Kantor és Szolodovnyikov könyvében találtam rájuk. Szeretném tudni, milyen alkalmazásai léteznek a hiperbolikus komplex számoknak és a Study féle számoknak.
Nem egészen. A wedge-product egy bináris művelet, éppúgy, mint a számok között a szorzás, vagy összeadás. A Grassmann-algebra két eleméhez rendel egy harmadikat. A K test feletti V vektortér feletti Grassmann-algebra altérként tartalmazza többek között a V vektorteret és a K testet is (mint vektorteret). Valamint a k-szoros ékszorzatok által kifeszített k-vektorok tereit is (k=0,...,n, ahol n a V dimenziószáma). Az ékszorzat antiszimmetrikussága csak a V-beli elemek ékszorzatára van kikötve, de pl. a K-bei elemekére már nem áll fenn. Ezekre a wedge product a síma szorzással azonos, tehát kommutatív (szimmetrikus).
Szerintem a 2x2-es mátrixok terének a 2-dimenziós altereiről van szó.
A komplex számok például a 2x2-es egységmátrix, és az (-1,1) mellékátlójú antiszimmetrikus mátrix lin. komb-jaként előállő mátrixokkal reprezentálhatók. (ld. pl. itt).
Kérlek, megmondanád, hogy mit kell a kétdimenziós mátrixon érteni? Jól gondolom-e, hogy egy mxn-es mátrix kétdimenziós, egy mxnxp alakú pedig háromdimenziós?
Szép összefoglaló. Bár nem egészen értem, hogy miért gyűrűről beszélsz, amikor valójában algebrát értesz alatta.
Érdekes, hogy ha a 2-dimenziósság helyett a zérusosztómentességet kötjük ki, akkor is három lehetséges algebrát kapunk: a valós számokat, a komplex számokat és a kvaterniókat (Frobenius tétele).
legyen R a valós számok egy olyan kommutatív gyűrűbővítése amelyik két dimenziós a valós test felett. ekkor R izomorfia erejéig háromféle gyűrű lehet. vagy egy olyan elemmel van bővítva eminek a négyzete 1, vagy egy olyannal aminek a négyzete 0 vagy egy olyannal aminek a négyzete -1.
bizonyítás: a gyűrű reprezentálható a kétdimenziós mátrixok gyűrűjében. a vektortér saját maga, az operáció a szorzás. vegyünk egy elemet a gyűrűben ami nincs benne a valós testben. legyen ez J. állítás: aJ+b négyzete 1,0 vagy -1, jól megválasztott
a,b valós számokra. ez a J minimálpolinomja felírásából egyszerűen következik.
ez az aJ+b generálja a gyűrűt.
az egyetlen amit látni kell, hogy ezek a gyűrűk nem azonosak. de ez világos. az egyik közülük ugye a komplex test. amikor a négyzete a generátornak 1,abban van nullosztó, t.i. a generátor minusz 1, de nincs benne nilpotens elem. tegyük fel, hogy van és írjuk fel a minimálpolinomját, ellentmondásba kerülünk a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenséggel. ugye, a harmadik gyűrűt eleve egy nilpotens elem generálja. Q.E.D
a nilpotens elemek által generált asszociatív algebrák leginkább a differenciálgeometriában lépnek fel, dx az ugye nilpotens az ékszorzásra.
Én most hallok ezekről a "Study-számokról", úgyhogy semmit sem tudok róluk. Viszont egy kicsit keresgéltem, és kiderítettem, hogy Eduard Studyról, és az általa felfedezett duális számokról lehet itt szó. Alkalmazásként itt csak a polinomok deriválásának egy speciális módszere van megemlítve.
Kantor és Szolodovnyikov kis könyvecskéjében találkoztam velük. Ahogy a könyv halad a legegyszerűbb komplex számoktól a Cayley féle számokig a kvaterniókon keresztül, elidőzik a kétkomponensű komplex számoknál. Kimutatja, hogy alapvetően háromféle komplex szám létezhet:
1. ahol a képzetes egység négyzete -1
2. (Study-féle számok) ahol a képzetes egység négyzete 0 és
3. (hiperbolikus komplex számok) ahol a képzetes egység négyzete 1
Az első a mindenki által ismert komplex szám. Tudjuk, hogy nagyon sokféle dologra alkalmas. Bevezetése után sok addig megoldatlan feladatot meg lehetett oldani.
De mire valók a Study-féle számok? Megpróbáltam kipuhatolni az abszolút értékét vagy normáját, abból kiindulva, hogy a szorzat normája egyenlő a szorzandók normájának szorzatával. Nos itt az jött ki, hogy egy ilyen Sudy-féle szám normája azonos a valós rész abszolút értékével. Tehát nem lehet osztani a tisztán képzetes számokkal. Jelöljük pl. a Study számot így: z = a + bW. (A képzetes egység: W).
Akkor |Re z| = |z|. A valós és komplex számnál csak zéróval nem lehet osztani. Ezeknél a számoknál végtelen sok van olyan, amelyikkel nem lehet osztani: a 0 + bW alakúak (b eleme R-nek)
A szögfüggvények, hatványfüggvény és hiperbolikus függvények Taylor sorával is el lehet játszadozni, érdekes dolgok jönnek ki. (Gondolom az eki-t is így találták ki.)
Hasonlóan vizsgálódtam a hiberbolikus komplex számok között. Itt azt találtam, hogy a z = a + bE alakú szám normája a2-b2. (A képzetes egység: E). Itt viszont mindazokkal a számokkal nem lehet osztani, melyeknél |Re z| = |Im z|. A Taylor soros vizsgálódás eredménye szintén elég érdekes. Próbáljátok meg!
Megkérdezem a tudós matematikus fórumozóktól: Milyen alkalmazása van ezeknek a számoknak akár a matematikában, akár a fizikában?
