Tök jó: annyira elhatalmasodott itt az offolás, hogy a moderátor egy kivételesen bekerült on-topik hozzászólást kivett innen, mert azt hitte, hogy topikrombolás;)
Ez eléggé bonyolult ez a kérdés. A Tarski igazsághalmazokra vonatkozó tételéből következik, hogy a Peano aritmetikában igaz mondatok Gödel-számainak a halmaza nem aritmetikai halmaz. Újból csak a Smullyan: Gödel nemteljességi tételei című könyvet tudom ajánlani.
Az is igaz, hogy az aritmetikában van olyan igaz mondat, ami nem bizonyítható.
"Nem megfogható fogalom pl. a matematikai igazság is..."
- Szerintem minden matematikai fogalomra van valamilyen valós "kézzel fogható" analógia. Például a deriváltra a meredekség, a komplex számokra egy síklap pontjai, vagy éppen az összeadásra az a manuális művelet, amikor az egyik doboz tartalmát összeöntöd a másik doboz tartalmával. Bármilyen matematikai műveletről is beszélünk, annak elvileg kézzel foghatóan is prezentálhatónak kell lennie. Persze ha felírunk egy roppant tertjedelmű és bonyolultságú képletet, nyilván nehéz dolgunk lesz a "dobozokkal és almákkal" való prezentálás kapcsán, de a lényeg, hogy pusztán elvileg léteznie kell egy ilyen prezentációnak. Az létezhetetlen, hogy valamely ismeretünk, ami ráadásul hasznosnak is bizonyul, csak úgy a semmiből eredjen... ezzel szerintem automatikusan elismernénk a természetfeletti fogalmát.
De lehet, hogy tévedek... belátom ez már csak filozófiai hablaty... (habár én eddig legalábbis fontos mondanivalót vélek benne felfedezni).
Oké, a tudás fogalmának tisztázása is érdekes feladat, de visszatérve arra, amiről beszéltünk, a megoldásom jónak tűnik, és nem használ semmilyen filozófiai izét csak annyit, hogy amit bizonyítok, azt tudom. Persze már ebben is van némi ködösítés. Az önreferenciáról akkor ezek szerint megváltozott a véleményed.
Nem megfogható fogalom pl. a matematikai igazság is, és azt matematikailag le lehet írni.
A definíció fogalmad viszont nekem tűnik önreferenciálisnak, mert mi az, hogy fogalom? Az egy definícióval meghatározott dolog, nem?
Definíció alatt egy fogalom pontos körülírását értjük. Egy definíció birtokában elvileg bármiről el kellene tudnunk dönteni, hogy azonos-e a definiált fogalommal.
A tudás fogalmával az a baj, hogy nem lehet egyértelműen definiálni.
Például tudás az, ha valaki azt mondja, hogy a Föld bolygó létezik? Nyilván azt mondanánk, hogy igen, persze, ez tudás, még ha nem is osztanak érte diplomát. Na de mi van, ha valaki Itt-a-piros-hol-a-pirost játszik (tegyük fel, hogy mind a játékos, mint a játékszolgáltató szabályosan játszik) és azt mondja, hogy tudja, melyik kupak alatt van a golyó, és helyesen rá is mutat. Tudta vagy nem? Az ösztönünk azt súgja, hogy ez nem tudás volt, csak úgymond "ráhibázott". Pedig ez egyáltalán nem is ilyen egyszerű! Rendszerezhetjük az ismereteinket aszerint, hogy megfelelnek-e bizonyos kritéiumoknak (például megismételhetőség, kísérleti ellenőrizhetőség), de lássuk be, a két dolog között nincs fundamentális különbség. A Természet (<--- a fizika) csak azt látja, hogy az első valaki szilárdan áll a Földön, a mási meg arra a kupakra mutat rá, amelyik alatt a golyó van. A többi mind-mind csak duma egy olyan lény szájából, aki gondolat és gondolat között rendetvág, hogy kiszelektálja a nem megismételhető sikerekkel kecsegtető gondolatokat azok közül, amelyeket tudományosnak nevez.
Ez egyáltalán nem önhivatkozás, ugyanis részletesebben kifejtve azt állítottam, hogy ha létezik olyan érvényes elemi logikai lépésekből álló sorozat, amelyben igaz állításokból indulok ki és megkapok egy A állítást, akkor A-t tudom. És itt nem használtam kétszer azt, hogy 'tudom'. De egyébként szerintem is felesleges tovább erről beszélni, ugyanis az itt használt matematikai fogalmak nincsenek precízen definiálva.
Hogy jobban rávilágítsak:
Vegyük a legkisebb olyan "n" természetes számot, amelynek nincs 1000-nél kevesebb karakterből álló definíciója.
Ezt a számot éppen most definiáltam 1000-nél kevesebb szóval, tehát egyrészt n nem definiálható-, másrészt definiálható 1000-nél kevesebb karakteres definícióval.
Ha itt tisztáznánk, hogy pontosan mit értünk definíció alatt, megszűnne a paradoxon.
Jó. Hát azt hiszem ezt a dolgot kitárgyaltuk. Talán hozzáfűznék még egy utolsó megjegyzést:
Ha egy nap azon kapom magam, hogy a siralomházban ücsörgök, és az akasztásomra várok, hát azt hiszem egy kicsit sem a Logika paradoxonjain fogok töprengeni... vagy mégis? tulajdonképpen tökmindegy, a végén úgyis fűbe harapok... :-)
Fontos, hogy a parancs ellentmondásosságát én láttam be kívülről, a karoszékemből, a rabot egy precíz matematikai objektumnak (egy pontosan specifikált következtetőgépnek) tekintve. Így szvsz. az önhivatkozásból adódó probléma és a paradoxon feloldódott.
A Logika csakis akkor érvényes módszer, ha a vizsgált rendszer minden elemét legalább elvben megfeleltethetjük valamilyen valóságos entitásnak.
Nagyon filozófiai módon fogalmazol, nem tudom, hogy mit értesz ez alatt. Mindenesetre a legtöbb paradoxont az okozza, hogy egy szöveges feladat esetében nem mindig tudjuk, hogy hogyan formalizáljuk matematikafeladattá. Mihelyt formalizálunk, a paradoxon esokszor etűnik. Ha erre gondolsz, egyetértünk. Jelen esetben még formalizálás után is elég érdekes szörnyet kapunk, ugyanis mint látni fogod itt egy önhivatkozó ellentmondásos axiómarendszer furcsaságát lehet megfigyelni.
Jelen feladat esetén tudás alatt olyasmit értettünk, hogy a rab ki tudja következtetni. A feladat nehézségét az adja, hogy a rendszer önhivatkozó, a következtetéseknél hivatkozik egy valamely más napon önmaga által kikövetkeztethető állításokra.
Azt hiszem sikerült formalizálni.
A Rab egy következtetőgép, amely a parancsnoktól axiómákat kap.
A napoknak az 1-7 számokat feleltetem meg.
K(x) azt jelenti, hogy x napon kivégzik a rabot.
RK(x,y) azt jelenti, hogy a Rab következtetőgép x napon ki tudja következtetni, hogy K(y).
Axiómák (a parancsnok adta meg):
1. K(1), K(2), ... K(7) közül pontosan egy igaz.
2. RK(x,x) -> nem K(x)
Könnyen levezethető, hogy az axiómarendszer ellentmondásos. Figyelem, a levezetést én csinálom kívülről nézve a rabot, mint következtetőgépet, én már sajátmagamra nem hivatkozom:
3. Tétel: RK(7,7)
Bizonyítás:
A rab következtetőgépben a 7-edik napon x<7-re nem K(x), így (1.) axiómából K(7) igaz.
4. Tétel: nem K(7)
Bizonyítás: 3. tételből és (2.) axiómából jön.
5. Tétel: RK(6,6)
Bizonyítás:
A rab következtetőgépben a 6-edik napon x<6-re nem K(x), továbbá 4. tételből nem K(7) így (1.) axiómából K(6) igaz.
6. Tétel: nem K(6)
...
Végül kijön, hogy nem K(1), nem K(2), ... nem K(7), ami ellentmondában van az (1.) axiómával. A parancs ellentmondásos.
"Én a tudásról csak azt használtam fel, hogy ha valamit tudunk bizonyítani, akkor azt tudjuk."
- Ez így önmagára hivatkozás (!), azaz nem definíció: Akkor tudsz valamit, ha (bizonyítani) tudod.
* * *
- A Logika csakis akkor érvényes módszer, ha a vizsgált rendszer minden elemét legalább elvben megfeleltethetjük valamilyen valóságos entitásnak. Mondjuk legyen az a tudás, hogy a rab agyában felbukkan egy bizonyos, nagyon speciális idegi impulzus... amire mondjuk a legjobb agysebészekből és pszichológusokból álló tudóscsoport azt mondja, hogy na ez a "tudás" agyi mintázata. Így máris valóságos entitást rendelsz a történetben szereplő "tudás" fogalomhoz (és feltéve, hogy minden más elemmel így jársz el), a Logika így válik érvényes eszközzé. A rab mindjárt nem fogja tudni megjósolni, hogy tudja-e majd szerdán, hogy... ha meg olyan fasza gyerek, hogy valamilyen módon (önsúlykolással, helyileg elvégzett agyműtéttel, fingshui gyakorlattal, stb... stb... akármivel...) képes az agyában ezt az impulzust felépíteni, akkor a hóhér a szabályok szerint nem akaszthatja fel. Legalábbis a szabályok szerint nem. Ha szabálytalanul jár el, akkor sem a logika módszere vall kudarcot, csak az előfeltevések voltak hibásak (konkrétan az, hogy a hóhér az igazgató utasítása szerint jár el).
Én a tudásról csak azt használtam fel, hogy ha valamit tudunk bizonyítani, akkor azt tudjuk. Ez szerintem elfogadható. Sajnos a filozófiához nem értek, és nem tudok ezért érdemben válaszolni az érveidre (Pl.: hogy a logikát nincs mire alkalmazni stb.). De mondom, van a paradoxonnak matematikai, formalizált feloldása. A modális logika foglalkozik amúgy ilyen állításokkal és formalizálásukkal, hogy 'tudom, hogy (X)'; 'bizonyítható, hogy (X)'; 'analitikusan igaz, hogy (X)' stb.
Sokmindent felhasználtál, csak valahogy elsiklasz amellett, hogy az egész téma akörül forog, hogy mit értünk a személyes tudáson.
Én azt mondom, hogy amíg a tudás fogalmát nem kötjük valamilyen ellenőrizhető objektív eseményhez vagy állapothoz (akármihez csak tényszerűen minősíthető legyen), addig ez az egész téma a semmiből semmibe puffogtatás.
Definiáljuk úgy a tudást, hogy a rab cellájában van-e legalább egy hatkilós vasgolyó, és a helyzet eldönthető (habár a tudásról alkotott természetes képünktől abszolúte távol áll). Definiáljuk a tudást úgy, hogy az közel álljon a róla alkotott természetes felfogásunkhoz, de a vasgolyó esetéhez hasonlóan ellenőrizhető legyen. És pukk.... paradoxon azonnal eltűnik.
Nyilván nem, mivel nem tudhatja, hogy a parancsnok nem bírálja-e felül a papírra írtakat. Ám a rab azt sem tudhatja, hogy holnap lesz-e az akasztása, hiszen meglehet, hogy a parancsnok csak rosszindulatúan, de ártaltmatlanul ijesztgeti.
A lényeg az, és ezt már leírtam, hogy pontosan definiálni kell, hogy miként minősítjük a rab tudását vagy nemtudását. Ha úgy minősítjük (már leírtam), hogy látta-e a papíron szereplő dátumot, akkor tudja, ha nem akkor nem. Ezek alapján az is mindegy, hogy az akasztás tényleg aznap lesz-e, vagy hogy a rab a vasárnapi akasztáson a logikára hivatkozva érvel, a szituáció egyértelműen és vitán felül minősíthető, tehát az akasztás a parancsnokkal való ellentmondás nélkül teljesíthető.
"Tehát nálad az 1 napos és a 2 napos között van a határ? Ezen feladatokat más jellegűnek tartod?"
- Igen. Az 1 és a 2 napos eset között alapvető minőségi különbség van. A 2 napos esetben a hóhér kétféle dátumot írhat a papírra, így a rab nem tudhatja, hogy mi áll a papíron. Ha a hóhér csak egyetlen dátumot írhat a papírra, akkor a rab is tudja, hogy mi fog rákerülni. Hiszen lényegében közlik vele. Előbbi esetben tehát az igazgató teljesíthető feladatot ró a hóhérra, utóbbiban nem (a szavaiddal élve zöldségeket beszél).
Egyébként tetszik a redukáló elgondolásod, csak hát úgy tnik a redukálásnál is figyelni kell, mert a mennyiségi redukció ezek szerint egy ponton túl minőségi változással is járhat.
Amúgy Smullyan leírja a problémát, meg szerintem a feloldását is a Gödel nemteljességi tételei könyvében. Nem használt hozzá semmilyen "filozófiai" eszközt.
Ha a parancsnok igazat mondott, akkor másnap felakasztanak, és ez váratlanul fog érni.
De ekkor holnap felakasztanak.
Mivel bizonyítottam, hogy ha a parancsnok igazat mondott, akkor holnap felakasztanak, ezért ha igaz, amit a parancsnok mondott, az akasztás nem érhet váratlanul. Tehát a parancsnok nem mondott igazat.
Ekkor viszont a parancsnok hazudott, így ha másnap felakasztanak, akkor az nem fog váratlanul érni.
Ugyanígy ha mondjuk másnap nem akasztanak fel, akkor az érhet váratlanul vagy nem váratlanul.
(Itt pár dolgot felhasználtam, pl. hogy a rab logikusan gondolkodik, hogy minden állítás vagy igaz, vagy hamis; vagy hogyha a rab bizonyít valamit, akkor az nem érheti váratlanul.)
Mivel a rab logikusan gondolkodik, ezért a logikus következményt vonja le, vagyis hogy a parancsnok hazudik.
Ok, ez egy bonyolultabb feladat, de redukáljuk a napok számát. Mi a vélyeményed a 7 napos helyett a 2 napos feladatról.
Parancsnok:
A rabot Hétfőn vagy Kedden fel kell akasztani, de semmelyik reggel nem tudhatja, hogy aznap akasztják...
Gondolom erre még ugyanaz a meglátásod, mint a 7-es esetre.
És mi a helyzet az 1 napos esettel?
Parancsnok:
A rabot Hétfőn felakasztják, Hétfőn reggel nem tudhatja, hogy aznap akasztják...
Ennél a feladatnál egyetértesz velem? A parancsnok itt már nyilvánvaló zöldésget beszél, hiszen egyedül a Hétfő áll rendelkezésre, a hogy nem tudhatná a rab, hogy akkor akasztják? De akkor meg nem lehet akasztani, mert tudja, ellentmondás.
Tehát nálad az 1 napos és a 2 napos között van a határ? Ezen feladatokat más jellegűnek tartod?
Én úgy gondolom, hogy mindkettőben zöldséget beszél a parancsnok, csak az 1 napos esetben ez nyilvánvaló, a 2 napostól kezdve már nehezebb átlátnunk.
Szerintem a parancs nem ellentmondásos. Arról szól, hogy a hóhér a 7 nap közül olyan napot válasszon, amelyikről a rab aznap elején nem tudhatja, hogy a hóhér azt a napot választotta.
Csakhogy a rabnak ennyi információ alapján mondjuk kedden reggel nem áll módjában eldönteni, hogy nem jönnek-e érte perceken belül, vagy esetleg ez másnap történik majd. Tehát akár érte mennek aznap, akár nem, ezt nem tudhatja.
Nem a parancs az ellentmondásos tehát, hanem a rab "logikája" fut zátonyra. Én azon az állásponton vagyok, hogy azért, mert eleve nincs is mire a logikát, mint módszert alkalmaznia. Úgy is fogalmazhatnék, hogy a semmit vagdossa vele. Erre próbáltam rámutatni azzal, hogy talán képzeljük el, amint a hóhér egy papírra leírja a dátumot, és elrejti. A rab számára a tudás vagy nemtudás kérdése arról szól, hogy ismeri-e a papíron szereplő dátumot. Márpedig nem ismeri, sőt éppenséggel semmit sem tud azon kívül, hogy valamilyen dátum igenis áll a papíron. A parancsnok "tudáskritériuma" mindössze ezt az alaphelyzetből szükségszerűen teljesülő állapotot idézi fel.
Nincs ellentmondás, nincs paradoxon. A rabnak egyszerűen semmiféle okfejtés nem áll a módjában a papír tartalmáról. Mégis hogy állhatna? Pusztán elvi megfontolások alapján kiderítheti, hogy mi áll egy valóságos papírra valóságosan írva? Ha ez így lenne, akkor nem lenne szükség természettudományokra. Egyszerűen csak logikára volna szükség, oszt bárki megjósolhatná, hogy holnap esik-e az eső... még az ablakon sem kéne kinéznie hozzá... :D
Igen, erről van szó. Rájött, hogy ellentmondás van, egyik lehetőség sem lehetséges, de azért önkényesen csak kiválasztott egy lehetőséget mint helyes megoldást.
