Keresés

(Jé, itt ilyen topik is van!?)

 

A már említett Matolcsi-féle modellezésen túl szerintem a kategóriaelmélet mindenhol megjelenik a fizikában, ahol például a kohomológia megjelenik. Na persze a kohomológia is csak bizonyos megküzelítésben merül fel itt-ott, de ahol felmerül az azt jelenti, hogy ott a homologikus algebra is felmerül, ez pedig azt, hogy a kategóriaelmélet is.

 

Egyébként meg nCatLab.orgis tele van fizikai példákkal, hogy mást ne mondjak, például a fizika különböző ekvivalenciaelveit a kategóriaelméleti ekvivalenciaelv speciális esetének tekinti. Én azt hiszem, hogy a kategóriaelmélet a fizikában egyféle nézőpont, ami általános összefüggésekre világít rá.

Egy laza hangevtelu bevezeto:

 

http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf

A kategoriaelmelet megalkotasahoz az egyik fo motivacio az a felismeres volt, hogy

bar sok matematikai konstrukcio termeszetes, egyes konstrukciok termeszetsebbek

a tobbinel.  Az egyik elso cel az volt, hogy ennek a kulonbsegtetelnek matematikailag is szabatos jelentest talaljanak.

Leirok erre egy teljesen elemi peldat.

 Legyen n  pozitiv egesz. Ha megnezzuk az (1-1)^n=0 azonossagot, akkor a binomialis tetel segitsegevel belathatjuk a kovetkezot:

 Egy n elemu halmaznak pontosan ugyanannyi paros elemu reszhalmaza van, mint paratlan elemu (pl az n=2 esetben a fenti azonossag : 1-2+1=0 ahol az egyik

1 a ketelemu reszhalmazok szama, a masik az ures halmazok szama, a 2 pedig a

ket 1-elemu reszhalmaz szama). 

 Ebbol persze kovetkezik, hogy a paros es a paratlan elemszamu reszhalamazokat

parba lehet ugy allitani, hogy minden paratlan elemu reszhalmaznak pontosan egy

paros elemu parja legyen es viszont.

 Ha n=2 es a ketelemu alaphalmazunk {A,B}, akkor a kovetkezo egy lehetoseg

( legyen {} az ures halmaz):

 {} parja legyen {A}, mig {A,B} parja legyen {B}.

 Ez sikerult, de van a dolognak egy "szepseghibaja" : a fenti konstrukcio

 "egy bizonyos ertelemben" NEM TERMESZETES.  Mi lenne termeszetes? Legyen n=3,

az alaphalmazunk pedig legyen {A,B,C}.  Nezzuk a kovetkezo parbaallitast:

  {} <---> {A, B, C}, {A} <--->{B,C} ... es igy tovabb: minden halmaznak feleltessuk

 meg a komplementeret. Mivel az n paratlan volt, igy paros elemu halmaznak paratlanok felelnek meg a kivant modon. Ez utobbi  minden paratlan n-re mukodik, es kedves a szemnek.

    Felmerulhet a kerdes: van e valamilyen termeszetes konstrukcio akkor, ha az n paros? Ahhoz, hogy azt allithassuk, ilyen nincs, mindenekelott egy definiciora

lenne szuksegunk. A kategoriaelmelet pedig ad egyet, amint megmondjuk mi a ket

funktor es mi a ket kategoria.   

Javaslom ezt az összefoglalót. Mint az absztrakt elméleteket általában, a kategóriaelméletet is érdemes konkrét példákat fejben tartva megérteni. Például a topológikus terek és a köztük értelmezhető folytonos leképezések kategóriát alkotnak, a csoportok és a köztük értelmezhető homomorfizmusok úgyszintén. A két kategória közötti funktorra fontos példa a fundamentális csoport: ez minden topológikus térre értelmezve van, továbbá a terek közti folytonos leképezések homomorfizmusokat indukálnak a megfelelő fundamentális csoportok között. Két folytonos leképezés egybefűzése (kompoziciója) a megfelelő homomorfizmusok egybefűzését eredményezi, és igy tovább.

A kategóriaelmélet egységes nyelvezetbe szedi az ilyen kapcsolatokat és általános tételeket bizonyit róluk. Az általános tárgyalásmódnak fontos jellemzője a hatékonyság, de talán még fontosabb, hogy megfelelő kérdéseket feltéve képes rejtett objektumokat felszinre hozni. Az emberiség például már évezredek óta gyönyörködik a szimmetriákban (elég csak az épitészetre és az épületek diszitőelemeire gondolnunk bárhol és bármikor a világon), de sokkal több szimmetria fedezhető fel, ha egyszerűen feltesszük a kérdést: milyen lehet egy objektum összes szimmetriáinak a csoportja. Igy született meg - mintegy 180 éve - a csoportelmélet és hasonlóképpen született meg - mintegy 60 éve - a kategóriaelmélet.

Attól függ milyen matematikusról van szó.

Valami köze tényleg van a programozáshoz de erröl a kapcsolatról csak azt hallottam, hogy van. :)

Egyebkent nem olyan csúf dolog az csak valahogy senki sem szereti a parcialis algebrakat. Vagy megis. Szerintem egy felmeresen az utca embere a vektorterekre szavazna a modulusokkal szemben a melyik teccik jobban játékban. :)

 

Matolcsi a klasszikus- és kvantummechanika egységes modellezésére használja. Definiál egy olyan általános modellt, amelynek mindkettő speciális esete (ugyanannak a kategóriának két különböző részkategóriái definiálják őket). Általánosságban definiálja a fizikai mennyiségeket, kovarianciát, folyamatot, stb. Aztán erre az általános modellre építve külön tárgyalja a klasszikus és kvantummechanika modelljét, a nekik megfelelő kategóriát, illetve objektumot véve.
Lehet, hogy később Matolcsi maga is fölöslegesnek ítélte ezt az általános megközelítést (bár nekem speciel tetszik), mert a Models in Mechanics könyve már nem használja a kategóriákat.

A fizikaban mire hasznaljak a kategoriaelmeletet?

És ott magyarul.

Matolcsi Tamás Matematikai fizka I. jegyzetében is le vannak írva az alapok.

http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

google-lal találtam ezt a kis introductiont hozzá. Szeretném azt hinni, hogy ezt még én is meg tudom érteni.

Micsoda? Tanult emberek a tudatlanság mellett teszik le a voksukat?! :-)

Csatlakozom KoporShow-hoz, szerintem is jobb ezt nem tudni :))

Igen, a funkcionalis programozasnal egyesek ugy csinalnak mintha lenyeges kozuk volna a kategoriaelmelethez. Igazabol csak egyes terminologiakat vesznek at. Altalaban azonban a matematikusok kozott is akik "hasznaljak" a kategorielmeletet csak a nyelvezetet hasznaljak, nem pedig tenyleges eredmenyeket.

Aha.
En olyan kontextusban olvastam rola, hogy azt gondoltam, hogy a Computer Science- hez is van koze.
Azt hittem, hogy koze van a programozas soran hasznalt strukturak elvi megalapozasahoz.

Szerintem nem akarod tudni. :)

Meg egy matematikusnak sincs sok szuksege ra, nemhogy egy nem matematikusnak.

Egyebkent az absztrakt algebrai strukturak tovabbi absztrakciojarol van szo.

Miaza' Category Theory?

El tudna valaki magyarazni egy nem matematikusnak, hogy mi is ez?