A prédikátor könyve 3:11 Szépen megalkotott mindent a maga idejében, az örökkévalóságot is az emberi értelem elé tárta, de az ember mégsem tudja felfogni Isten alkotásait elejétől végig, amelyeket megalkotott.
A tétel nem azt mondja ki, hogy MINDEN állítás hamis! Hanem, hogy nincs olyan axiómarendszer, amelyben MINDEN állításról eldönthető, hogy igaz, vagy hamis.
A Gödel tétel csak az aritmetikára visszavezethető elméletekről mondja ki a nemteljességet .
Maga a Gödel tétel visszavezethető az aritmetikára, és nem is teljes olyan értelemben, hogy csak az aritmetikára visszavezethető elméletekrő szól . Ezért is OK a Gödel tétel .
ITagadó: Szemléljük objektíven: Azt mondod, hogy szubjektív önmagukban ellentmondásmentes állítások halmazából, szintén (egy másik) szubjektív ellentmondásmentes állítások halmazára épülő következtetés (szabály) rendszerrel szeretnél a világ megértésére szolgáló állításokat tenni? Ezt úgy hívják axiómarendszer->matematika->tudomány
ITudó: Nem teljesen. A logikátlanság is lehet logikus. A betegség is okozhat egészséget. Lásd vakcinák. Arra már nagyon régen rájöttem, hogy embertömegeket, de még egyes okos embereket is nehéz meggyőzni dolgokról, ha az a beléjük ültette dogmákkal ütköznek. Még akkor is, ha totálisan egyértelműen tudsz bizonyítani.
Gödel paranoiás volt és abból következő bizalmatlanság miatt -mert azt hitte meg akarják mérgezni- éhen halt. Ami egyértelmű bizonyítéka, hogy egy adott elmebetegség, Gödel estéhez hasonlóan nincs tekintettel arra, hogy a megfertőzött illető egyes, vagy más területeken azért képes logikusan és érzelemmentesen gondolkozni. Hasonlóan van ez az Isten-kényszerképzetnél is.
Ez egy elképzelt és jellemző, de értelmesebb fajta írásbeli vita az internet valamelyik bugyrából. Vannak valóságból átemelt részletei, de nem érdemes keresni és összehasonlítani, mert általam szerkesztésre kerültek. Sőt még ha úgy adódik, tovább is fogom szerkeszteni, pontosítani. Ez amolyan Galileo Galilei: Párbeszédek stílusú rávezető - agytorna - irodalmi jelleggel keletkezett. Ez a sorozat második része ....
A Goldbach sejtes bizonyitasara/cafolatara nem csak hosszbeli sejtesunk nincs, de a Godel-tetel fenyeben meg felhetunk is attol, hogy a problema nem eldontheto. Persze egy szamelmelesznek eretnekseg ezt felvetnie, de Shelah reszerol elhangzott ez a lehetoseg a tavaly augusztusi "Mathematical Challenges of the 21st Century" kongresszuson (http://www.ams.org/amsmtgs/mathchall.html). Es sajnos az sem igaz, hogy a szamelmeletben csak nagyon kormonfont, termeszetellenes problemak lehetnenek eldonthetetlenek. Mindenesetre tobben valljuk azt szerintem, hogy a kozponti nagy problemak, mint pl. a Riemann-sejtes eldonthetoek egy egyszeru axiomarendszerben (pl. Peano-aritmetika).
Gondolkoztam egy kicsit, hogy miert nem erted a fenymasolos dolgot. Szerintem a (pszichologiai) problemad ott van, hogy a szamitogepeket tudat alatt antropomorfizalod.
Hogy megertsd, hogy mire akarok kilyukadni, probald meg magadnak definialni, hogy mit ertesz az alatt, hogy egy szamitogep bebizonyit valamit.
Ez Turing klasszikus bizonyitasa a megallasi problemara.
Egy pontot azonban figyelmen kivul hagysz:
Nem allitottam, hogy a program ami eldonti a te gepeden a megallasi problemat, az a te gepeden is fut. A vicc az, hogy a gepnek amin az eldonto program fut lenyegesen nagyobb memoriaval kell rendelkeznie. Egeszen pontosan exponencialisan tobb memoriaval, hiszen fell kell epitenie egy grafot, aminek a csomopontjai a te geped allapotai.
Ez ugyan nem tul praktikus, de mint mondtam, ez arra mutat ra, hogy az egesz kerdeskornek inkabb csak elvi mint gyakorlati jelentosege van.
> Én továbbra sem tartom a fénymásolót intelligens matematikusnak
En sem. De a fenymasolo altal produkalt bizonyitas attol meg lehet ervenyes (ha a bement az volt).
Ismét csak ellent kell mondanom. Nincs olyan algoritmus, amely az én gépemen futó tetszőleges programról el tudná dönteni, hogy az megáll-e. Mondok egy példát. Az én programom megvizsgálja a te algoritmusod kimenetét, és ha ott igaz értéket talál (azaz a programom megáll) akkor végtelen ciklusba küldi magát. Míg ha hamis értéket ad a te programod (azaz az én programom szerinte nem áll meg), akkor egyszerűen megállítom. Így a te algoritmusod sohasem fog helyesen dönteni.
A többi állításoddal nem igazán tudok mit kezdeni. Én továbbra sem tartom a fénymásolót intelligens matematikusnak, de hát ez az én véleményem...
> Ezzel az erővel azt is mondhatnánk, hogy egy fénymásoló is be tudja bizonyítani a Fermat sejtést
En ezt mondom.
> Én bizonyítást végző programon azt értem, amely egy megfelelően megfogalmazott állítás igaz, vagy hamis voltát, axiómák és már bizonyított állítások, valamint érvényes következtetési szabályok felhasználásával bizonyítja.
Vilagosits fel, hogy a programom ennek milyen szempontbol nem tesz eleget.
> Csináld meg ugyanezt a Goldbach sejtésre, és máris világhírű leszel!
Tokeletesen igaz, kihasznaltam a tenyt, hogy a Fermat tetelnek van egy bizonyitasa, aminek hosszara tudunk felso becslest. Ilyen nincs a Goldbach sejtesre, tehat a dolog nem mukodne. Na es?
> Hilbertnek is hasonló volt az elképzelése a matematika tételeinek automatikus bizonyításáról.
A peldat nem gyakorlatbol kovetendonek irtam le, csak hogy megmutassam milyen ertelmezhetetlen azt kerdezni, hogy a problam egy konkret outputot elo tud e allitani. Te ezt tetted, es ennek nincs sok teteje.
Egyebkent megjegyzem van olyan algoritmus, ami a te gepeden levo tetszolegese algoritmusrol eldonti, hogy azon a gepen megall e. Ez lenyegeben ugyanaz amit naadam mar leirt, egy vages allapotterrol van szo. A memoria osszes allapotat vegig lehet nezni. Meg lehet allapitani, hogy melyik allapot melkyikbol allhat elo, es az igy keeltkezo graf ketszeresen osszefuggo komponensei fogjak azokat a programokat adni, amik nem allnak meg. Kesz.
Ennyit az elvi bizonyitasokrol, gyakrolati jelentosege ennek sincs (hihetetlenul inefficiens a modszer). Csak arra akartam ravilagitani, hogy a amegallasi problema megoldhatatlansaganak sincs komoly (vagy inkabb kozvetlen) gyakorlati jelentosege.
A négyszínsejtést számítógép nélkül is be lehetett volna bizonyítani, a gép csak lerövidítette a bizonyításhoz szükséges időt, és csak a bizonyítás egy részét végezte el. Ez azonban az emberi hozzájárulás nélkül kevés lett volna a teljes bizonyításhoz.
A lefagyás figyelő rutinnal kapcsolatban csak azt szeretném megkérdezni, azt vajon ki figyeli, hogy a lefagyás figyelő rutin lefagyott-e? Mi van akkor, ha az eredeti program működőképes, de a lefagyás figyelő már lefagyott? Pontosan ez a lényege az egész kérdéskörnek. Mindig lesz valaki a legfelső szinten, akit senki sem figyel, így minden megoldás, ami a lefagyás elkerülésére hivatott, tökéletlen.
Hát ez a példád nem igazán sikerült. Ezzel az erővel azt is mondhatnánk, hogy egy fénymásoló is be tudja bizonyítani a Fermat sejtést, csak adjuk be a bemenetén a bizonyítást. Ezt azért te sem gondoltad komolyan, ugye. Én bizonyítást végző programon azt értem, amely egy megfelelően megfogalmazott állítás igaz, vagy hamis voltát, axiómák és már bizonyított állítások, valamint érvényes következtetési szabályok felhasználásával bizonyítja.
A sztring tesztelő algoritmusoddal kapcsolatban van egy kis probléma. Ha ugyanis te be tudod bizonyítani, hogy az a tesztelő algoritmus megáll, és a kimenetén létrejön a Fermat sejtés bizonyítása, ezzel bizonyítanád magát a Fermat sejtést! Csináld meg ugyanezt a Goldbach sejtésre, és máris világhírű leszel!
Hilbertnek is hasonló volt az elképzelése a matematika tételeinek automatikus bizonyításáról. Pontosan erre mért csapást Gödel.
Egy dologban egyetértünk, itt valóban elvi kérdésekről van szó.
Azt hiszem kezdelek egyáltalán nem érteni. Most azt írod, hogy nem érdemes konkrét példákat felhozni a megállási problémával kapcsolatban, holott pontosan te hoztál egy ilyen konkrét példát korábbi hozzászólásodban.
Az 1000 évvel kapcsolatban: nem hiszem, hogy az 1000 év alatt csak a számítógépek fejlődnek majd, az ember pedig nem. Lehet, hogy akkor jóval nagyobb lesz a különbség, mint most...
Az is érdekes, hogy még a jövőbe vetített példádban is ember írja azt a bizonyos programot, és nem számítógép. Mintha tudat alatt azért éreznéd a különbséget...
> Hát azért Bolyai nem bizonyította a függetlenséget.
Bolyai modellezett egy nemeuklideszi axiomarendszert (ahol a parhuzamossagi axioma nem teljesul) az Euklideszi geometrian belul. Ebbol testverek kozott is kovetkezik, hogy a parhuzamossagi axioma fuggetlen a tobbitol amennyiben az euklideszi axiomarendszer onellentmondasmentes.
A fuggetlenseg bizonyitasara ma sincs jobb modszer mint ket modell megadasa, ahol az egyikben az axioma teljesul a masikban nem. Ez mint modszer ismert volt mar a mult szazad vegen, de Bolyai volt az elso aki ezt tudatosan alkalmazta.
Ezert is igazan szamottevo Bolyai munkassaga. Nem annyira geometriai szempontbol volt erdekes, hanem logikai, modellelmeleti szempontbol. Gyakorlatilag ez volt az elso medellelmeleti tetel a vilagon, es ebbol a szempontbol o sokkal inkabb felnyitotta a matematikusok szemet, mint Goedel.
> Jó, az igaz, hogy később Gödel nélkül is belátták a függetlenséget, de azért az elvi alapot vagy filozófiait a Gödel tétel adja meg.
Godel tetele nem teremt semmilyen alapot, ez mar csak a kulminacio. Az egyetlen dolog amit mond: nem kell erolkodni, hogy letrehozzunk egy teljes axiomarendszert, ugysem fog sikerulni.
> Megpróbálom megtalálni, hogy mit értesz öntudaton.
Ontudaton egy tapasztalatot ertek. Ezt nem tudom pontosan leirni vagy analizalni. Az ontudatossagrol szolo nezeteimet (inkabb erzeseimet) az "AI - Mesterseges Intelligencia" forum 192 hozzaszolasaban irtam le.
> A Gödel tétel segítségével jogosan mondhatjuk egy állításról, hogy hozzávehetjük az axiomákhoz
Ehhez nem kell Goedel tetele. Ha egy allitas bozonyithatoan fuggetlen, akkor minden korabban is hozzavettek. Pont ezt csinalta Bolyai is szaz evvel Goedel bizonyitasa elott a parhuzamossagi axiomaval. Es ennek helyesseget (a Goedel tetel nelkul is) minden epeszu matematikus belatta.
> Egyrészt a mellett érvelek, hogy a számítógép mindazt tudhatja, amit az ember, másrészt mégsem hiszek ebben.
Ha megnezed a korabbi hozzaszolasaimat, en nem ervelek emellett. Egy fel evvel ezelotti hozzaszolasomban az MI topikban leirtam, hogy az ontudatossag kerdeset nagyon is problematikusnak latom.
Masreszt ebben a topikban is irtam, hogy a Church tezist illletoen (azaz, hogy minden termeszetben elofordulo diszkret folyamat modellezheto Turing geppel), is teljesen nyitott nezoponton vagyok. Szerintem meg ha valaki hajlik akar ezt elhinni akar a tagadasat, akkor ez manapsag nem tudomanyos allaspont, mert konkret ervekkel egyik sem tamaszthato ala.
Az sem elkepzelhetetlen, hogy habar a Church tezis igaz, az ontudatossag alapjaul nem diszkret folyamatok szolgalnak, hanem valami lenyegesen mas. Ilyen spekulaciokba azonban nem mennek bele.
Sajnos gyakran osszekeverik a mesterseges intelligenciat a mesterseges ontudattal, ami szamomra ket alapvetoen kulonbozo kerdes. A mesterseges intelligenciak letezesere nem latok semmi elvi akadalyt, es nem tudok olyan emberi "gondolkodasi folyamatrol", amelyet ne tudnek "gepesitve" elkepzelni. Masreszt egy valodi ontudattal rendelkezo Neumann elvu szamitogep(program) letezese szamomra (csak intutitive, miden kulonosebb logikai alapot nelkulozve) nagyon problematikusnak tunik. Az ontudatossagrol persze nem is nagyon lehet logikusan gondolkodni, hiszen ez egy szubjektiv tapasztalat, es meg a legbrilliansabb agyak is kudarcot vallottak, hogy ennek melyebb megertesehez egy cseppet is kozelebb kerultek volna.
Amit azonban ruhellek, hogy egyes matematikai allitasokbol, foleg a nepszeru modon konnyen (cserebe felreerthetoen) megfogalmazhatokbol, logiakilag helytelenul messzemeno kovetkezteteseket vonjanak le, foleg megalalpozatlan es megalapozhatatlan filozofiai es vallasi nezetek tamogatasa celjabol. Meg akkor is, ha a levezetett allitasok esetleg igazak is.
Hát, hogy ki tud derülni a függetlenség.
Azt hiszem előtte nem alhatott nyugodtan egy matematikus, ha egy állítást használt. A Gödel tétel segítségével jogosan mondhatjuk egy állításról, hogy hozzá vehetjük az axiomákhoz.
De ez persze csak egy nagyon kis szűkítése a tételnek, meg erre más módszerek is vannak.
Ja, még egyet akartam írni.
A mi programjainkba beleteszünk egy rutint, ami azt próbálja figyelni, hogy nem fagyott-e le a futtatott rutin. Ezt mindenféle időbecslésekkel végzi. Tudom, hogy ez messze van a megállási problémától, de azért rokon vele. Szóval vannak mindeféle törekvések.
Egyrészt a mellett érvelek, hogy a számítógép mindazt tudhatja, amit az ember, másrészt mégsem hiszek ebben.
> Szerintem pl. a Gödel tétel arra is jó, hogy ha kiderül egy állításról, hogy független, akkor ha valaki akarja, nyugodtan használhatja a kesőbbiekben, nem nagyon kell beszarni.
A négyszín sejtést számítógép oldotta meg!
Jó, ember írta a programot, de a munka dandárját a gép végezte.
Most lehet azt mondani, hogy az volt a rabszolgamunka, de akkor is.
Egyébként pl. a Visual studio, vagy az ACCESS ír programokat. Ha el tudják dönteni, hogy megállnak-e, ha nem.
Mindenesetre azok a programok, amiket ezek írnak, az eddigi tapasztalataim alapján mindig megálltak, ellentétben az általam írottakkal.
Mindezek ellenére én is abban hiszek, vagy reménykedem, hogy az ember többre képes, mint a számítógép. Illetve talán nem többre, hanem másra. De nem tudok konkrét példát, de odatettem, hogy abban HISZEK.
Szerintem pl. a Gödel tétel arra is jó, hogy ha kiderül egy állításról, hogy független, akkor ha valaki akarja, nyugodtan használhatja a későbbiekben, nem nagyon kell beszarni.
Meg azért bennem egy olyan érzetet kelt, hogy nem megismerhető, leírható teljesen a világ. És egy idő után jó ezt érezni.
> Egy példát adtam arra, amire az ember képes, a számítógép pedig nem. Nem azt mondtam, hogy minden ember képes erre, csak azt, hogy van olyan ember, nevezetesen Andrew Wiles.
A Fermat tetel bizonyitasa egy szingularis pelda es nem egy egy konkret problemaosztaly. Nem is kell ra ezer evet varni, hogy irjunk olyan programot, ami bebizonyitja a Fermat tetelt, ez mar ma is lehetseges:
A kovetkezo C-program bevizonyitja a Fermat-tetelt:
A ... helyere csak be kell masolni Wiles
bizonyitasat.
Kedves Holden, most szavadon vagy fogva, most mar el kell ismerned a gepi intelligencia emberivel valo egyenrangusagat!
Lehet, hogy hulyesegnek tunik, de nem az. Az egesznek az a lenyege, hogy egy darab konkret feledatnal, aminek egy veges string az eredmenye nincs sok ertelme azt kerdezni, hogy van e olyan program, ami ezt a stringet letrehozza, hiszen trivialisan van ilyen.
Sot tovabbmegyek, tudok mutatni olyan programot is, ami a Wiles bizonyitasanak beadasa nelkul kiadja a Fermat-tetel bizonyitasat. A C-kod ugyan tul hosszu lenne, de megadom az algoritmust:
Konstrualjunk egy adatstrukturat amiben absztrakt bizonyitasokat tudunk veges sztringekkel reprezentalni es azokat helyessegre ellenorizni. Ezek utan teszteljuk vegig az osszes stringet, ami belefer a memoriaba.
Ha eleg nagy memoriank van, akkor a Fermat tetel bele fog ferni, igy elobb utobb eljutunk hozza.
Az algoritmus bizonyithatoan megtalalja a jo sztringet, csak hihetetlenul inefficiens, de itt elvi kerdesekrol van szo.
"Egy példát adtam arra, amire az ember képes, a számítógép pedig nem. Nem azt mondtam, hogy minden ember képes erre, csak azt, hogy van olyan ember, nevezetesen Andrew Wiles"
Erre kepes az evolucio sokadik evezredeben, az otmilliard ember kozul egy. Ok, lehet, hogy kepes lesz ra egy szamitogepprogram is, mondjuk 1000 ev mulva, es a hossza 18GByte lesz, es egy Andrew Wiles kaliberu ember fogja irni a programot... Attol, hogy te, vagy en nem tudunk olyan programot irni, egyaltalan nem biztos, hogy nem letezhet.
"Az általad adott programpéldával kapcsolatban is úgy tűnik teljesen félreértettél."
Szerintem te ertetted felre Koporshow kijelenteset, ezert irtam egy peldat, hogy megertsd mi a kulonbseg az osszes program, es egy program altal generalt programok kozott.
A megallasi problema altalanosan nem megoldhato (sem Turing gep, sem ember nem tudja megoldani), ezt magyarazzuk mar regota, gondolod, hogy nem ertem? Ennek az uzenete szamomra az, hogy a Turing gep annyira eros, hogy a programja megallithatosagat nem lehet altalanosan megoldani semmilyen ma ismert megepitheto geppel. Ez eppen azt sugallja hogy a Turing gep milyen iszonyatosan eros!
"Én is tudok olyan példákat mondani, ahol a megállás megállapítható"
Peldaul az osszes veges allapotteru program megallithatosaga is megoldhato max N lepesben, ha az allapotok szama N. (N lepesig vagy megall, vagy a vegtelensegig ismetlodik.) Mivel a gyakorlatban hasznalt algoritmusok veges allapotteruek, ezert gyakorlati pledakat nem is erdemes felhozni, hogy lam, az ember meg tudja oldani, a gep meg nem. A Turing gep megallasa pont azert nem megoldhato, mert az allapotter vegtelen!
Furcsa dolog úgy vitatkozni, ha az ember szájába olyan kijelentéseket adnak, amiket nem mondott. Én egy szóval sem állítottam, hogy a megállási problémának köze van az ember számítógép viszonyhoz. Azt sem mondtam, hogy Mariska néni nem ember, mert nem tudja a Fermat sejtést bizonyítani. Egy példát adtam arra, amire az ember képes, a számítógép pedig nem. Nem azt mondtam, hogy minden ember képes erre, csak azt, hogy van olyan ember, nevezetesen Andrew Wiles.
Az általad adott programpéldával kapcsolatban is úgy tűnik teljesen félreértettél. Én is tudok olyan példákat mondani, ahol a megállás megállapítható. Egy üres program megállását megállapító program egy konstans igaz értéket visszadó program. Nem ez a lényeg, hanem az, hogy általában nem megoldható a dolog. Az, hogy a háromtest probléma bizonyos esetekben egzakt módon megoldható, nem jelenti azt, hogy van rá általános megoldás. A megállási problémában pontosan az általános megoldás hiánya a lényeg.
A megallasi problemanak semmi koze az ember-szamitogep viszonyahoz, mivel nincs olyan ember sem, amelyik minden szamitogepprogramrol megmondja, hogy megall-e vagy sem.
"Arra a programra pedig kíváncsi lennék, amelyik nemcsak azt tudná eldönteni, hogy az általa generált algoritmus megáll-e..."
Pl. generalja a program a kovetkezokeppen a masik programot a standard outputjara:
"Az ember és számítógép viszonyát illetően pedig csak akkor fog megváltozni a véleményem, ha megszületik az a számítógépprogram, amely bizonyítást ad a nagy Fermat sejtésre."
Ezek szerint Mariska nenit nem tekinted embernek, mert nem tudja bebizonyitani a nagy Fermat sejtest???
