Wiles nem kapott Fields-érmet, mert éppen túllépte a korhatárt (40 év), mire elkészült a helyes bizonyitással. Helyette kapott egy ún. ezüstérmet a dijkiosztón. De az igaz, hogy minden más elképzelhetõ dijat megkapott.
Legalábbis kellően bonyolult axiómarendszerekre igaz ez, mert pl. az (egyébként ugyancsak Gödel nevéhez fűződő) teljességi tétel szerint az elsőrendű logika teljes, azaz minden igaz állítás bizonyítható benne. És persze ellentmondásmentesnek is kell lennie az axiómarendszernek, mert ugye hamis állításból minden bizonyítható.
Egy érdekes átfogalmazása a nemteljességi tételnek, hogy ha egy (kellően bonyolult) rendszer be tudja látni önmaga ellentmondásmentességét, akkor az a rendszer ellentmondásos.
A "kellően bonyolult" meghatározása kellően bonyolult :-), mindenesetre ha egy rendszer legalább olyan erős, mint a természetes számelmélet (azaz meg lehet fogalmazni benne a természetes számok tulajdonságait), arra biztosan alkalmazható a Gödel-tétel.
egy n alapszámú számrendszerben ha a számjegyek összege osztható n-1 -el, akkor maga a szám is osztható vele, ha pedig nem, akkor az osztási maradékuk megegyezik
Mi több, ez n-1 osztóira is igaz. n+1 osztóira pedig (ha jól emlékszem) a számjegyek váltakozó előjelű összegével mondható ki hasonló állítás.
Off (
Szerintem Gödel azt mutatta ki, hogy egyetlen axiómarendszer sem elég erős ahhoz, hogy a saját bizonyíthatósági kérdéseit megoldja, azaz meg lehet fogalmazni olyan igaz állítást, amely nem bizonyítható, illetve olyan hamis állítást, amely nem cáfolható a rendszerben. Ezek az állítások a következők: "Ez az állítás nem bizonyítható a rendszerben" (igaz, nem bizonyítható), "Ez az állítás cáfolható a rendszerben" (hamis, nem cáfolható).
)
Gödelnek nen volt sejtése, ha jól tudom, ő "csak" egy fontos logikai tételt fogalmazott meg. (Minden axioma rendszerben létezik olyan állítás, melyhez nem lehet logikai igazságértéket rendelni (igaz-hamis)) S mivel ez bizonyítva vagyon, ennélfogva nem is sejtés,.
Fermat-nak több "sejtése" is volt, sokról bebizonyosodott, hogy hamis, néhányat viszont igazolni lehetett. A leghíresebb sejtése viszont a "Nagy Fermat sejtés", ezt kb 8-10 éve bizonyította Andrew Wiles, s ha minden igaz az erre kiírt ösztöndijjan kívül még egy Fields díjjat is bezsebelt érte. Az meg azt mondja ki, hogy ha a kitevők egyenlőek s nagyobbak, mint 2, akkor két pozitív egész hatvány összege nem lehet egyenlő egy harmadik pozitív egész hatványával.
A hárommal való osztás tulképpen csak speciális esete az n+1, n-1 problémának, azzaz egy n alapszámú számrendszerben ha a számjegyek összege osztható n-1 -el, akkor maga a szám is osztható vele, ha pedig nem, akkor az osztási maradékuk megegyezik. Ezt még a hinduk fedezték fel, s bizonyították valamikor a helyiértékes számrendszerük megalkotásakor.
Kezdjük kétjegyűvel. Legyen a szám ab. Ennek értéke 10*a+b =9*a +a +b.
9*a osztható hárommal, akármilyen a egész szám esetén.
a+b = a számjegyek összege. Ha a+b is osztható hárommal, akkor 10*a+b is (az előzőek szerint).
Háromjegyű: abc alakú. Értéke: 100*a+10*b+c= 99*a+9*b+ a+b+c. Hogy osztható legyen hárommal, csak a+b+c-nek kell oszthatónak lennie hárommal. Ez pedig a számjegyek összege!
Stb.
