Köszönöm, hogy belenéztél! Számomra az volt leginkább elgondolkodtató a könyvből, hogy Riemann képlete meglehetősen bonyolult, és ha Siegel nem találta volna meg, talán még most sem ismernénk hasonló hatékony módszert. Hiszen Hardyék módszerével csak kevés gyököt lehetett meghatározni, így pedig számítógéppel több milliárdot.
egyszerre igaz, hogy |pi(N)-li(N)| sokkal kisebb, mint |R(N)-li(N)|
Akartam mondani: egyszerre igaz, hogy |pi(N)-li(N)| kellően kicsi és |R(N)-li(N)| kellően nagy, speciálisan |pi(N)-li(N)| sokkal kisebb, mint |R(N)-li(N)|.
Kicsit belenéztem a könyvbe. Beszél egy Riemann-tól származó R(N) közelítésről a pi(N)-re. A kontextusból az derül ki számomra, hogy ez az, amiről korábban beszéltem: néhány gyök figyelembe vételével kapott közelítés a pi(N)-re. Persze hogy a "néhány gyök" mit jelent, az itt nem derül ki: lehet konstans számú gyök, vagy az N növekedtével egyre több gyök.
Akárhogy is, Littlewood előjelváltós tételéből következik, hogy végtelen sok N-re a |pi(N)-li(N)| különbség nagyon kicsi, nevezetesen legfeljebb 1. A Riemann-féle R(N) képlet pedig olyan, hogy |R(N)-li(N)| általában gyök(N) nagyságrendű. Valószínűleg Littlewood igazolta, hogy (nem meglepő módon) sok N-re egyszerre igaz, hogy |pi(N)-li(N)| sokkal kisebb, mint |R(N)-li(N)|, és ekkor automatikusan sokkal kisebb, mint |pi(N)-R(N)|.
Az egyértelmű, hogy a könyv Littlewood két különböző felfedezését említi. Az egyik Gauss sejtésének cáfolata, amiről Te is írsz, a másikat a beidézett szöveg tartalmazza, és a következő mondat vezeti be:
"Littlewoodnak sikerült porrá zúznia egy másik kapaszkodót is."
Sajnos a beidézett szöveg előtt és után is csak Gauss sejtésének cáfolatáról ír részletesen a szerző.
Talán a Riemann-Siegel-formula első néhány tagját?
Nem ezt akartam mondani, hiszen ez a formula a zeta(s)-ről szól, nem a pi(x)-ről. Arra a képletre gondoltam, ami a pi(x)-et a li(x) és véges sok zeta-gyök figyelembe vételével közelíti. A pi(x) pontosan előállítható az összes gyökkel, és bizonyos hibával előállítható véges sok gyökkel. A prímszámtétel szokásos bizonyításában az x-től függően egy adott magasságig vesszük figyelembe a gyököket, és az így keletkező hibát becsüljük.
Nem tudom, mire gondolt a szerző. Tetszőleges c-hez van olyan tőle függő x0, hogy x>x0 esetén a pi(x) eltérése az x/(logx - c) hányadostól nagyobb, mint a li(x)-től (vagy a Li(x)-től). Persze ha a c jól van megválasztva, akkor az x0 is nagy lesz, de előbb-utóbb mindig a li(x) győz.
Amit Littlewood bizonyított, az az, hogy a pi(x)-li(x) különbség végtelen sokszor előjelet vált. Sokáig az se volt világos, hogy egyáltalán előjelet vált-e. Lásd itt.
Talán arra gondolt a szerző, hogy Gauss becslése maga a li(x)? De akkor nem világos, mit ért Riemann-becslésén. Talán a Riemann-Siegel-formula első néhány tagját? Mindegy, a lényeg, hogy pi(x)-li(x) oszcillál, és a Riemann-zeta gyökeinek valós részeitől függ, hogy mennyire.
Pedig Marcus du Sautoy: A prímszámok zenéje című könyvben ez olvasható:
"Sokan azt hitték, hogy Gauss becslésének Riemann-féle javítása mindig pontosabb eredményt ad a prímek számára. Littlewood azonban megmutatta, hogy Riemann finomítása az első egymillió számon pontosabbnak tűnhet ugyan, de a számok világának távolabbi szegleteiben néha Gauss becslése lesz a pontosabb jóslat."
A Li(x) vagy a li(x) nagy x-re mindig jobb közelítést ad pi(x)-re, mint egy x/(log x + c) alakú kifejezés, ahol c konstans. Ez következik a prímszámtétel ismert hibatagjából.
Így most már érthetővé vált az a bizonyítás is, hogy a nagy számoknak vannak olyan tartományai, ahol a prímszámtétel pontosabb becslést ad.
Pontosabb becslést minél? Tehát mi mással lehet becsülni a prímszámokat, mint a prímszámtétellel?
Ilyen továbbfejlesztésről még nem hallottam, eddig úgy tudtam, hogy a képlet felfedezése egyedül Riemann érdeme.
Edward: Riemann's zeta function könyvében olvashatsz erről. A 7.5 fejezet végén egy lábjegyzetben megjegyzi, hogy Siegel formulája nem teljesen egyezik meg Riemannéval, továbbá a következő oldalon láthatod annak a Riemann-kéziratnak a fénymásolatát, amin az eredeti formula található. A pontos történetet nem ismerem, mint ahogy a formulának sem vagyok szakértője. Mindenesetre Edwards írja:
The difficulty of Siegel's undertaking could scarcely be exaggerated. Several first-rate mathematicians before him had tried to decipher Riemann's disconnected jottings, but all had been discouraged either by the complete lack of any explanation of the formulas, or by the apparent chaos in their arrangement, or by the analytical skill needed to understand them. One wonders whether anyone else would ever have unearthed this treasure if Siegel had not.
Vajon Erdős sokat foglalkozott a Riemann-hipotézis vizsgálatával?
A Riemann-hipotézissel Turán foglalkozott sokat, aki nyilván megosztotta a gondolatait Erdőssel (aki jó barátja és szerzőtársa volt). Erdős szerintem inkább abban reménykedett, hogy a prímszámok becslésére van hatékony zeta-mentes módszer, ami által esetleg a Riemann-sejtésről is meg lehet tudni valamit. Ez az intuíció lehet, hogy nagyon is jó: a Riemann-sejtés bizonyos algebrai geometriai variánsait sikerült bizonyítani közvetlenebb leszámlálással és becsléssel (tehát az ott szereplő zeta-függvény megkerülésével).
Nagyon köszönöm a válaszokat, most már kezdem érteni. Így most már érthetővé vált az a bizonyítás is, hogy a nagy számoknak vannak olyan tartományai, ahol a prímszámtétel pontosabb becslést ad.
"Riemann jegyzeteit Siegel megtalálta egy göttingeni könyvtárban és jelentősen továbbfejlesztette azokat."
Ilyen továbbfejlesztésről még nem hallottam, eddig úgy tudtam, hogy a képlet felfedezése egyedül Riemann érdeme. De hatalmas elismerés illeti Siegelt is amiért megtalálta és felismerte a jelentőségét, mert a jegyzetek nagyon nehezen áttekinthetők voltak, előtte már több matematikus is sikertelenül próbálkozott. Úgy tudtam, ezért nevezték el Riemann-Siegel-képletnek.
Vajon Erdős sokat foglalkozott a Riemann-hipotézis vizsgálatával?
1. Ha a Riemann-hipotézis igaz, csak pontosabb becslést ad a prímszámtételnél, vagy pontosan meghatározható N-ig a prímek száma?
A prímek számát N-ig (minden N-re) meghatározzák a gyökök és viszont. Viszont végtelen sok gyök van, ezért a pontos számhoz minden gyökre szükség van, éspedig végtelen pontossággal.
Egy adott gyök z járuléka a szóban forgó pi(N) mennyiséghez abszolút-értékben kb. NRe(z), tehát annál kisebb, minél kisebb a Re(z) valós rész. Mivel a pozitív valós részű gyökök szimmetrikusan helyezkednek el a kritikus sávban (ha z gyök, akkor 1-z is az), ezért a Riemann-sejtés azt fejezi ki nagyjából, hogy a gyökök (külön-külön és együtt is) a lehető legkisebb ingadozást adják a pi(N)-Li(N) mennyiségre, ahol Li(N) a logaritmikus integrál.
Egész pontosan adott valós x-re ekvivalens az alábbi két állítás: a zeta(s)-nek nincs gyöke a Re(s)>x félsíkban, illetve |pi(N)-Li(N)|/Nx' a nullához tart minden x'>x esetén. A Riemann-sejtés azt mondja ki, hogy ez a két állítás x=1/2-re igaz.
2. Tulajdonképpen miért ez a legeslegfontosabb sejtése a matematikának?
Szubjektív, hogy ki mit tart a legfontosabb sejtésnek. A Riemann-sejtésről kiderült, hogy egy nagyon általános problémakör része: nagyon sok helyen használható és iránytűnek is kiváló. A Riemann-zeta mellett (végtelen) sokféle objektumhoz lehet ahhoz hasonló ún. zeta-függvényt vagy L-függvényt társítani. Egy ilyen L-függvény az objektumból sok információt elkódol és eltárol, tehát az objektum egyfajta DNS-ének tekinthető. Ha két különbözőképpen származtatott L-függvényről kiderül, hogy azonosak, az nagyon mély dolgot árul el a mögöttük levő két objektumról. Pl. A Fermat-sejtés bizonyítása is ilyen megfeleltetésen múlik: bizonyos elliptikus görbék L-függvénye megegyezik bizonyos moduláris formák L-függvényével. Látszólag az elliptikus görbéknek semmi köze nincs a moduláris formákhoz, de az L-függvényeik mást mutatnak. A számelméletben az L-függvények univerzálisak, és mindegyikre igaznak tűnik a Riemann-sejtés valamilyen formája. A számelméletben sokkal nagyobb "rend lenne", ha ezeket a sejtéseket igazolni tudnánk. Az (általános) Riemann-sejtés persze jóval túlmutat a számelméleten: jelen van az algebrai geometriában, az automorf formák elméletében (tehát a Lie-csoportok és az algebrai csoportok reprezentációelméletében is), a matematikai fizikában, stb.
3. Igaz-e, hogy Riemann állítólag bizonyította, hogy a nem triviális gyökök többsége a kritikus egyenesre esik, de a bizonyítás elveszett, és azóta is csak 40% körüli eredményt tudtak kimutatni?
Nem tudok arról, hogy Riemann ezt bizonyította volna. Kifejlesztett egy módszert, amivel a gyökök numerikusan is számolhatók, és ennek segítségével néhány gyökről be tudta látni, hogy a kritikus egyenesre esik. Valószínűleg ez vezette arra, hogy a sejtését kimondja. Riemann jegyzeteit Siegel megtalálta egy göttingeni könyvtárban és jelentősen továbbfejlesztette azokat. Littlewood volt az első, aki belátta, hogy végtelen sok gyök a kritikus egyenesre esik, és csak jóval később, Selberg bizonyította, hogy egy pozitív százalék is oda esik (és ezért Fields-érmet kapott). Jelenleg is csak 40% körüli eredményt tudnak, a közelmúltban volt egy kis javítás ezen a téren. Viszont tudjuk, hogy a kritikus egyenestől távolodva egyre ritkulnak a gyökök, és itt is folyamatosan javítják az eredményeket (ún. nullsűrűségi tételek).
Sok helyen nem egyértelmű, ahogy a Riemann-hipotézisről írnak, ezért lenne néhány kérdésem.
1. Ha a Riemann-hipotézis igaz, csak pontosabb becslést ad a prímszámtételnél, vagy pontosan meghatározható N-ig a prímek száma?
2. Tulajdonképpen miért ez a legeslegfontosabb sejtése a matematikának? Én három magyarázatot tudok kitalálni erre:
a) Javul a prímszámtétel.
b) Néhány bizonyítás, amiket annak feltételezésével értek el, hogy a Riemann-hipotézis igaz, tétellé válik.
c) A bizonyítás megértése és továbbfejlesztése által esetleg lehetőség adódik a számelmélet más híres, megoldatlan problémáinak bizonyítására is. (Hilbert a híres előadásán az ikerprímsejtést említette...)
Szerintem az a) és b) még együttesen is nagyon kevés egy ilyen szélsőséges kijelentés igazolására, a c) pedig vágyálomnak tűnik, hiszen az ikerprímsejtés valószínűleg sokkal nehezebb probléma, sokak szerint reménytelenül nehéz.
3. Igaz-e, hogy Riemann állítólag bizonyította, hogy a nem triviális gyökök többsége a kritikus egyenesre esik, de a bizonyítás elveszett, és azóta is csak 40% körüli eredményt tudtak kimutatni?
Sajnos nem értek én se a témához, se a fizikai, se a matematikai részéhez. Mi több, most két hétig nagyon elfoglalt leszek, nem lesz időm utánanézni. Félek tőle, hogy utána se.
Még kicsit sarkítva a kérdést: Rendes számítógépnél a számítási idő nő exponenciálisan, vagy a gépek száma, egykutya. Kvantum gépnél meg nem az lesz-e a helyzet, hogy a pontossági igény (a zavarok lecsökkentésének igénye) nő exponenciálisan, amit ugyanúgy nem lehet megoldani?
Megnéztem, hozzá is olvastam, de nagyon úgy tűnik, nem egy félórás dolog ez. Nem értem rendesen.
Ami így (a dolog valódi megértése nélkül) elsőnek eszembe jutott, nem függ-e ez az egész össze a pontosság kérdésével? Úgy látom, a qbiteknek valamiféle analóg, végtelen pontos értéket tulajdonítanak, amit mindenféle szuperpozícióban is tartanak. (Persze lehet, hogy hülyeséget gondolok mert nem értem). Ha igen, akkor nem lesz abból baj, hogy mindenféle elkerülhetetlen zavaró hatás miatt nem lesz elég pontos a cucc, és nagy számoknál egyszerűen elszámolja magát?
Annak nincs értelme, hogy "polinomiális időben faktorizálni valamit". Ugyanis "polinomiális időben" azt jelenti, hogy van olyan c>0 konstans, hogy az algoritmus minden n számot (log n)c időben prímtényezőire bont. Tehát a "polinomiális időben" nem egy konkrét n-re vonatkozik, hanem a futási időre mint az n függvényére.
Most, hogy ezt tisztáztuk: nem ismerünk polinomiális idejű algoritmust a faktorizálásra. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy egyelőre nem tudjuk Turing-gépen polinomiális időben megcsinálni a faktorizálást. Az is elképzelhető, hogy Turing gépen nem is lehet polinomiális időben megcsinálni a faktorizálást, magyarán hogy a faktorizálás túl bonyolult probléma ahhoz, hogy polinomiális algoritmus létezzen rá. Ellenben Peter Shor 1994-ben megmutatta, hogy kvantumszámítógépen ez lehetséges, lásd itt.
A cikk végén van egy mulatságos rész (Deutsch and the many worlds interpretation), azt feltétlenül olvasd el. Kicsit emlékeztet arra, amikor a Francia Tudományos Akadémia állást foglalt (néhány száz éve), hogy a gőzmozdony 30 km/órás sebessége már ártalmas az emberi szervezetre.
így Turing-gépen exponenciális dolgokat is polinomidőben tudnak megcsinálni
Ha valamit Turing-gépen meg lehet csinálni polinomiális időben, akkor és csak akkor hagyományos számítógépen is meg lehet csinálni polinomiális időben. Ennek az az oka, hogy minden hagyományos számítógép modellezhető Turing-géppel és viszont.
A kvantumszámítógép az egy más tészta, a Te kérdésed nem erre vonatkozott. Mindenesetre ha egyszer a gyakorlatban működő kvantumszámítógépet tudnak majd csinálni (erre persze nincs garancia, amíg nem csinálják meg), akkor nyilván inkább arra fognak fejleszteni algoritmusokat. De ettől még ugyanúgy megmarad fontos kérdésnek, hogy lehet-e faktorizálni számokat Turing-gépen polinomiális időben.
Talán ilyen szempontból "biztonságosabb" kutatni időtállóbb ágakat, avagy szerinted túl borúlátó volt a Tanárúr?
Egyelőre ott tartunk, hogy csak gőzmozdony van, belsőégésű motor nincs. Ez nem elhanyagolható szempont. Továbbá az elméleti matematika eléggé függetleníteni tudja magát az alkalmazott területektől, tehát a Turing-gépen vizsgálódni akkor is érdekes lesz, csak esetleg nem lesznek olyan közvetlen alkalmazásai a gyakorlatban.
Én úgy tudtam, hogy a PhD a doktoranduszból tanársegéddé váláshoz kell
Most így van valóban. De régen nem volt Ph.D., hanem csak kandidátusi fokozat, ami valójában jóval erősebb volt a Ph.D-nél. Talán az kellett a docenssé váláshoz és aztán a kandidátusi fokozatokat átváltották Ph.D-re. Szóval elképzelhető, hogy egyes kiváló embereknek nincs Ph.D-jük (mert nem csinálták meg a kandidátusit és a doktorit sem pótolták) és ez formális gátja is lehet a kinevezésüknek.
Másrészt viszont zavar, hogy bármelyik oktatóm többet tud Apámról, mint én magam.
Ezt meg tudom érteni és sajnállak érte. De ez itt már off-topik, mint ahogy az egyetemi kinevezések is.
Számelméletből dolgoztatok esetleg együtt?
Nem. Amikor én találkoztam vele, még az ELTE-n voltam hallgató. Diploma után elmentem 10 évre az USA-ba és már nem találkoztam vele.
Te szakterületedhez kapcsolódó dologból csinált valamit, aminek hasznát vetted eddig?
Ő másfajta dolgokkal foglalkozott, inkább a hagyományosan magyar területekkel. A számelméleti területek listájáról ő az A,B,D,J,K,N,P,R jelűekkel foglalkozott, én pedig a doktorim óta az F,L,M jelűekkel.
"Nem a számítógépek sebességétől függ, hogy polinomidőben tudunk-e faktorizálni nagy számokat, hanem attól, hogy ismerünk-e polinomiális idejű algoritmust a faktorizálásra. "
Egy Lovász Tanárúr-féle előadáson volt, hogy kwantuum-számítógépek egyidőben vizsgálni tudják az eseteket és így Turing-gépen exponenciális dolgokat is polinomidőben tudnak megcsinálni pl faktorizálni számokat. Így ha maga az algoritmus exponenciális, ezeken a gépeken polinomiális időben zajlik. Ezzel a újfajta tehnológiával az a gond, hogy a memóriát nehéz rajta megoldani; csak 8bitet bírnak tárolni rajta egyelőre. Fölvetettem egyik oktatómnak, hogy most akkor hiába görcsölünk-e, hogy polinomiálist csikarjunk ki, ha az exponenciális is polinomiális időben lesz a gyakorlatban megoldható; erre Ő azt mondta, hogy régen a gőzmozdonyt tökéletesítgető mérnököt nagyon tisztelték, de aztán kutatók kitaláltak belső égésű motort, így bizonyos értelemben haszontalanná vált a gőzmozdonyos mérnök. Talán ilyen szempontból "biztonságosabb" kutatni időtállóbb ágakat, avagy szerinted túl borúlátó volt a Tanárúr?
"A docensi kinevezéshez tudtommal szükséges a doktori (Ph.D.) disszertáció."
Én úgy tudtam, hogy a PhD a doktoranduszból tanársegéddé váláshoz kell és a doktori suli végeztével kell megírni; utána adjunktus, docens; majd az egyetemi tanár/kutatóprofesszor titulushoz már a DSc kell.
Analízis oktatóm úgy emlékezett, hogy Apum ez utóbbit(akkor még nagydoktorit) Lions-féle dologból írta, sőt azt mondta, hogy kevesen írnak olyan nagydoktorit mint Ő, úgyhogy büszke voltam rá:). Másrészt viszont zavar, hogy bármelyik oktatóm többet tud Apámról, mint én magam. Számelméletből dolgoztatok esetleg együtt? Automorf formákkal ezekszerint nem foglalkozott, de Révai Lexikon szerint számelméletben is csinált jelentős dolgokat. (anal, számelm, ortogonális sorok, opkut, irányításelmélet, martingálelmélet, játékelmélet, amit még írnak) Te szakterületedhez kapcsolódó dologból csinált valamit, aminek hasznát vetted eddig?
Akkor lehet szögharmadolás, vagy kockakettőzés volt az adott probléma
Szerintem szabályos sokszögek szerkeszthetőségével foglalkozott, ami hasonló probléma, de nehezebb. Utána kéne néznem részletesen (csak sajnos nincs rá időm), hogy pontosan mit tudott Gauss és mit nem. Az biztos, hogy Lindemann előtt nem volt ismeretes, hogy a kör négyszögesíthető-e euklideszi szerkesztéssel.
Analízisből Te azért vagy erős, mert analitikus számelmélethez erős analízis kell, vagy számelmélettől viszonylag függetlenül is szoktál foglalkozni vele?
Nem szoktam számelmélettől függetlenül analízissel foglalkozni.
Tudsz ezekre valami magyarázatot mondani, hogy miért van?
Az egyetemi kinevezéseket nem aszerint adják, hogy ki mennyire okos vagy tehetséges. A docensi kinevezéshez tudtommal szükséges a doktori (Ph.D.) disszertáció. Nem tudom, hogy Pelikán írt-e ilyet. A MathSciNet adatbázis szerint mindenesetre nem nagyon foglalkozott kutatással az elmúlt 30 évben.
de azért érdekelne, hogy itthon kik csinálnak számelméleten belül RH-közeli témákat
A klasszikus Riemann-zetát és a közeli Dirichlet-féle L-függvényeket sokat kutatta Balog Antal, Halász Gábor, Pintz János. Automorf formákkal rajtam kívül foglalkozik még Balog Antal, Biró András, Tóth Árpád.
Régen volt róla szó, hogy ha RH igaz akkor lehet csinálni gyorsabb prímtesztet
Az eredeti RH nem elég, sok Dirichlet L-függvényre fel kell tenni a Riemann-sejtést. Ha ez igaz, akkor valóban van gyorsabb prímteszt, sőt néhány évvel ezelőttig csak ezen feltevés mellett volt ismeretes polinomiális prímteszt.
namármost hallottam olyant, hogy újfajta számítógépek már miden valószínűség szerint polinomidőben faktorizálnak nagy számokat.
A faktorizálás problémája sokkal nehezebb a prímtesztelés problémájánál. Nem a számítógépek sebességétől függ, hogy polinomidőben tudunk-e faktorizálni nagy számokat, hanem attól, hogy ismerünk-e polinomiális idejű algoritmust a faktorizálásra. Ennek az az oka, hogy egy polinomiális idejű algoritmus minden számítógépen (a 20 évvel ezelőttieken is) polinomiális időben fut, egy nem polinomiális idejű algoritmus pedig egyiken sem (a 20 év múlva létezőkön sem). Sajnos jelenleg nem ismerünk polinomiális idejű faktorizáló algoritmust, még az is elképzelhető, hogy nincs is ilyen.
Nem "fölös" sok energiát fektetni prímtesztelő algoritmusok fejlesztésében így ennek tudatában?
A prímtesztelő algoritmusok fejlesztése egészen mást jelent elméleti szempontból, mint gyakorlati szempontból. Egyiket sem tartom fölös energiának, hiszen mindkét szempontból létezhetnek sokkal gyorsabb algoritmusok, továbbá a számokról is kiderülhetnek érdekes dolgok az ilyenirányú kutatások során.
"Nem Gauss látta be, hanem Lindemann jóval később: 1882-ben."
Akkor lehet szögharmadolás, vagy kockakettőzés volt az adott probléma; Lachkovich Tanárúr említette egy előadás során. Ha egyiket se Gauss csinálta meg, akkor csak rosszul emlékszem.
"hanem a bizonyítás is szervesen algebrai és analitikus egyszerre"
Analízisből Te azért vagy erős, mert analitikus számelmélethez erős analízis kell, vagy számelmélettől viszonylag függetlenül is szoktál foglalkozni vele?
Amúgy algebra oktatóm mesélte, hogy Pelikán Tanárúr kiskorában negyed óra késéssel készületlenül érkezett meg egy zh-ra. Lehetett könyvet használni. Könyvet elolvasgatta ott helyben, aztán megírta hibátlanra a zh-t és negyed órával korábban hazament. Valamint matematikus szakon nem volt nem jeles zh-ja/vizsgája. Ha jól emlékszem, akkor még kisebb korából pedig diákolimpia 3arany 1ezüst. Namármost a Pelikán Tanárúr így idős korára adjunktusi beosztásban dolgozik, holott (tudom nem mérvadó a véleményem de) szerintem számos magasabb rangú embernél sokkal okosabb. Másrészről van sajnos olyan oktató, aki olyan dolgokat szúr el következetesen, amit gimis tanáraim is megmosolyognának, az illető magas beosztású. Tudsz ezekre valami magyarázatot mondani, hogy miért van?
Mondtad, hogy Lovász Tanárúr más profilú az RH tekintetében. Hazaik közül, akkor kik azok akik okosak és ilyen irányba is kutatnak? (Én mondjuk csak 4 számelmélészt ismerek Veled együtt, többiek 2 volt oktatóm és 1 akinek könyve van meg; de azért érdekelne, hogy itthon kik csinálnak számelméleten belül RH-közeli témákat)
Régen volt róla szó, hogy ha RH igaz akkor lehet csinálni gyorsabb prímtesztet, namármost hallottam olyant, hogy újfajta számítógépek már miden valószínűség szerint polinomidőben faktorizálnak nagy számokat. Nem "fölös" sok energiát fektetni prímtesztelő algoritmusok fejlesztésében így ennek tudatában?
"még nem tanultad kombinatorikából a Szemerédi féle regularitási lemmát"
Sajnos valóban nem. Eddig Véges matematika1-2 -ből voltak gráfok, valamint idén Operációkutatás1-ből csináltunk mindenféle gráfoptimalizációt, de utóbbiból mostmár lineáris programozás lesz. Más olyan Bsc-s tárgy nincs ahol esélyes, hogy gráfozzunk, így szerintem az említett tétel majd a mesterképzés során esedékes. Mindenesetre, ha nem nehéz a bizonyítása, akkor azért majd megkérem Tamást, hogy mesélje el. Ő doktori suliban is ilyen jellegű dolgokat hallgat, tehát biztos tudja.
"véges gráf, de trillió a trillióadikon darab csúccsal,"
Hogy tudsz megadni egy ilyen gráfot határos időn belül ha nincs szabályszerűség benne?
"legidézettebb cikke a Lubotzky-Philips-Sarnak 88-as kombinatorika cikke"
Érdekes, meséltétek, hogy régebben kombinatorika sokak szemében lenézett dolog volt; aztán most mégis ilyen fontos. Számomra akkor derült, hogy hogy kombinatorikai kutatások hasznosak, amikor véges Abel-csoportoknál adott elemszámra kellett megmondani, hogy izomorfia erejéig hány különböző van. Ez kis számokra ment de nagy számra (mégha faktorizálni tudnánk is a számot), nem egyszerű eldönteni, hogy hányfélét csinálhat belőle az ember.
