Persze, minden dimenziónak van egy speciális tulajdonsága: nevezetesen, hogy ő éppen annyi, amennyi. Félretéve a tréfát, ezek azok a titkok, amiért valaki matematikus lesz. A Banach-Tarski paradoxon pl. azért nem műkődik 2-dimenzióban, mert a sik egybevágóság-csoportja sokkal egyszerűbb, mint a magasabb dimenziós euklideszi tereké. Minden konkrét jelenségre - ha megértetted - fel lehet hozni okokat, de a meglepetések tárháza kimerithetetlen.
„Vajon milyen matematikai tulajdonság eredményezi -ha egyáltalán-, hogy 3 dimenziósnak (ill. pszeudo-riemann értelemben 4 dimenziós sokaságnak) látjuk a világot?”
Nem hiszem, hogy matematikailag ez megmagyarázható lenne. Az eddigi érvek, amiket hallottam, elég gyenge lábon álltak. Pl. csak 3 d-ben működik a négyzetes erőtörvény , meg a hozzá hasonlók azon „csodálkoznak”, hogy nem működik egy 3 d-re írt modell más dimenzióban.
Ráadásul maga a dimenzió fogalom is a modellezés terméke, amit kísérletileg igazolni nagyon nehéz. Így a pontosságáról, skálafüggéséről elég keveset lehet hallani.
Köszi a példákat. (Most látom, hogy összekevertem a topikokat és a dimenziókkal kapcsolatos kérdések nem itt jöttek elő.) Szerinted mi okozza ezt? Minden dimenzióra van valami speciális tulajdonság, ami minőségileg más mint a többi dimenziónál, csak ezek nem biztos hogy relevánsak/feltártak. Esetleg az emberi intuíció nem működik egyformán vagy valahogy a világ lopja be magát így a matematikába?
Azért pontosabb az 1/(2(d-1)), mert az 1/d3 nagyságrendű hibával megadja annak valószinűségét, hogy legfeljebb 4 lépésben visszatérjünk az origóba. Az 1/(2d) csak a 2 lépéses visszatérések valószinűségét adta meg. Nyilván minél hosszabb sétákat figyelembe veszünk, annál pontosabb közelitést kapunk. (Ez az állitás azért nem triviális, mert d-t növeljük).
"A végső bizonyosságot sohasem érheted el, marad az, hogy hiszel abban, hogy a világ szép és hogy a matematika igenis szól valamiről."
Szep es helyes szavak...
Azt hiszem nem arulok el ujdonsagot neked, ha leirom, hogy szerintem a matematikai mindekeppen szol valamirol, mert abbol a celbol hozztuk letre, talaltuk ki. (Szoval hiszek benne.)
HA, ne adj isten, kiderulne, hogy a formalizmus ugymond osszeegyezehetetlen azzal, hogy a matematika igenis szol valamirol, akkor en inkabb dobnam a formalizmust, mint hogy a matematikat lealacsonyitsam egy CSAK jelentes nelkuli szimbolum-manipulaciora. (Ez eleg poltikus duma volt, de remelem erted, hogy mire gondolok...) Szerencsere erre nem kerulhet sor, mert ahogy kifejtetted, a tisztan formalis levezetesnek nincsen jelentese. Nincs ellentmondasban a tiszta formalizmus elve azzal, hogy a matematika azert szol is valamirol. (De hogy mirol szol, az mar jo kerdes...)
A 326-os üzenetemben a második mondatba hiba csúszott: Formálisan átirva ez annyit tesz, hogy "~X => [hamis]", ami azt röviditi, hogy "~~X v [hamis]", ez utóbbi pedig ekvivalens X-szel.
Arra gondolok, hogy a problémád nem a formális levezetés szintjén jelentkezik, hanem ott, ahol jelentést tulajdonitasz a formális levezetésnek. Persze ezt a metaszintet (levezethetőség, ellentmondásmentesség stb.) is formalizálni lehet, erről szól a matematikai logika, de ezzel sem éred el a végső bizonyosságot. A végső bizonyosságot sohasem érheted el, marad az, hogy hiszel abban, hogy a világ szép és hogy a matematika igenis szól valamiről.
Koszonom igy mar tiszta.
"Ha úgy bizonyitunk, hogy "feltéve, hogy X hamis, ellentmondás következik", akkor csak egy nyelvi fordulattal élünk. Formálisan átirva ez annyit tesz, hogy "~X => [hamis]", ami azt röviditi, hogy "~~X v [igaz]", ez utóbbi pedig ekvivalens X-szel."
Pontosan arra gondoltam, hogy a nyelvi fordulatot hogyan tesszuk at a formalis levezetesbe.
" kérdésed a metaszintről szólt, ti. hogy mi van akkor, ha az adott rendszerben ellentmondás van. "
Nem. Ha ellentmondas van, akkor barmi levezetheto, ezt en is tudom. Nem azt kerdeztem, hogy mi van akkor, ha ellentmondas van, mert nem erdekel ez az eset (mert barmi levezetheto). Csak az erdekelt, hogy mikepp teszed at az amugy NEM ellentmondasos rendszerben a fenti probelmatikus mondatot egy formalisan helyes levezetesbe. Most mar OK.
Elnezesedet kerem, ha helytelenul hibaztatalak! Bizonyora mast kiritizaltal a hozzaszolasomban, mint amit en gondolok rola, csak a tomor valaszodbol nem lehet kivenni, hogy mit akarsz irni... Arra gondolsz talan, hogy van olyan logikai szabalyunk (axiomank ha igy tetszik), ami kimondja a matematika ellentmondasmentesseget? Mert ilyen nincsen.
Ha úgy bizonyitunk, hogy "feltéve, hogy X hamis, ellentmondás következik", akkor csak egy nyelvi fordulattal élünk. Formálisan átirva ez annyit tesz, hogy "~X => [hamis]", ami azt röviditi, hogy "~~X v [igaz]", ez utóbbi pedig ekvivalens X-szel.
A kérdésed valójában nem erről szólt, tehát nem arról, hogy hogyan formalizálhatunk egy indirekt bizonyitást. A kérdésed a metaszintről szólt, ti. hogy mi van akkor, ha az adott rendszerben ellentmondás van. Az én válaszom is a metaszintben lett megfogalmazva, és az is formalizálható, ha úgy tetszik.
Szerintem Te szant szandekkal ertesz felre engem... Azzal egyetertek amit a 317-ben irtal, de meg csak koze sincs ahhoz amirol en irtam.
Ha meg egyszer megnezed amit irtam, lathatod, hogy nem a feltetelezessel volt bajom, hanem azzal, hogy azt formalisan nem irhatod le, hogy "nyugodtan feltehetjuk, hogy (x es ~x) nem lehet igaz". Mifele levezetes az, amibe a "nyugodtan feltehetjuk" kifejezes szerepel? Ez nem egy matematikai kifejezes, hanem egy kinyilatkoztatas, mar elnezesedet kerem!
Masodsorban viszont, ahogyan noway megvilagotta nekem (HA jol ertettem meg amit irt, amit nagyon remelek), nem is kell ugy elmondanom az indirekt bizonyitast, hogy az "ellentmondas" szerepeljen benne, igy az eredetileg felvetett problemam ezzel teljesen kipusztult. Ergo most teljesen felesleges dologrol vitatkozok veled...
Sajnálatos elirás volt. Arra gondoltam, hogy a visszatérési valószinűség 1-nél kisebb, tehát 0 annak a valószinűsége, hogy végtelen sokszor visszatérjünk a kiindulási pontba.
Igen, igy van. A sikban a rácspontokon egyenletesen bolyongva 1 valószinűséggel (végtelen sokszor) visszatérünk a kiindulási pontba, a térben viszont ennek a valószinűsége 0.
Megjegyzendő, hogy ha egy rendszerben a Gödel-szám és a levezethetőség formulával reprezentálható, akkor az utóbbi olyan formulával is reprezentálható (a konstrukció Rossertől származik), amellyel megfogalmazva a rendszer konzisztenciáját a rendszer igenis bizonyitani tudja azt. Persze ez a bizonyitás semmit sem ér abban az esetben, ha a rendszer valójában ellentmondásos. Gödel II. nemteljességi tétele azért nem mond ellent ennek az állitásnak, mert az a levezethetőséget reprezentáló formulára bizonyos természetes megkötéseket feltételez. A részletek megtalálhatók Csirmaz László honlapján.
Elég baj, hogy nem tudsz mit kezdeni a "nyugodtan feltehetjük" kijelentéssel. Ui. a logika alapvető szabályai csak olyan kijelentéseket formalizál, minthogy "ha A igaz és A-nak következménye B, akkor B is igaz". Egy ilyen kijelentésnek viszont csak akkor tulajdonithatsz értelmet, ha fel tudod tenni, hogy A igaz. Még akkor is, ha A történetesen hamis.
A végtelen bolyongás sem mindegy, hogy 2 vagy 3 dimenzióban van, úgy emlékszem(!) (Pólya tétele, visszatérünk-e az origóba?). A Brown-mozgásnál is fontos a dimenzió, hasonló ok miatt.
A Banach-Tarski-paradoxon nem igaz 2 dimenziós euklideszi térben, de 3-ban már igen. És 2 dimenzióban van additív mérték P(R^2)-en, 3 dimenzióban már nincs.
Vajon milyen matematikai tulajdonság eredményezi -ha egyáltalán-, hogy 3 dimenziósnak (ill. pszeudo-riemann értelemben 4 dimenziós sokaságnak) látjuk a világot?
Az ember olyan könnyen ugrik végtelen dimenzióra, pedig a különböző dimenziós terek/sokaságok között is mély különbségek vannak (persze evidens, de érdekes).
Egyetértek Veled, hogy formalista eszközökkel nem ragadható meg a végső igazság. De ez nem mond ellent annak, hogy a formális kijelentéseink mögött valódi igazság húzódjék meg. De abban is igazad van, hogy nem érdemes ebbe az irányba terelni a beszélgetést.
Eszembe jutott néhány példa speciális dimenziókra. A 4 dimenziós sokaságokat kitünteti az a tény, hogy rajtuk megszámlálhatatlanul sok különböző differenciálható struktúra létezhet. A fizikusoknak jó matematikai érvük van arra, hogy miért 10 vagy 11 dimenziós húrelméletben vizsgálódjanak. A gömbpakolásoknál kitüntetett szerepe van a 8 és a 24 dimenziónak. Egyes kombinatorikus geometriai problémákban a 2 és a 3 dimenzió a legnehezebb. Ilyen pl. Erdős kérdése, hogy adott számú pont között maximálisan hányszor fordulhat elő egy adott távolság.
Nem értek egyet, Goldbach bizonyitása a linkelt oldalon teljesen direkt: az a rész is, hogy két különböző Fermat-számnak csak a d=1 lehet közös osztója. A 293-as üzenetemben is egy direkt bizonyitást mutatok be: minden n-hez megadok egy nála nagyobb primet.
Huh! Látszik, hogy nagyon félreértjük egymást. Pl. „a nem értem , mit nem ért..” nem azt akarta jelenteni, hogy csodálkozom, hogy nem érti, hanem azt, hogy nem tudom pontosan, hogy mi az igazán kifogásolt rész lényege. És még sorolhatnám, de nem fontos.
