Ez lenne a szóban forgó paradoxon, amelynek azonban két hibája is van. Egyrészt furcsa, hogy egy állítás a saját tartalmáról szóljon. Másrészt a mutató névmás nem szokta azt a mondatot helyettesíteni, amelyben található. Javítsuk ki először az első hibát!
"Ez az állítás nem létezik."
Itt az állítás formája és tartalma között van ellentmondás. Egyrészt az állítás szemmel láthatóan létezik, ez a forma, másrészt viszont ennek az ellenkezőjét állítja, ez a tartalom. Szabaduljunk meg most valahogy a mutató névmástól!
"Én objektív vagyok."
Ha valaki objektív, az nem minősítgeti saját magát. Vagyis nincsenek önmagára vonatkozó állításai. Ez lenne az állítás tartalma. Csakhogy ennek az illetőnek nyilvánvalóan van egy önmagára vonatkozó állítása, ez a forma.
Kedves bogyó!
Még nem olvastam végig az érdekes topikot, berozsdásodott agyammal meg is értve az érveléseket, de kíváncsi voltam feltámadhat-e, érdemes-e beszállni.
De elôtte el kell szavalni, hogy: "...Tehát a nyelv mindenképpen egy egocentrikus, antropocentrikus nézőpont, namármost ha metafizikát, "tiszta megismerést" keresünk, akkor ki kell dobni a nyelvet. Márpedig a logika a nyelven alapul. Meg a matematikán, ami szintén csak egy nyelv, egy modell..."
Emiatt szerintem a helyes válasz a krétai ember felvetésére így hangzik: "Ne marháskoggá' má', Vizilosz, inkább gyere, vágjunk be egy amfora retsinát !" :-)))
Egy ABC-ből még nem lesz formális logika. A beszélt nyelv képes leírni saját szemantikáját, és mint ilyen, nem formalizálható.
Bocs, pongyola voltam, helyesen a "nyelvekre adott többféle formalizmusok" lenne ott, és nem csak a beszélt nyelvekre vonatkozna természetesen. Azonkívül, ha elolvasod hozzászóló_ érvelsését, azaz hogy pl. a nyelvben nem léteznek atomi egységek, nem igaz, és amit mondasz, attól sem lesz az.
Tévedsz, Gödel tétele csak a "bonyolultabb" formális rendszerekre vonatkozik (kb. amikben a természetes számok aritmetikája modellezhető). A geometria teljes, legalábbis van olyan geometria, ami teljes.
És mi a bonyolultság mérőszáma? Ez most komolyan érdekelne, ugyanis - ha egyáltalán van ilyen csoportosítása a formális rendszereknek, akkor az nem a bonyolultság alapján, hanem bizonyos patternek megléte alapján lehetséges.
Az euklideszi geometria és az aritmetikára épített geometria nem teljesen egyenértékű: utóbbiban pl. egy gömb véges sok darabra vágható, amikből egy kétszer akkora gömb illeszthető össze...
Erre nem tudok hirtelen mit mondani, hirtelen előránthatnám a "bázistranszformációk" kulcsszót, de nem teszem, mert nem mozgok olyan biztonsággal a területen.
"Harmadrészt amit a nyelvészetről írsz, az nagyrészt jó nagy baromság, ugyanis létezik atomi egység az emberi beszédben, ez a szó, ami egy jelsorozat egy ABC fölött, és a nyelvre adott többféle formalizmusok mind-mind a formális logikára alapulnak."
Egy ABC-ből még nem lesz formális logika. A beszélt nyelv képes leírni saját szemantikáját, és mint ilyen, nem formalizálható.
"Először is Gödel tétele alapján egy formális rendszer sem teljes, tehát a geometria sem"
Tévedsz, Gödel tétele csak a "bonyolultabb" formális rendszerekre vonatkozik (kb. amikben a természetes számok aritmetikája modellezhető). A geometria teljes, legalábbis van olyan geometria, ami teljes.
"(Amúgy a geometria és az aritmetika simán átfordítható egymásba, lásd pl. koordináta-geometria)"
Az euklideszi geometria és az aritmetikára épített geometria nem teljesen egyenértékű: utóbbiban pl. egy gömb véges sok darabra vágható, amikből egy kétszer akkora gömb illeszthető össze...
A program-verziód nem rossz, szerintem alapvetően jó mindent dinamikusan nézni, "levés" helyett "válás"-ként. De szerintem onnan kellene kiindulni, hogy miért biztos, hogy minden állítás igaz, vagy nem igaz ? Az állítások a nyelv szintjén jelennek meg, és a nyelv szerintem igencsak illuzórikus modellje a valóságnak. Pl. tudnád definiálni az asztal fogalmát ? Bármilyen definíciót is adsz rá, úgyis mutatok olyan asztalt, ami nem olyan. Vagy azt, hogy mi a különbség a pohár és a tányér között ? Fogok egy üvegtányért modellnek, és készítek egy olyat, ami egyszázad milliméterrel magasabb és keskenyebb. Elég hosszú ideig folytatva ezt a folyamatot poharat kapok - de ki mondja meg, hogy mikor ?
Ezért a nyelv szerintem egyszerűen hasznossági alapon működik. Asztal az, amin eszem, pohár az, amiből iszom, és a tányérból azon a ponton lesz pohár, amikor alkamassá válik számomra az ivásra. Ha belegondolsz, az oroszlán egy pillanatnyi állapot a szén, víz, satöbbi örök körforgásában (oroszlán -> oroszlánhulla -> keselyűkaki -> fű -> antilop -> oroszlán), pusztán azért kell felcímkéznem e folyamat egy pillanatnyi állapotát, mert az oroszlán megesz, a keselyűkaki nem. Tehát a nyelv mindenképpen egy egocentrikus, antropocentrikus nézőpont, namármost ha metafizikát, "tiszta megismerést" keresünk, akkor ki kell dobni a nyelvet. Márpedig a logika a nyelven alapul. Meg a matematikán, ami szintén csak egy nyelv, egy modell.
Emiatt szerintem a helyes válasz a krétai ember felvetésére így hangzik: "Ne marháskoggá' má', Vizilosz, inkább gyere, vágjunk be egy amfora retsinát !" :-)))
Azért túlzás lenne a filozófiát a formális logikával azonosítani. Először maga a logika sem abszolút, hanem különböző logikák vannak, és nincs bizonyítva, hogy valamelyik az "igazi" lenne, vagy hogy egyáltalán létezhet-e az "igazi" logika. Másodszor a filozófiában komoly tábora van annak a gondolatnak, hogy a fogalmakat az ember alkotta. Ilyen értelemben, ha nekem tetszik, hogy egy olyan problémát, ami bizonyos esetekben eldönthető, bizonyos esetekben nem, hívhatom úgy, hogy eldönthetetlen, de hívhatom úgy is, hogy bizonyos esetekben eldönthető, bizonyos esetekben nem. Ezt egy olyan fórumon, ahol a logika alapvető fogalmai nem képezhetik vita tárgyát, nem tehetem meg, de egy filozófia fórumon igen.
Az emberi gondolkodás - véleményem szerint - túlnyomó részben a nyelvben manifesztálódik. Minden emberi nyelven megfogalmazott közlés jelentése az, ami a befogadóban létrejön. Ha még el is tekintek attól, hogy a jelentést a szövegkörnyezet, az értelmező ismeretei és lelkiállapota befolyásolja, még akkor is egy folyamatról van szó. Az emberi nyelvben nem létezik atomi kijelentés. Ez a logikának egy olyan absztrakciója, ami a nyelvre nem igaz. A logika nem vesz tudomást az időről, pedig minden kijelentésnek, és az értelmezésének is időbeli lefolyása van, ami befolyásolja a jelentést.
Először is csúsztatsz, ugyanis én egy szóval sem azonosítottam a kettőt. Olvasd el. Másrészről itt hirtelen elpuffogtatsz egy csomó közhelyet: persze, hogy vannak különböző logikák, meg mindenféle elnevezések, de a krétai esetében nem erről van szó.
És hogy én is közhelykedjek, nem egyértelmű, és nem "bizonyított", hogy a nyelv determinálja a fogalomalkotást.
Harmadrészt amit a nyelvészetről írsz, az nagyrészt jó nagy baromság, ugyanis létezik atomi egység az emberi beszédben, ez a szó, ami egy jelsorozat egy ABC fölött, és a nyelvre adott többféle formalizmusok mind-mind a formális logikára alapulnak.
A formális logika továbbá teljességgel alkalmas az időbeliség leírására, ugyanis ki tart vissza attól, hogy időfüggő állításokat tegyél, és a formalizálás során ezek a formulában meg is jelenjenek?
Az a nagy baj, hogy itt hirtelen összekeverél egy csomó mindent: formális logikát, elméleti nyelvészetet, ideatant, szemantikát és szintaktikát, stb., láthatólag minimális tárgyi ismerettel. Ezeknek mind kialakult tudományuk van, amelyeket ugyan lehet tagadni, de a bukták elkerülése végett érdemes előtte egy kicsit foglalkozni.
És hogy ontopik is legyek:
Ami a formális rendszerek teljességét illeti, én úgy tudom, hogy a geometria rendszere teljes, csak az aritmetika nem teljes. Ebből nem tudom milyen következtetést lehet levonni. Lehet, hogy a geometria vonatkozik a valóságra, az aritmetika pedig nem? Vagy csak egyszerűen el lett rontva valami abban, ahogy az aritmetika fel lett építve?
Megint: félinformációt jelentesz ki, majd messzemenő következtetéseket vonsz le belőlük. Először is Gödel tétele alapján egy formális rendszer sem teljes, tehát a geometria sem (Amúgy a geometria és az aritmetika simán átfordítható egymásba, lásd pl. koordináta-geometria). Ebből viszont egy csomó következtetést lehet levonni.
Azért túlzás lenne a filozófiát a formális logikával azonosítani. Először maga a logika sem abszolút, hanem különböző logikák vannak, és nincs bizonyítva, hogy valamelyik az "igazi" lenne, vagy hogy egyáltalán létezhet-e az "igazi" logika. Másodszor a filozófiában komoly tábora van annak a gondolatnak, hogy a fogalmakat az ember alkotta. Ilyen értelemben, ha nekem tetszik, hogy egy olyan problémát, ami bizonyos esetekben eldönthető, bizonyos esetekben nem, hívhatom úgy, hogy eldönthetetlen, de hívhatom úgy is, hogy bizonyos esetekben eldönthető, bizonyos esetekben nem. Ezt egy olyan fórumon, ahol a logika alapvető fogalmai nem képezhetik vita tárgyát, nem tehetem meg, de egy filozófia fórumon igen.
Az emberi gondolkodás - véleményem szerint - túlnyomó részben a nyelvben manifesztálódik. Minden emberi nyelven megfogalmazott közlés jelentése az, ami a befogadóban létrejön. Ha még el is tekintek attól, hogy a jelentést a szövegkörnyezet, az értelmező ismeretei és lelkiállapota befolyásolja, még akkor is egy folyamatról van szó. Az emberi nyelvben nem létezik atomi kijelentés. Ez a logikának egy olyan absztrakciója, ami a nyelvre nem igaz. A logika nem vesz tudomást az időről, pedig minden kijelentésnek, és az értelmezésének is időbeli lefolyása van, ami befolyásolja a jelentést.
A (görög) filozófia azzal kezdődött, hogy a filozófusok megpróbálták elemezni azt a beszédet, amit az emberek ösztönösen használtak. Azt, amit a nyelv régen "tudott", próbálták meg elemezni. (Az, hogy a görög filozófia hogyan használt fogalmakat, az függött a görög nyelvtől. Ami göröben magától értetődő érvelést jelent, az magyarra fordítva nem magától értetődő. Ezért a görög filozófia egyben a görög nyelv filozófiája.) Ez egy önreflexiója a nyelvnek saját magára, ami felfogható a nyelv tudatra ébredésének (ez lehetne a filozófia egy definíciója is). Így Platónnak az a nézete, hogy a tudás bennünk van, csak vissza kell emlékezni rá, értelmezhető racionális keretek között, amennyiben az evolúció során (és ebbe a nyelv evolúcióját is beleértem) felhalmozódott ösztönös tudás tudatos felismerésének tekintjük. Ezért semmiképp sem szabad lebecsülni a nyelvet, és tudomásul kell venni, hogy minden egyszerűsítése és formalizálása egyben veszteséget is okozhat.
Ami a formális rendszerek teljességét illeti, én úgy tudom, hogy a geometria rendszere teljes, csak az aritmetika nem teljes. Ebből nem tudom milyen következtetést lehet levonni. Lehet, hogy a geometria vonatkozik a valóságra, az aritmetika pedig nem? Vagy csak egyszerűen el lett rontva valami abban, ahogy az aritmetika fel lett építve?
Az emberi elme, ha több lehetséges eset áll fenn, akkor mindig annak a megvalósulására gondol, ami nem vezet ellentmondásra. A logika a maga számára úgy definiálja a bizonyíthatóság fogalmát, ahogy akarja. De ez nem egy logika fórum, hanem egy filozófia fórum.
Bocs, a filozófia az a "gondolkodás szeretete", és mint ilyen, nem választható el a logikától, ami formalizált emberi gondolkodás. Arról nem is beszélve pl., hogy a filozófia szakon (pl. ELTE) két félév formális logika van, kötelező jelleggel. Most valami olyasmit mondtál, hogy ez nem makroökonómia fórum, hanem egy közgazdaságtan fórum (ha érted mire gondolok).
Azért olvashattad ezt a problémakört egy metafizikával foglalkozó könyvben (ami filozófia), mert Gödel tétele megkérdőjelezi a természettudományok (amelyek formális rendszerek) azon tulajdonságát, hogy segítségükkel mindent megismerjünk. Ez nagy-nagy pofon volt a materializmusnak, amely kimondja, hogy a tudományok segítségével minden megismerhetőt előbb-utóbb megismerünk: a természettudományok formális rendszerek, tehát van olyan probléma, amely nem oldható meg bennük, vagyis a megismerhető, és a (tudományok által) megismert dolgok halmaza között mindig lesz egy szakadék.
(Egyébként az emberi elme pedig arra gondol, amihez van kapacitása.)
Az emberi elme, ha több lehetséges eset áll fenn, akkor mindig annak a megvalósulására gondol, ami nem vezet ellentmondásra. A logika a maga számára úgy definiálja a bizonyíthatóság fogalmát, ahogy akarja. De ez nem egy logika fórum, hanem egy filozófia fórum. A krétai ember kijelentését a józan ész tudja racionalizálni, ha megfelelő feltevést tesz a többi krétaira. Azt, hogy "Ez a kijelentés hamis.", semmilyen módon nem tudja racionalizálni.
A logika szerint, ha az allitas nem egyertelmuen meghatarozhato, akkor nem allitas:
Ennek is ellent kell mondjak, sajnos: a formális logika szerint valami akkor nem állítás, nem meghatározható (nem definiálható) tagok vesznek részt benne.
Tehát az, hogy "Ma nem fhdsgkjhsg", az nem egy logikai állítás. A "Geza nem volt suliban ma" az igen kemény logikai állítás, formalizálni lehet, fel lehet írni az igazságtábláját stb., feltéve, hogy Géza nemegyenlő fhdsgkjhsg-vel, mert akkor nyilván ő is definiálatlan.
Ennek a mondatnak aze értelmezési tartománya csak Géza, tehát eldönthető. Ha azt mondod, hogy "minden Géza", akkor is kijelöltél egy értelmezési tartományt.
----------------------------
Légyszíves, figyelmesen olvasd el a következő bekezdést, nagyon kérlek.
Az a mondat, hogy "A krétai azt mondta, hogy minden krétai hazudik", nem bizonyítható. Nem az a probléma, hogy nem tudjuk, hogy a mondatot mondó valaki hova tartozik, hiszen van egy olyan eset, amikor ő is hazudik, és van egy, amikor nem. Az a probléma, hogy van olyan eset, amikor nem tudod eldönteni, hogy igaz-e az állítás, vagy sem. És ezzel az állítással ez a lényeg: nem eldöntehő.
A logika szerint, ha az allitas nem egyertelmuen meghatarozhato, akkor nem allitas:
Geza nem volt suliban ma. (allitasnak latszik, de nem biztos, hogy az...)
Magyarorszagon van jopar Geza, es nemelyikuk biztosan volt suliban. De ha Geza egyetlen idividuum, es a kornyezetbol ki is derul, kire vonatkozik, onnantol nem lesz problema, mert a allitas igazsagerteke egy hatarozott igaz vagy hamis (kizaro ertelemben termeszetesen.)
Igy az, hogy nehany kretai hazudik. Nem allitas.
Ha pedig azt vesszuk, hogy x kretai hazudik, akkor el kell dontenunk, hogy az emberunk hova tartozik. Mindenesetre nincsen ekkor gond, mert lehet valogatni.
Tényleg utálok személyeskedni, de te valamit kurvára nem értesz. Nem tudom, milyen előképzettséged van, de egy logika vizsgán kurva nagyot buknál.
De az is lehet, hogy csak én nem értek valamit. Például itt van ez a mondat:
Ez az állítás nem minden inputra igaz. Az UTM mégis azt mondta rá, hogy igaz, és mégsem lehet kiröhögni.
Kérdéseim: melyik állítás (hirtelen van vagy öt, amit fel tudnék sorolni), mit jelent az, hogy ki lehet röhögni?
Azért azt hozzátenném, hogy a témában a válaszolgatási kedvem vészesen csökken, és ha ugyanilyen szinten folytatjuk, nem hiszem hogy szeretnék túl sokáig résztvenni a "beszélgetésben".
Ha a módosított állítás a kismadaras, akkor belátható, hogy a módosított állítás sem bizonyítható. Tehát adott inputra lehet, hogy igaz, de az összes bemenetre viszont nem tudod eldönteni, hogy igaz-e vagy hamis.
Ha egy állítás igaz, akkor nem Gödel, tehát nem "lehet" kiröhögni.
Számomra továbbra is zavaros, hogy tulajdonképpen mit szeretnél bebizonyítani. A Gödel-féle zártsági tétel (helyesebben: nem-zártsági...) ugyanis csupáncsak azt szeretné belátni, hogy minden formalizmusból vannak kimutató problémák, amelyeket az adott formalizmus szintjén nem tudunk megoldani. Ennyit, és semmi többet, és ezt egy konstruktív bizonyítással teszi meg, azaz konstruál legalább egy olyan állítást, amivel az aritmetika (logika) nem tud mit kezdeni. A krétais, és az UTM-es mondat (amely lényegében ugyanaz) ezt teljesen kielégíti, a tétel be van bizonyítva*, oszt jól van. Mi itt a probléma.
---
* Mondjuk a teljes bizonyítás úgy néz ki, hogy legyen Gn = nem tudjuk bebizonyítani Gn-1-et, és G0 pedig a krétais formula. Ezzel beláttuk, hogy bármely legbővebb formalizmus sem zárt.
"A P(UTM) alapján működő gép sohasem mondja, hogy ez a mondat igaz, feltéve, hogy a kismadár piros."
Ez a mondaz két állításból áll, legyen az első fele ("A P(UTM) alapján működő gép sohasem mondja, hogy ez a mondat igaz") a G, a második fel az M. Ekkor van egy állításunk:
M=>G
Ez minden esetben igaz, ha M hamis, vagy ha M igaz és G is igaz, és hamis, ha M igaz és G hamis.
(A kismadárról semmit nem tudunk.) Már hogyne tudnánk, jelen pillantban azt, hogy van neki egy pirossági tulajdonsága. Ezért M igaz, ha a madár piros, hamis, ha nem, de mindenesetre levezehető, bebizonyítható, tehát M nem Gödel-formula (nevezzük most így).
Tehát az eredeti állításban már csak G bizonyíthatósága érdekel. Mint láttuk, G Gödel-formula, tehát nem bizonyítható. Emiatt nem bizonyítható M=>G sem. Ugyanígy igaz, hogy M and G, M or G, M <=> G, stb. formulák is Gödel-félék, vagyis hiába bigyesztesz egy Gödel-formulához a formulával diszjunkt értelmezési tartományú, nem-Gödel formulákat, az eredmény egy Gödel formula lesz.
A hiba a mondókádban az, hogy ha kimondasz egy olyan állítást, hogy "a kismadár piros", akkor ahhoz implicit mondasz egy értelmezési tartományt is, tehát értelmetlen a "kismadárról nem tudunk semmit" kijelentés. Persze, nem tudjuk hogy milyen a madár, de tudjuk, milyen lehet, és minden lehetséges változatot figyelembe vesszük.
Bocs, de kezdem azt hinni, hogy nagyon nem értesz valamit.
Gödel szerint létezhetnek egy rendszerben olyan állítások, amik bizonyíthatatlanok. De ettől ebben a rendszerben még lehetnek bizonyítható állítások!
Senki sem állította az ellenkezőjét.
A krétai esetében ha akarjuk, gödeli állítást kapunk (azzal a feltevéssel, hogy az összes többi krétai hazudik), ha akarjuk bizonyítható állítást kapunk (ha feltesszük, hogy vannak igazmondó krétaiak). Ha egy krétai kiáll a piactérre, és azt mondja, hogy minden krétai hazudik, az mindenképp bizonyíthatatlan (ha másért nem, információ hiány miatt), de nem feltétlenül gödeli állítás.
Nem, ugyanis nem változtathatod önkényesen az értelmezési tartományt. Az értelmezési tartomány az összes krétai, nem alkalmazhatod a formulás a csak igazmondók részhalmazára. Jobban mondva azt csinálsz, amit akarsz, de akkor ez esetben helytelen következtetéseket vonsz le belőle. A "krétai azt mondta, hogy minden krétai hazudik" implicit értelmezési tartománya az összes krétai. És mivel az összes krétaira alkalmazva egy nem bizonyítható állítást kapunk, az állítás nem bizonyítható.
Ez azért lehetséges, mert minden gödeli állítás bizonyíthatatlan, de nem minden bizonyíthatatlan állítás gödeli. Ebben az esetben el tudunk menekülni egy (információk hiányában) bizonyíthatatlan, de nem gödeli állítás irányába (azzal, hogy feltételezzük, hogy nem minden más krétai hazudik). Ez a példa nem sokkal jobb, mint hogy "Kovács János hazudik", bár valamivel jobb (mert ha akarom, eljuthatok belőle egy izgalmas problémához, de nem vagyok erre kényszerítve).
Nem ebben az esetben nem tudunk "elmenekülni", ugyanis nincs indormációhiány. Hogy értsd: három eset van: minden krétai hazudik (1), mindegyik igazat mond (2), és vannak igazmondók és hazugok is (3). Első és második esetben ellentmondás (nem bizonyítható), haradikban belátható. De mivel vannak olyan input-értékek, amelyre nem bizonyítható a formula, összességében a formula sem bizonyítható! Nem tudom érthető-e. Magyarán: nem tudom bebizonyítani az állítást, mert vannak olyan esetek, amikor nem tudom a bizonyítást. Nem jutsz sehova, ha ezeket az eseteket kiveszed: mire mennél vele?
Ne vedd sértésnek, de jó lenne átnézni valami logikával foglalkozó könyvet (onnan is az elsőrendű predikátum-kalkulust), hogy ne a trivialitások taglalásában merüljön ki ez az amúgy igen érdekes téma.
Nem erről van szó. Gödel szerint létezhetnek egy rendszerben olyan állítások, amik bizonyíthatatlanok. De ettől ebben a rendszerben még lehetnek bizonyítható állítások! A krétai esetében ha akarjuk, gödeli állítást kapunk (azzal a feltevéssel, hogy az összes többi krétai hazudik), ha akarjuk bizonyítható állítást kapunk (ha feltesszük, hogy vannak igazmondó krétaiak). Ha egy krétai kiáll a piactérre, és azt mondja, hogy minden krétai hazudik, az mindenképp bizonyíthatatlan (ha másért nem, információ hiány miatt), de nem feltétlenül gödeli állítás. Ez az, amire rá akartam mutatni.
Ez azért lehetséges, mert minden gödeli állítás bizonyíthatatlan, de nem minden bizonyíthatatlan állítás gödeli. Ebben az esetben el tudunk menekülni egy (információk hiányában) bizonyíthatatlan, de nem gödeli állítás irányába (azzal, hogy feltételezzük, hogy nem minden más krétai hazudik). Ez a példa nem sokkal jobb, mint hogy "Kovács János hazudik", bár valamivel jobb (mert ha akarom, eljuthatok belőle egy izgalmas problémához, de nem vagyok erre kényszerítve).
De hát az inkriminált állítás az nem az, hogy "minden krétai hazudik", hanem az, hogy "egy krétai azt mondja, hogy minden krétai hazudik". Lényeges különbség, és ezen bukik a "ebben a megfogalmazásban nincs olyan csapda, amiből lehetetlen kimenekülni" állításod.
Az egésznek az a szépsége, hogy Gödel előtt azt gondolták, hogy a matematika zárt, vagyis bárki állít valamit, az megoldható, vagyis illeszkedik egy formalizmushoz. Ehhez képest Gödel bebizonyította, hogy létezik olyan, a formalizmus nyelvén (annak jeleivel) felírható állítás, ami nem illeszkedik a formalizmushoz, vagyis nem bizonyítható. És itt ne keverjük az állítások igaz, hamis és nem bizonyítható voltát...
Valóban lehetne egyszerűbben is, íme egy angol nyelvű szöveg:
The proof of Gödel's Incompleteness Theorem is so simple, and so
sneaky, that it is almost embarassing to relate. His basic procedure
is as follows:
Someone introduces Gödel to a UTM, a machine that is
supposed to be a Universal Truth Machine, capable of correctly
answering any question at all.
Gödel asks for the program and the circuit design of the
UTM. The program may be complicated, but it can only be finitely
long. Call the program P(UTM) for Program of the Universal Truth
Machine.
Smiling a little, Gödel writes out the following sentence:
"The machine constructed on the basis of the program P(UTM) will never
say that this sentence is true." Call this sentence G for Gödel.
Note that G is equivalent to: "UTM will never say G is true."
Now Gödel laughs his high laugh and asks UTM whether G is
true or not.
If UTM says G is true, then "UTM will never say G is true" is
false. If "UTM will never say G is true" is false, then G is false
(since G = "UTM will never say G is true"). So if UTM says G is true,
then G is in fact false, and UTM has made a false statement. So UTM
will never say that G is true, since UTM makes only true statements.
We have established that UTM will never say G is true. So "UTM
will never say G is true" is in fact a true statement. So G is true
(since G = "UTM will never say G is true").
"I know a truth that UTM can never utter," Gödel says. "I
know that G is true. UTM is not truly universal."
Think about it - it grows on you ...
With his great mathematical and logical genius, Gödel was able to
find a way (for any given P(UTM)) actually to write down a complicated
polynomial equation that has a solution if and only if G is true. So
G is not at all some vague or non-mathematical sentence. G is a
specific mathematical problem that we know the answer to, even though
UTM does not! So UTM does not, and cannot, embody a best and
final theory of mathematics ...
Although this theorem can be stated and proved in a rigorously
mathematical way, what it seems to say is that rational thought
can never penetrate to the final ultimate truth ... But,
paradoxically, to understand Gödel's proof is to find a sort of
liberation. For many logic students, the final breakthrough to full
understanding of the Incompleteness Theorem is practically a
conversion experience. This is partly a by-product of the potent
mystique Gödel's name carries. But, more profoundly, to
understand the essentially labyrinthine nature of the castle is, somehow, to be free of it.
Rucker, Infinity and the Mind (http://www.miskatonic.org/godel.html)
És van egy jóval részletesebb oldal is: http://www.ddc.net/ygg/etext/godel/
Annak a kijelentésnek, hogy "minden krétai hazudik" a te jelöléseiddel a következő a formális alakja:
bármely x eleme krétaiak: P(x)=hamis
Ez a kijelentés ennyit mond, és semmi többet.
Az jó, hogy nem bizonyítható róla, hogy hamis (hiszen a többi krétairól nem tudunk semmit), de hát ezzel az erővel az sem bizonyítható, ha azt mondja, hogy "Kovács János hazudik", mert hát ki az a Kovács János?
Én annyit állítok, hogy ha igazat mond, az mindenképp ellentmondás, ha hazudik, akkor meg lehet konstruálni olyan esetet, hogy ez is ellentmondás legyen (ha minden más krétairól feltételezzük, hogy hazudik), de olyat is, hogy ne (ha van közöttük, aki igazat mond). Mivel a többi krétairól semmit nem tudunk, ezért ránk van bízva, hogy mit gondolunk róluk, és nyilván úgy fogjuk feloldani a problémát, hogy az ellentmondásmentes esetet tételezzük fel.
Amit meg akartam mutatni, hogy
1. ebben a megfogalmazásban nincs olyan csapda, amiből lehetetlen kimenekülni
2. meg lehet fogalmazni a problémát úgy, hogy ne lehessen belőle kimenekülni: "Ez a kijelentés hamis." formában
