A címnek megfelelően minden eddig megoldatlan matematika probléma leírását várom ide, kérem, hogy minden problémát vastag betűvel írjatok, a róluk való beszélgetést pedig simával. Hozzáértő és érdeklődő laikus egyaránt jöhet nyugodtan.
Páratlan számot meg kell szorozni 3-mal és aztán lehet csak hozzáadni 1-et. Ez a szabály. Ha lehetne csak 1-et hozzáadni az előtte 3-mal való szorzás nélkül, akkor triviális lenne a feladat, nem lenne miről beszélni.
Az osztás a szabály része. Páratlan számhoz hozzá kell adni 1-et és osztani kell 3-mal. Páros számot osztani kell 2-vel. Ez a szabály. Ha lehetne csak 1-et hozzáadni 3-mal való osztás nélkül, akkor triviális lenne a feladat, nem lenne miről beszélni.
Az említett probléma a matematika egyik híres nyitott kérdése. Tehát jelenleg nem tudjuk, hogy mindig elérjük-e az 1-et. Amit mondasz, hogy "elég elérni egy 2-hatványt", az egy trivialitás, de cseppet sem világos, hogy miért érünk el mindig 2-hatványt.
A problémáról sok cikket írtak már, itt van két összefoglaló:
Bár röstellem magam, de nem olvastam végig, h valaki válaszolt-e a bármely számból hogyan csináljunk 1-es bizonyítására :)
Ez merőben pofon egyszerű, ha ránézünk a számsorra, rögtön szembe tűnik a 2 az n-en... azaz, addig kell csak szorozni+1 (osztani talán fölös is eleinte) amíg a 2 az n-dikent meg nem kapjuk. onnantól cs/2 ;)
Egy megoldatlan matematikai probléma: 1. változat: Mennyi a valószinűsége annak, hogy egy újonnan nyitott topic első n hozzászólásában nem fordul elő a "Minkowski" és a "Lagrange" szó? 2. változat: Ugyanez a feladat, ha tudjuk, hogy a topic a 'Tudomány' blokkban nyílt.
Nem matematikai levezetések alapján jött ki az ált.rel. hanem fizikai intuíció révén. Persze ebben sok gondolatkísérlet, számolások, esetleges matematikai meggondolások vezérelték Einsteint, de egy modell létrejötte sohasem matematikai levezetés eredménye, hanem a fantázia szüleménye. A matematikai levezetések csak a kész modellen belül értelmesek. Továbbá megjegyezném, hogy a fizikusok nagyon sokszor olyan fogalmakban gondolkodnak, amiket vagy nem tudnak vagy nem is akarnak rendesen formalizálni. Ez az ő szívük joga. De az ilyen kvázi-modellekkel nem tud egy matematikus mit kezdeni. Az ált.rel. az egy korrektül megfogalmazott matematikai elmélet, ezért lehet rendesen foglalkozni a matematikai aspektusaival. A 2006-os évben 78500 cikket publikáltak a matematikusok, ebből 2600 foglakozott az általános relativitás matematikai problémáival.
Még azt is hozzátenném, hogy egy ellentmondásmentes matematikai elméletben az elmélet egy axiómája mindig igaz (definíció szerint). Ugyanis az adott elméletben igaz állítások az elmélet axiómáinak formállogikai következményei. Ez az "igaz" definíciója ebben a kontextusban. Tehát még akkor is igaz az az axióma abban az elméletben, ha ő egy hamis fizikai állítást fogalmaz meg.
Bocs, de ez a topik matematikai problémákról szól. Te olyan dolgokról beszélsz, amik matematikában egyszerűen nem léteznek. A matematika nem tud szabadesésről, meg kémiai elemekről stb. A matematika csak halmazokról tud. De ezt már kiveséztük, szóval csak arra kérlek, ne off-topikolj tovább.
A természet dolgait átfogalmazni a halmazelmélet nyelvére és aztán megfogalmazni a megfelelő axiómákat az átfordított fogalmakra: ez a fizikusok dolga. Amikor egy fizikus ezt megteszi, akkor beszélhetünk modellről, addig nem. A matematikusok dolga csak itt kezdődik. De ettől függetlenül a matematikusok nagy részét nem érdeklik a fizika modelljei (amik a halmazelmélet nyelvén vannak megfogalmazva), mert a figyelmüket más matematikai problémák kötik le (amiket nem a fizika szolgáltat). Szóval a gyakorlatban a modell adta matematikai problémákon is a fizikusok szoktak gondolkozni, nem a matematikusok, mert nekik igazán fontosak vagy érdekesek ezek a problémák. A matematikának csak egy töredékét teszik ki a fizikusok által felvetett problémák.
A szabadesés egyetemessége nem egy matematikai állítás. A matematikai állítások kivétel nélkül halmazokról szólnak és nincs közük semmiféle méréshez vagy a természet bármiféle működéséhez. A geometria axiómái egyenesekről és pontokról szólnak, továbbá az illeszkedés relációról, de ezek mind-mind csak halmazok. A valószínűségszámításban az események és a valószínűségi mérték is csak halmazok. Az analízisbeli valós számok is halmazok, a függvények is halmazok, a függvények terei is halmazok, azok lineáris operátorai (pl. deriválás) is csak halmazok, de még a terület fogalma is, ami bizonyos ponthalmazokhoz egy számot rendel, is csak egy halmaz. Minden, minden csak halmaz. Nincs benne szabadesés, meg fény, meg anyag, meg impulzus, meg idő, meg ki tudja még micsoda. A matematikában minden halmaz és magasról szarik a természetetre.
Miután ezt tisztáztuk, azt is tisztáznunk kell, hogy mindenki olyan axiómákat (halmazokról szóló állításokat) választ magának, amilyen neki tetszik. Aztán megkérdezheti hogy egy konkrét (halmazokról szóló) állítás a választott axiómákból következik-e vagy sem. Na így néz ki egy matematikai probléma. Az, hogy "miként oldjunk meg egy egyenletet" az nem egy matematikai probléma, hanem egy emberi-didaktikai-pszichológiai probléma. Az hogy "mi ennek meg annak az egyenletnek a megoldása" szintén csak egy emberi-didaktikai-pszichológiai probléma. Az iskolában (egyetemen) annyi ilyen (rossz) kérdést tesznek fel a nebulóknak, hogy nem csoda, hogy a végén nem tudják, mi fán terem egy matematikai probléma. A matematikusok viszont jól tudják és szarnak az olyanokra, akik nem tudják.
Erdos es De Brujin egy klasszikus tetele szerint ha egy adott szinre nincs megfelelo szinezes, akkor van egy olyan veges reszhalmaza a siknak, hogy mar az sem szinezheto jol.
Ez szvsz minden grafra igaz: ha 133 szinnel nem szinezheto, akkor valamely veges resze sem szinezheto annyi szinnel (ha kivalasztasibolbol igaz annyi, ami Godel kompaktsaghoz kell)
Egy hires problema a kombinatorikaban az "egysegtavolsag graf kromatikus szama".
A kovetkezorol van szo:
Egy szep elemi faladat, hogyha a sik pontjait akarhogy kiszinezzuk harom szinnel, akkor lesz ket olyan pont, melyek szine azonos, es melyek tavolsaga pontosan 1.
Hasonlo elemi feladat, hogy pl 9 (sot akar 7) szinnel mar ki lehet szinezni a sikot ugy, hogy ket azonos szinu pont tavolsaga soha sem lesz 1.
Ebbol az kovetkezik, hogy a 4, 5, 6, 7 szamok kozott van egy olyan, hogy annyi szinnel meg ki lehet szinezni a sikot ugy, hogy ne legyenek azonos szinu pontok 1 tavolsagra, de kevesebbel mar nem.
Kerdes, hogy pontosan melyik ez a szam?
Sot, az is erdekes lenne, ha valaki ki tudna zarni a fenti lehetosegek barmelyiket.
Egy erdekes velemeny amit ezzel kapcsolatban olvastam, hogy ez akar fugghet
attol is, hogy elfogadjuk e a kivalasztasi axiomat vagy nem
(pl Soifer es Shelah nevere erdemes rakeresni).
Erdos es De Brujin egy klasszikus tetele szerint ha egy adott szinre nincs megfelelo szinezes, akkor van egy olyan veges reszhalmaza a siknak, hogy mar az sem szinezheto jol.
Úgy tudom, még nem tudják. Ez egyébként Shelah híres pcf-módszerének (possible cofinalities) egy alkalmazása (tkp. ezért kapott Bolyai-díjat). Menachem Kojman-nak van egy jó bevezetője a pcf-be, letölthető. Csak rá kell keresni a Google-on.
Egyetértek. A konklúzió egyébként a halmazelmélet legszebb eredményeinek egyike. Hihetetlen, hogy pont 4 az alsó index. sashimi korábban a halmazelmélet legnagyobb kérdésének nevezte, hogy javítható-e a 4 kisebbre.
P(Alef_omega) > Alef_omega triviálisan igaz, ez Cantor tétele. Jó Tündér arra gondolhatott, hogy Alef_omega minden kisebb számosságú részhalmazának hatványhalmaza kisebb, mint Alef_omega. Ez ÁKH mellett ez igaz, hiszen akkor P(Alef_n)=Alef_{n+1}<Alef_omega. ZFC-ben pedig bizonyára független állítás, hogy P(Alef_n)<Alef_omega minden n-re. Abból gondolom ezt, hogy Shelah idézett survey-ben az első oldal mintatételében ez a premissza (a konklúzió pedig P(Alef_omega)<Alef_{omega_4}).
A hatványhalmazokkal kapcsolatos, és ritkábban idézett tény, hogy eldönthetetlen a ZFC-ben, hogy P(Alef_0)<P(omega_1) igaz-e. Konzisztens, hogy egyenlőek.
mmormota, tényleg mást írt, de jól éreztem, hogy hibás. vegyél egy nemrákövetkező számosságot, pl. Alef_omega-t. Alef_omega alatt csak Alef_n, (n természetes) számosságok vannak. Ha tehát igaz, hogy P(Alef_omega)<Alef_omega, akkor =Alef_n, valamilyen n-re. Ami nem lehet, hiszen P(Alef_n)<P(Alef_n+1)<P(Alef_omega) (ÁKH-val). Tehát P(Alef_omega) > Alef_omega, de persze reguláris, pl. Alef_(omega+1).
Kedves Jo Tunder, ez így nem igaz. Pl. vegyük Alef_omega egy Alef_omega számosságú valódi részhalmazát. Ennek számossága nagyobb lesz, mint Alef_omega.
Nehéz és érdekes kérdések merülnek fel a számosságok hatványozásával kapcsolatban. sashimi vagy Nautilus tudna ezekről többet mutatni. Van Shelah-nak egy érdekes survey cikke, esetleg kukkants bele.
Elnézést, nem fogalmaztam pontosan. A projektív hierarchia már egy olyan halmazrendszer, amely jellemzésével számosan előfordulnak ZFC-ftlen állítások. Minél jobban haladunk a bonyolultabb halmazok felé (nem diffható >> nincs a projektív hierarchiában), annál több ZFC-ftlen állítást kapunk.
A független állítások olyankor kerülnek elő, amikor egy függvény nem differenciálható, nem folytonos, nem mérhető, nem tartozik a projektív hierarchiába
?
Pl: igaz-e, hogy egy ko-analitikus halmaz vagy megszamlalhato vagy tartalmaz perfekt reszhalmazt?
Igazan a proj. hierarchia alljarol szolo allitas, ami L-ben hamis, de igaz pl ha van merheto szamossag.
és persze szakaszonként folytonos helyett szakaszonként diff-ható függvények a "lényegében simák". A független állítások olyankor kerülnek elő, amikor egy függvény nem differenciálható, nem folytonos, nem mérhető, nem tartozik a projektív hierarchiába, stb.
"sehol sem folytonos" helyett >> m.m. sehol sem differenciálható -- Persze a KH és számos egyéb ZFC-konzisztens állítás összefüggése ismert. Így pl. az L konstruktív hierarchiában teljesül a(z) (Á)KH, vagy a Martin-axióma csak akkor mond újat, ha nem igaz a KH.