esetünkben legyen f'(x)=sin(37x+5) f(x)=-1/37 cos(37x+5) g(x)=exp(x-4) g'(x)=exp(x-4)
Ha szükséges, ezt a módszert mégegyszer alkalmazzuk, és amit végül kapunk az vagy semmitmondó azonosság, vagy jó esetben egy egyenlet amiből megkapjuk a keresett intergrált.
Meg tudna valaki mondani, hogy a teljes szamegyenesre vett integralja az exp (-x^k) -nak (k tetszoleges egesz) megadhato-e zart alakban ? Elore is kosz.
Ujrairom. Muster Marknak nincs igaza, ez az integral kifejezheto elemi fuggvenyekkel. Eloszor vezesd be a cx=t2 helyettesitest, amivel az integrandus - konstans szorzoktol eltekintve - t2(t2-1)-1/2dt-ve valik. Ez felbomlik (t2-1)-1/2dt es (t2-1)1/2dt osszegere. Az elobbi integralja archt, azaz ln(t+(t2-1)1/2); az utobbie pedig visszavezetheto az elobbire, ha parcialis integralast alkalmazunk, azaz kettagu osszegkent felirjuk d(t(t2-1)1/2)-t (a Leibniz szabaly szerint) es az osszeg ket oldalat integraljuk.
Muster Marknak nincs igaza, ez az integral kifejezheto elemi fuggvenyekkel. Eloszor vezesd be a cx=t2 helyettesitest, amivel az integrandus - konstans szorzoktol eltekintve - t2(t2-1)-1/2dt-ve valik. Ez felbomlik (t2-1)-1/2dt es (t2-1)1/2dt osszegere. Az elobbi integralja archt, azaz ln(t+(t2-1)1/2); az utobbie pedig visszavezetheto az elobbire, ha parcialis integralast alkalmazunk, azaz kettagu osszegkent felirjuk d(t(t2-1)1/2)-t (a Leibniz szabaly szerint) es az osszeg ket oldalat integraljuk.
Általában is ezt kell csinálni, felbontod a polinomot olyan valódi törtekre, ahol a nevezőkben legfeljebb másodfokú polinomok vannak, és ezeket már tudod integrálni (többféle eset van, attó függően, hogy hogy néznek ki ezek a törtek, általában inverz szögfüggvények deriváltjaival kapcsolatos a megoldás).
Pl. 1+x3 = (1+x)*(x2-x+1), így 1/(1+x3) = A*1/(x+1) + B*x/(x2-x+1) + C*1/(x2-x+1).
Ebből A*(x2-x+1) + B*x*(x+1) + C*(x+1) = 1, a lineáris egyenletrendszerből kijön A,B,C.
Az A-s tag integrálja ln, a B-s tagé egy másodfokú polinom logaritmusa (ki kell egészíteni a számlálót úgy, hogy a tört f'/f alakú legyen, és C-t ennek megfelelően módosítani), a C-s tagot meg úgy, ahogy az előzőnél csináltad, valami t2-1 alakra hozni. Az meg integrálható (talán arccos, most lusta vagyok gondolkodni).
Rájöttem az egyik integrálra, nem kellenek hozzá komplex számok.
van az 1/(1 + x + xx)
függvény.
az t = x - 1/2
helyettesítéssel lehet megoldani.
Ekkor dx/dt=1 tehát nem lesz vele macera.
a kapott függvény 1/(xx + 3/4)
Az integrálási határok pedig (-1; 1)-ről (-3/2; 1/2)-re módosulnak.
A függvény nevezőjét hozzuk közös nevezőre :
(4xx + 3)/4
Ennek a reciproka a keresett integrál.
Tehát
4/(4xx + 3)= 4 * 1/(4xx + 3)= 4/3 * 1/((4/3)xx +1) = 4/3 * (gyök(3)/2) * (2/gyök(3)) / (1 + sqrt(2x/gyök(3))
Erre azért van szükség mert az utolsó tag így éppen arctg(2x/gyök(3)) deriváltja.
A primitív függvény így:
(2/gyök(3)) * arctg(2x/gyök(3))
Az eredeti feladat eredménye tehát: pí/gyök(3)
Tehát meg lehet ezt oldani komplexek nélkül is. A másik feladatra azért még kéne egy jó megoldás.
A konstansos integrálra nekem se sikerült rájönni. :(
Először is köszönöm.
A módszert ismertem, de nem jutott volna eszembe, hogy komplex számokkal kavarjak.
A leírás világos, egyszerű, de nekem mégsem sikerül iszámolnom.
az xx + x + 1 gyökei nekem -1/2 +- (1/2)i*sqrt(3)
Eddig még mindig nincsolyan nagy baj.
Aztán kiszámolom A-t és B-t, ahogy írtad, A=-B a konstans tagokra pedig i*sqrt(3)*B=1
Innen B=1/(i*sqrt(3)) (A meg -B)
Visszatéve az eredeti integrálba
kiemelve az 1/(i*sqrt(3))-at az egyik tört primitív függvénye az ln(x+(1/2)-(1/2)i*sqrt(3))lesz a másiké ugyanez az 1/2-ed előtt plusszal.
Ez még mindig nem kéne, hogy meglepjen nyilván, hiszen az volt a cél, hogy az egyenlet gyökei szerint válasszuk szét a függvényt.
Azonban most az a problémám, hogy a komplex számok logaritmusával nem tudok mit kezdeni. Nem tudom egyszerűbb alakra hozni szegényeket, pedig a számszerű megoldás nem tartalmaz komplex számokat.
(Ezt onnan tudom, hogy a példa az egyik szigorlati soron szerepel és feleletválasztós, és mind a négy megoldás valós. Nincs előtem a sor, de emlékeim sezrint a megoldásban ln2 és Pí valahányszorosa is szerepel.)
szia:
Nekem is felmerult egy hasonlo jellegu problemam, kerem, aki hozzaerto es van egy kis ideje, segitsen az alabbi integral megoldasaban:
hatarozatlan integral (c - 1/x)^(-1/2)dx ,ahol c konstans.
A trükkje mindkettőnek az, hogy az
1/(polinom) törtet átalakítod A/(lineáris függvény)+B/(másik lineáris függvény)+C/(harmadik lineáris függvény) ...stb formára.
Lineáris függvény az, ami ilyen alakú: ax+b, ahol a és b paraméter.
Ezeket pedig már röhögve tudod integrálni gondolom. (integrál 1/x = ln x + Const alapján).
Ezt az átalakítást a következőképpen tudod megcsinálni. Először is szét kell bontanod a polinomot lineáris függvények szorzatára. Ezt úgy tudod megcsinálni, hogy megkeresed a zérushelyeit, és ha például u-nak és v-nek adódtak, akkor az átírás (x-u)(x-v). Például 1+x+xx esetében az
1+x+xx=0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek gyökei (-1+-sqrt(1-4))/2, azaz -1/2+-sqrt(3)i. Az sqrt a négyzetgyökfüggvény. Pechedre itt sajnos komplex számok is képbe jönnek, de reméljük, hogy azokat ismered.
Amit innentől tutira vehetsz az az, hogy az
A/(x+1/2-sqrt(3)i)+B/(x+1/2+sqrt(3)i)=1/(1+x+xx) egyenlet azonosság lehet alkalmas A és B megválasztásával. Kérdés itt az A és B értéke, mivelhogy ha ezek meglesznek, onnantól már csak
A/(x+1/2-sqrt(3)i)+B/(x+1/2+sqrt(3)i)-t kell integrálnod. (Valósra fog kijönni ez tuti.) Ezt meg úgy tudod megcsinálni, hogy összeadod a kettőt, kijön a következő tört:
és ennek kell egyenlőnek lennie 1/(1+x+xx)-szel, tehát a fenti tört számlálójának kell egyenlőnek lennie azonosan 1-gyel. Ez alapján fel tudsz írni egy kétismeretlenes komplex elsőfokú egyenletet, ugyanis A=-B-nek teljesülnie kell, hogy eltűnjün az x-es tag, a konstans tagoknak pedig 1-re kell kijönnie, innen megvan A és B, tehát megvan 1/(1+x+xx) lineáris függvények reciprokaként előhozható alakja, amit meg már tudsz integrálni.
Na remélem nem volt túl bonyolult. Elég hosszadalmas lesz kiszomlni, nekem kb. 15 perc lenne.
A másik az 1/(1+xxx). Itt is működik a törtekre bontás. Itt az 1+xxx=0 egyenletet kell kezdésnek megoldani, melynek gyökei 1,-1/2+i*sqrt(3)/2 és -1/2-i*sqrt(3)/2. Itt három egyenlet van, tehát A, B és C változók lesznek, ettől eltekintve a módszer ugyanaz.
----------------------------------------
Valószínűleg az általam leírt módszer nagyon sokféleképp egyszerűsíthető.
Közeledik a szigorlatom és két integrállal sehogy sem tudok zöld ágra vergődni. Ha tudtok segítsetek, hogy hogyan kellene elindulnom a megoldásban.
egyenletszerkesztő híján:
1/(1 + x + xx) határozott integrálja (-1 ;1)-en
Valamint
1/(1 + xxx) hat. integrálja a (0; 1)-en
(xx = x négyzet, xxx = x a harmadikon)
Szóval valaki írja meg nekem légyszi, hogy mit kéne behelyettesítenem, vagy hogyan kellene parciálisan nekifutni. Meg általában egy integrálnak hogyan kell nekifutni. Mert igaz, hogy sok szabályt ismnerek, de ezeket felismerni egye-egy integrálban nekem igen bonyulult.
Ha van jó ötletetek, akkor köszönöm: