133 szinnel nem szinezheto, akkor valamely veges resze sem szinezheto annyi szinnel (ha kivalasztasibolbol igaz annyi, ami Godel kompaktsaghoz kell)
Egy hires problema a kombinatorikaban az "egysegtavolsag graf kromatikus szama".
A kovetkezorol van szo:
Egy szep elemi faladat, hogyha a sik pontjait akarhogy kiszinezzuk harom szinnel, akkor lesz ket olyan pont, melyek szine azonos, es melyek tavolsaga pontosan 1.
Hasonlo elemi feladat, hogy pl 9 (sot akar 7) szinnel mar ki lehet szinezni a sikot ugy, hogy ket azonos szinu pont tavolsaga soha sem lesz 1.
Ebbol az kovetkezik, hogy a 4, 5, 6, 7 szamok kozott van egy olyan, hogy annyi szinnel meg ki lehet szinezni a sikot ugy, hogy ne legyenek azonos szinu pontok 1 tavolsagra, de kevesebbel mar nem.
Kerdes, hogy pontosan melyik ez a szam?
Sot, az is erdekes lenne, ha valaki ki tudna zarni a fenti lehetosegek barmelyiket.
Egy erdekes velemeny amit ezzel kapcsolatban olvastam, hogy ez akar fugghet
attol is, hogy elfogadjuk e a kivalasztasi axiomat vagy nem
(pl Soifer es Shelah nevere erdemes rakeresni).
Erdos es De Brujin egy klasszikus tetele szerint ha egy adott szinre nincs megfelelo szinezes, akkor van egy olyan veges reszhalmaza a siknak, hogy mar az sem szinezheto jol.
Úgy tudom, még nem tudják. Ez egyébként Shelah híres pcf-módszerének (possible cofinalities) egy alkalmazása (tkp. ezért kapott Bolyai-díjat). Menachem Kojman-nak van egy jó bevezetője a pcf-be, letölthető. Csak rá kell keresni a Google-on.
Egyetértek. A konklúzió egyébként a halmazelmélet legszebb eredményeinek egyike. Hihetetlen, hogy pont 4 az alsó index. sashimi korábban a halmazelmélet legnagyobb kérdésének nevezte, hogy javítható-e a 4 kisebbre.
P(Alef_omega) > Alef_omega triviálisan igaz, ez Cantor tétele. Jó Tündér arra gondolhatott, hogy Alef_omega minden kisebb számosságú részhalmazának hatványhalmaza kisebb, mint Alef_omega. Ez ÁKH mellett ez igaz, hiszen akkor P(Alef_n)=Alef_{n+1}<Alef_omega. ZFC-ben pedig bizonyára független állítás, hogy P(Alef_n)<Alef_omega minden n-re. Abból gondolom ezt, hogy Shelah idézett survey-ben az első oldal mintatételében ez a premissza (a konklúzió pedig P(Alef_omega)<Alef_{omega_4}).
A hatványhalmazokkal kapcsolatos, és ritkábban idézett tény, hogy eldönthetetlen a ZFC-ben, hogy P(Alef_0)<P(omega_1) igaz-e. Konzisztens, hogy egyenlőek.
mmormota, tényleg mást írt, de jól éreztem, hogy hibás. vegyél egy nemrákövetkező számosságot, pl. Alef_omega-t. Alef_omega alatt csak Alef_n, (n természetes) számosságok vannak. Ha tehát igaz, hogy P(Alef_omega)<Alef_omega, akkor =Alef_n, valamilyen n-re. Ami nem lehet, hiszen P(Alef_n)<P(Alef_n+1)<P(Alef_omega) (ÁKH-val). Tehát P(Alef_omega) > Alef_omega, de persze reguláris, pl. Alef_(omega+1).
Kedves Jo Tunder, ez így nem igaz. Pl. vegyük Alef_omega egy Alef_omega számosságú valódi részhalmazát. Ennek számossága nagyobb lesz, mint Alef_omega.
Nehéz és érdekes kérdések merülnek fel a számosságok hatványozásával kapcsolatban. sashimi vagy Nautilus tudna ezekről többet mutatni. Van Shelah-nak egy érdekes survey cikke, esetleg kukkants bele.
Elnézést, nem fogalmaztam pontosan. A projektív hierarchia már egy olyan halmazrendszer, amely jellemzésével számosan előfordulnak ZFC-ftlen állítások. Minél jobban haladunk a bonyolultabb halmazok felé (nem diffható >> nincs a projektív hierarchiában), annál több ZFC-ftlen állítást kapunk.
A független állítások olyankor kerülnek elő, amikor egy függvény nem differenciálható, nem folytonos, nem mérhető, nem tartozik a projektív hierarchiába
?
Pl: igaz-e, hogy egy ko-analitikus halmaz vagy megszamlalhato vagy tartalmaz perfekt reszhalmazt?
Igazan a proj. hierarchia alljarol szolo allitas, ami L-ben hamis, de igaz pl ha van merheto szamossag.
és persze szakaszonként folytonos helyett szakaszonként diff-ható függvények a "lényegében simák". A független állítások olyankor kerülnek elő, amikor egy függvény nem differenciálható, nem folytonos, nem mérhető, nem tartozik a projektív hierarchiába, stb.
"sehol sem folytonos" helyett >> m.m. sehol sem differenciálható -- Persze a KH és számos egyéb ZFC-konzisztens állítás összefüggése ismert. Így pl. az L konstruktív hierarchiában teljesül a(z) (Á)KH, vagy a Martin-axióma csak akkor mond újat, ha nem igaz a KH.
Köszönöm. Teljesen laikus vagyok, csak annyit értek hozzá, amennyit nem matek szakon az egyetemen megtanítottak. Azért kérdeztem, mert el se tudtam képzelni, mi jöhet ki egy ilyenből. Most már legalább valami halvány sejtésem van róla.
Pl. megmutatták (Woodin-Foreman), hogy ha ZFC-nek van modellje, akkor van olyan modellje is, amelyben az ÁKH hamis minden számosságra.
Pontosan akkor, ha a KH hamis, a sík nem bontható fel két A_1, A_2 részre úgy, hogy A_1-nek minden vízszintes, A_2-nek minden függőleges egyenesen lehfeljebb megszám lálható sok pontja van. Vagy a sík nem áll elő megszámlálható sok y=f(x), vagy x=f(y) fv. gráfjának egyesítéseként. Ezeken kívül még számos példa ismert (v.ö. Totik jegyzete, 9. fej.). A KH egyébként konzervatív a Peano-aritmetika (halmazelméletbeli fordítása) felett abban az értelemben, hogy nem lehet vele új számelméleti eredményeket bizonyítani.
Van olyan terület, ahol a kontinuum-hipotézis tagadása természetesnek számít, ez a számosság-hatványozás kérdésköre.
De Te szvsz analízisbeli, pl. funkanal. példákat keresel. Amennyire én tudom, még nincs olyan lényeges, természetesen felmerült kérdés a matematikában, amelyet a KH feltevésével bizonyítani tudtak, és ftlen a ZFC-től.
Modellelméletben a Shelah-Keisler tétel olyan, hogy eleinte csak az ÁKH-val bizonyították, de aztán jóval bonyolultabb bizonyítást találtak a ZFC-ben.
Annak oka, hogy az ÁKH nem annyira fontos a gyakorolt matekban (pl. a fizikában) szvsz az, hogy a szakaszonként folytonos, vagyis a lényegében sima függvények szvsz "beleférnek" a ZFC-be, azaz róluk minden lényeges elmondható. Más kérdés pl. a sehol sem folytonos fv-ek, pl. martingálok, Brown-folyamatok elmélete. Szvsz előbb-utóbb a sztochasztikus elméletekben fog először fontosabb szerepet játszani a KH tagadása.
Van még a "Kaliforniai Iskola", ahol az ÁKH tagadásával és egyéb ZFC-ftlen állítás feltételével próbálnak olyan modelleket definiálni, amelyek inuitíve természetesnek tűnnek (Woodin).
"Kontinuumra szintén triviálisan van ilyen, a megszámlálható végtelen."
A négy stabil részecskékre, amik helyét és sebességét lehetelen potosan megállapítani, érvényes a Minkowski-térben a folytonotossái egyenlet
D J(k) = 0, k = e,p,P,E.
Ha ezeknek kétféle elemi töltése van, akkor a kétféle töltésre vonatkozó folytonotossági egyenletek is érvényesek D J(e.m.) = 0 és D J(grav.) = 0.
Tételezzük fel a kétféle mezöre is érvényes a Lorenz-feltétel D A(e.m.) = 0 és D A(grav.) = 0. Ez azt jelenti a kétféle mezö tulajdonsága nem változik, mert a Minkowski-térben a folytonotossági egyenletek megmaradási törvényeknek felelnek meg. (Belátható hogy az e.m.-mezö és a gravitációs mezö fizikai tulajdonsága minden körülmény között megmarad.)
A különbség a kétféle folytonotossági egyenlet között az, hogy a részecskék esetében, a töltésekre vonatkoztatott térintegrál a töltéssürüségeken KVANTÀLT értékeket vesz fel attól függöen, hogy hány, egy, kettö, három, ... vagy megszámolhatóan sok elemi töltés (tehát részecske) van a térben és ennek a idöbeli változását csak a tér felületén áthaladó részecskék száma határozza meg.
Pont ennek a beépítése a Maxwell-elméletbe nem történt a 20. század elején meg.
A kvantált töltések létezéséböl vezethetö le a helytálló relativisztikus kvantummechanika és nem az energia kvantáltsága feltevéséböl.
