Persze megint elszúrtam valamit.
A (133)/12.-beli kifejezés jobboldala akkor sem igaz, ha a=c.
A baloldalt ez viszont csak akkor tagadja, ha a < b kizárná b < a-t. Ezt azonban az eddigiek nem biztosítják. Ráadásul ez érdekes kérdés is, mert épp ez különbözteti meg a nemrelativisztikus modellt a relativisztikustól. Pontosabban, ez a kérdés ekvivalens azzal, hogy a fény végtelen, vagy véges sebességgel terjed-e. Ha lehet egyidejűleg a < b és b < a is, akkor végtelennel, ha nem, akkor végessel. Valami ügyesen elhelyezett axiómával tehát ki kéne zárni az előbbi lehetőséget. Ez biztosítaná végülis azt, hogy létezzenek olyan téridővektorok, amelyek sem időszerűek, sem fényszerűek (hanem téreszerűek).
Ebben a pillanatban egyébként még az is motoszkál bennem, hogy talán még a 13. axióma sem független az előzőektől.
A 10-en és 11-en ne törd sokat, mert teljesen triviálisan következnek a < relációra vonatkozó hasonló összefüggésekből.
A 12-t pedig a következő módon lehet belátni. A jobboldal tagadása az, hogy van olyan d téridőpont, hogy c<d, de nem igaz, hogy a<d. De ez egyúttal tagadja a bal oldalt is, hiszen e szerint minden olyan d pont, amely c-nél későbbi, későbbi b-nél, és minden b-nél későbbi későbbi a-nál, tehát minden c-nél későbbi pont későbbi a-nál.
Tehát mindhárom axióma fölösleges szerencsére, köszönöm, hogy ezt észrevetted! Kereszteljük át őket állításoknak, a 13. axiómát pedig 10-nek.
Azon gondolkodjunk ezek után, hogy igaz-e, hogy egy pozitív és egy negatív fényszerű téridővektor összege nem lehet sem fényszerű, sem időszerű (ezek lesznek ugyanis a térszerű vektorok).
Sajnos a (130)-ban leírt 11. axiómában szerintem nincs biztosítva a pozitív fényszerű vektorok definícójának egyértelműsége. Vagyis, lehet, hogy egy téregyenesben egy fényszerű vektor pozitív, egy másikban meg negatív.Ezért inkább egy kicsit másképp próbálom. A (130)-ban leírt 11, és a (105)-ben leírt 10. axióma storno.
Definíció: Azt mondjuk, hogy az a téridőpont fényszerűen korábbi(jelölésben: a < b), mint a tőle különböző b téridőpont, illetvebfényszerűen későbbi, mint a, ha b nem későbbi, mint a, de a b-nél későbbi téridőpontok a-nál is későbbiek.Vagyis, ha
1.a £b nem áll fenn
2.tetszőleges u időszerű téridővektorraa< b + u
Állítás: Ha a < b, akkor b < a nem lehet. Bizonyítás: b < a esetén (a-b)/2 időszerű, és b + (a-b)/2 < a.
10. Axióma: A téridővektorok megőrzik a < relációt. Más szóval: ha v egy téridővektor, akora < b Ûa + v < b + v
Definíció: Ha az a és b téridőpontokra a < b relációfennáll, akkor a b-a vektort pozitív fényszerű vektoroknak, ellentettjüket pedig negatív fényszerű vektoroknak nevezzük. A pozitív és negatív fényszerű vektorokat együtt fényszerű vektoroknak nevezzük.
11. Axióma: pozitív fényszerű vektorok tetszőleges pozitív valós számszorosa is az.
Definíció: A téridőnek fényszerű vektorok által generált 1-dimenziós altereit fénysugaraknak nevezzük.
Következmény: A 10. és 11. axióma szerint egy fénysugár pontjai között < reláció trichotóm éstranzitív, vagyis rendezést definiál közöttük.
12. Axióma: Ha az a, b és c téridőpontok közül a fényszerűen korábbi, mint b és b fényszerűen korábbi, mint c, akkor a vagy korábbi, vagy fényszerűen korábbi, mint c. Formulával megfogalmazva:
(a < b) Ù (b < c)Þ(a < c) Ú(a < c)
Következmény: Nem kollineáris pozitív fényszerű vektorok összege pozitív időszerű vektor.
13. Axióma: A fénysebesség időben állandó, vagyis minden téregyenesben (ami valójában a téridőnek olyan kétdimenziós altere, amelyet két időszerű vektor feszít ki) van két nem kollineáris fényszerű téridővektor, amelyek valamelyikével bármelyik e téregyenesben haladó fénysugár világvonala párhuzamos, vagyis amelyek a téregyenes bármely pontjában a rajta keresztül (ellentétes irányban) áthaladó fénysugarak világvonalait generálják.
Következmények:
Minden pozitív időszerű téridővektor előállítható két pozitív fényszerű téridővektor összegeként. (mivel minden pozitív időszerű vektor benne van valamely téregyenesben. Ez a találkozási axiómából és a téridő 4-dimenziósságából következik).
Minden téridővektor előállítható két fényszerű téridővektor összegeként. (Mivel a találkozási axióma szerint minden téridővektor benne van valamely téregyenesben).
Állítás: Két egymást metsző l és m fénysugár mindig téregyenest határoz meg. Bizonyítás: Legyen b azegymást metsző fénysugarak metszéspontja, aÎe, a<b, cÎf,b<c. A 12. axióma szerint u=c-a időszerű, és v=2(c-b)-a is az. A lineáris függetlenségük pedig nyilvánvaló. Kész.
Minkowski-térben tetszőleges időszerű és térszerű vektorokból tetszőlegesen "közeli" időszerű vagy térszerű vektorok lineárkombinálhatók.
Igen, Minkowki-térben így be lehet bizonyítani (bár én jobban szerettem volna valamilyen algebraibb megoldást). Pontosabban leírva: tekintsünk egy téridőbeli síkot, abban egy u időszerű, és egy v térszerű vektort. Azt akarjuk belátni, hogy u-nak és v-nek van olyan lineáris kombinációja, amely u-val nem kollineáris, és időszerű. Legyen Q a Minkowsi-tér Lorentz-féle kvadratikus formája. Mivel u időszerű és v térszerű, ezért Q(u)<0 és Q(v)>0. Legyen z=v-u. Tekintsük a [0,1]->[Q(u), Q(v)] : t->Q(u + tz) függvényt. Ez a függvény folytonos (ez Q egy inerciarendszerben felírt szokásos alakjából látszik), tehát Darboux tétele szerint Q(u) és Q(v) között minden értéket felvesz. Speciálisan Q(u)/2-t is, valamegy belső t0 pontban (0<t0<1). Az u + t0z = (1- t0)u + t0v vektor tehát u-val nem kollineáris és időszerű. Kész.
11. Axióma: A fénysebesség időben állandó, vagyis minden téregyenesben (ami valójában a téridőnek olyan kétdimenziós altere, amelyet két időszerű vektor feszít ki) van két nem kollineáris téridővektor, amelyek valamelyikével bármelyik e téregyenesben haladó fénysugár világvonala párhuzamos, vagyis amelyek a téregyenes bármely pontjában a rajta keresztül (ellentétes irányban) áthaladó fénysugarak világvonalait generálják.Ezeket a téridővektorokat a továbbiakban fényszerűeknek nevezzük.
Mivel egyrészt a sík két nem kollineáris vektora kifeszíti az egész síkot, másrészt, ha egy vektor fényszerű, akkor bármely nem nulla valós számszorosa is az, mindig választhatók a téregyenesen (ami valójában egy sík) az említett fényszerű vektorok olyannak, hogy az összegük pozitív időszerű téridővektor legyen. Az így választott fényszerű téridővektorokat a továbbiakban pozitívaknak (ellentettjüket pedig negatívnak) fogjuk nevezni. Következmények: - Pozitív fényszerű téridővektor pozitív valós számszorosa is az. - Minden pozitív időszerű téridővektor előállítható két pozitív fényszerű téridővektor összegeként. (mivel minden pozitív időszerű vektor benne van valamely téregyenesben). - Két nem kollineáris pozitív fényszerű vektor összege pozitív időszerű téridővektor - Minden téridővektor előállítható két fényszerű téridővektor összegeként. (Mivel a találkozási axióma szerint minden téridővektor benne van valamely téregyenesben).
Nem tudom, hogy most a 114-115. álítás Minkowski térbeli bizonyításáról beszélsz, vagy az axiómák folytatásáról. Ha a Minkowski-térbeli bizonyításról, akkor azt kell mondanom, hogy persze. Ha van fényszerű vektor ebben a síkban, akkor van másik időszerű is, hiszen egy pozitív fényszerű és pozitív időszerű vektor összege mindig pozitív időszerű.
Tehát, csak akkor nem igaz a tételünk, ha van olyan sík, amelyben 1 vektor időszerű, az összes többi vele nem kollináris pedig térszerű. Tehát, ha be tudjuk bizonyítani, hogy egy időszerű és egy térszerű vektornak mindig van olyan lineáris kombinációja, amely fényszerű, vagy időszerű, akkor kész vagyunk.
Ha az axiómák folytatásáról beszélsz, akkor jó hírem van: épp a fényszerű vektorokra vonatkozó axiómák következnek.
Gaondolkozzunk a bizonyításon, vagy jöjjön a többi axióma?
Minkowski-térben tetszőleges időszerű és térszerű vektorokból tetszőlegesen „közeli” időszerű vagy térszerű vektorok lineárkombinálhatók. Fényszerű vektort is ki lehet keverni. Talán most is a fényszerű vektorokat kellene először megcsinálni és utána lehetne könnyebben szétválasztani az idő vagy térszerű vektorokat.(?)
Bocs, az előző írása közben jött a Te hozzászólásod.
Amit kérdezel, az volt az én kérdésem is 114-ben ill. 115-ben. Ahhoz, hogy egy 2-dimenziós sík egy u inerciális megfigyelő szerint "térbeli egyenes" legyen, ahhoz az kell, hogy legyen egy másik, tőle lineárisan független v időszerű vektor is abben a síkban. Ha tehát egy z vektor által generált 1-dimenziós lineáris alteret nézünk, az akkor "egyenes vonalú egyenletes mozgás" u szemszögéből, ha az uz síkban van még egy u-tól lin. független időszerű v vektor is. Tehát azt kéne belátni, hogy tetszőleges 2-dimenziós altérben vagy nincs egy időszerű téridővektor sem, vagy 2 van (mert ha 1 lenne, akkor annak a vektornak a szemszögéből nézve a sík vele nem párhuzamos egyenesei nem lennének egyenes vonalú, egyenletes mozgások).
Hogy ne lehessen félreértés: a modell felépítése során soha nem fogunk használni pozitív nyugalmi tömegű testek világvonalaiként másokokat, mint az inerciavonalak. Azokat a téridőbeli görbéket tehát, amelyek nem inerciavonalak, vegyük mindig úgy, hogy az nem biztos, hogy lehet pozitív nyugalmi tömegű test egy pontjának a világvonala.
De világvonalról, illetve egyenes vonalú egyenletes mozgásról azért van értelme pl. egy falon futó fénypont esetén is beszélni (ami ugye lehet gyorsab is, mint a fény, tehát anyagi test nem mozoghat úgy).
Jó, így akkor rendben van, de azért szerintem elégé félreérthető volt.
Amúgy, hogy valami egydimenziós altérben van, az nem elégséges, hogy mindenki számára egyenes vonalú egyenletes mozgást írjon le?
Amit írtál azt értem, csak nem zavar, hogy ez a C menti mozgás a valóságban nem (mindig) kivitelezhető. Persze ez még nincs kimondva, de későbbi állításokkal ellentmondásos lehet. Vagy C-t nem mozgó pont világvonalának, hanem csak egymástól független jelsorozatnak képzeled? Ezért kérdezem, hogy mit értesz „egyenletes mozgáson”.
Az inerciavonal fogalmát próbáltam általánosítani, azért, hogy intuitíve indokolva legyen az, hogy miért az 1-dimenziós afin alterek között kell keresnünk a fénysugarakat.
„…későbbi a pillanatban elinduló C világvonalú pont a p0 téridőpontban utoléri” magyarázata:
Képzeld magad az u megfigyelő helyébe, vagyis a Te világvonalad legyen a ba inerciavonal. A b0 pillanatban elindítasz egy küldöncöt a v inerciavonal mentén. Egy idő múlva elérkezik számodra az a pillanat. Ekkor a v küldönccel azonos irányban elsüvít melletted a C pályán mozgó test. Figyeled őket (vagy hallgatod a híreket), és azt tapasztalod, hogy egyszercsak (a p0 pontban) találkozik a küldöncöd a C testtel. Ezt nevezik a köznyelvben annak, hogy a C test utolérte a küldöncödet.
"Egyenletes mozgás:"
Ha korábban egy másik küldöncöt is indítottál, például kétszer annyi idővel a C-vel való találkozásod előtt, mint az előző esetben, és ennek küldöncödnek az óráján kétszer annyi idő telt el addik, amíg őt is utolérte a C test, és, ha a 2 faktor helyett bármilyen valós számra is hasonló összefüggés áll fenn, akkor intuitíve indokoltnak tűnik (legalábbis, számomra) azt mondanunk, hogy a C test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Már csak azért is, mert ha speciálisan C egy inerciavonal, akkor ezek az összefüggések fennállnak. De ha nem az (hanem pl. fénysugár), akkor is alkalmazhatjuk ezt a meggondolást. Ezért mondtam, hogy az itt definiált "egyenes vonalú, egyenletes mozgás" az inerciális mozgás általánosítása.
Ezt is jól látod, a 105-beli "világvonal" szó az "M-beli görbe" szinonímája, nem jelenti azt, hogy bármi mozoghat is úgy, hiszen ez nyugodtan lehet egy térszerű vektor által definiált egyenes is. Ha ez így félrevezető, akkor nem fogom ezt a szót használni. Jöhet a következő kérdés (vagy a válasz a 114-115-beli kérdésemre).
Ez így rendben van. Te írtad: „azt mondjuk, hogy a „térbeli egyenesek” az inerciálisan mozgó tömegpontok „térbeli pályái”. Ezt értettem félre.
Picit le vagyok maradva, mert csak most lett teljesen egyértelmű mire is gondoltál 105 első felében. A második fele talán meg kevésbé érthető a számomra. Ez első kérdésem: honnan veszed azt, hogy a C görbe valaminek a világvonala, pláne a harmadik „érdekes” esetben. (x0 és y0 ellentétes előjelű). Persze azt mondod, hogy világvonal, de nekem úgy tűnik, hogy csak egy két dimenziós altérben lévő görbére gondolsz.(„egyenesre”) Mit értesz világvonalon?
Azt hiszem, jó kis feladatot sikerült kitalálni, egyelőre még én sem tudom a megoldást. Sőt, még azt sem, hogy a már meglévő axiómáinkból ez tényleg következik-e.
A dolog lényege: azt kell belátnunk, hogy ha a téridőben egy sík (2 dimenziós affin altér) tartalmaz egy időszerű téridővektort, akkor tartalmaz egy tőle lineárisan független másikat is (vagyis a kettő együtt a síkot kifeszíti). Tehát a téridő síkjai vagy 0, vagy 2 lineárisan független időszerű téridővektort tartalmaznak. Én azt gyanítom, hogy a kész Minkowski-térben ez tényleg igaz, de a jelenlegi axiómáinkból még nem következik. Vagy igen? És Minkowski-térben hogy lehet ezt bizonyítani?
Az elég nagy baj is lenne, ha a modellünk azt állítaná, hogy az egyenes vonalú mozgások minden inerciarendsezrből nézve egyenes vonalúak, hiszen ez nyilvánvalóan nem így van. Elég például egy szeizmográf (vagy kromatográf) papírcsíkján megjelenő girbe-gurba vonalra gondolnunk. A vonalat húzó toll mozgása az inerciálisan mozgó papírcsík szemszögéből nézve ilyen girbe-gurba, annak ellenére, hogy a szintén inerciarendszernek tekinthető szoba (laboratórium) szemszögéból nézve a toll mozgása egyenes vonalú (de nem egyenletes!). "Térbeli egyenes"-nek mi azt a valamit neveztük, ami valamely inerciarendszerből nézve az.
A fény terjedéséval azonban szerencsére semmi baj sincs, mivel a (105)-ben definiált egyenes vonalú, egyenletes mozgás minden inerciális megfigyelő szemszögéből nézve egyenes vonalú és egyenletes. Házi feladat: ennek a bizonyítása.
