Az igaz, hogy O(n) egy n(n-1)/2 dimenziós Lie-csoport, de ebből nem következik, hogy O(n)-ben csak n(n-1)/2 lehet lineárisan független. Pl. ha n=2, akkor a következő 4 mátrix ortogonális és lineárisan független: (1 0|0 1), (1 0|0 -1), (0 1|1 0), (0 1|-1 0).
Az alábbi számolsban sehol sem használtuk ki azt, hogy a mátrix elemei valósak, csak azt, hogy valamilyen test elemei. Speciálisan tehát komplex mátrixokra ugyanez igaz.
n-szer n-es valós ortogonális mátrixokból n(n-1)/2 lehet lineárisan független. Ezt elemi módon úgy lehet belátni, hogy az
AT A = I
egyenlet mindkét oldalán szimmetrikus mátrix áll, egy n-szer n-es szimmetrikus mátrixnak pedig n2/2 + n/2 = n(n+1)/2 független eleme van. Ez tehát azt jelenti, hogy a fenti mátrixegyenlet n(n+1)/2 független egyenletet jelent, ez pedig azt, hogy mátrixban szereplő n2 darab számnál ennyivel kevesebbet adhatunk meg egymástól függetlenül, vagyis a keresett szám:
n2 - n(n+1)/2 = n(n-1) /2
Ez pontosan megegyezik az n-szer n-es antiszimmetrikus mátrixok vektorterének a dimenziójával, és ezt előre is tudhattuk volna, hiszen az ortogonális mátrixok topologikus csoportjának a Lie-algebrája (vagyis a 0-beli érintőtere) épp az az n-szer n-es antiszimmetrikus mátrixok vektortere.
a sum {zeta(2*n+1) - 1} = 1/4 végtelen sor összege hogyan számítható ki
A zeta(2n+1)-1 kifejezhető mint summ>1 m-2n-1. Az n és m feletti dupla összeg abszolút konverges, ezért az n-re és m-re vonatkozó összegzés felcserélhető. Igy a keresett összeg
A Wikipedián a Riemann-zéta függvény szócikkben van néhány érdekes összefüggés (pontosabban rengeteg van, de én most konkrétan ezt szeretném megérteni): a sum {zeta(2*n+1) - 1} = 1/4 végtelen sor összege hogyan számítható ki (nyilván a kettővel alatta lévő digammás végtelen sorral van összefüggésben)? Hol lehet ennek utánaolvasni? Köszönöm előre is!
Érdekes, hogy az angol nyelvű Wikipediában van szócikk Szép Jenőről, de nincs Szép Ernőről. A Magyar nyelvűben meg fordítva. Meg a németben is. Mi lehet vajon az oka? Eredetileg azt akartam megnézni, hogy vajon van-e rokonság kettejük között. Ugyanígy érdkelne Guido Zappa és Frank Zappa közötti esetleges rokoni kapcsolat. Matematikus és zenész rokonokat egyébként ismerek: John Baez népszerű matematikus unokatestvére a még népszerűbb folk énekesek, Joan Baeznek.
Érdekes, hogy Tao dinamikai rendszerekről szóló jegyzetében is épp a (számtani sorozatos) Szemerédi-tételbe botlottam. Előtte pedig egy intejút olvastam Szemerédivel, aki épp arról beszélt, hogy a diszkrét matematikai eredmények gyakran alapvetőek más matematikai területeken is.
Sejtettem, hogy ez egy az egyben nem állja meg a helyét. Az rendben van, hogy egy jogász nem ért a matematikához, de akkor a beszédének az ilyen részeit miért nem olyannal íratja, aki ért hozzá?
Szerintem összemosott két dolgot (és a szöveget valószínűleg nem ő írta). Az egyik a regularitási lemma, ami valamilyen értelemben pont az ellenkezőjét állítja gráfokra. A másik Szemerédi különböző tételei a Ramsey-elméletben, amik azt mondják ki - megfelelő körülmények között - hogy bármilyen nagy struktúrában előfordulnak bizonyos speciális mintázatok (a leghíresebb ezek közül a Szemerédi-tétel számtani sorozatokra).
Szemerédi Endrenek ezt mondta Áder János, amikor átadta neki a Szent István-rend kitüntetést:
Ön matematikai értelemben bebizonyította, hogy a káosz feldarabolható rendezett részekre. Vagyis a legnagyobb bizonytalanságban is mindig van valamennyi bizonyosság.
Peremfeltételként ki kell kötnöm, hogy a függvény legyen monoton időfüggvény.
(A lépcsőzetesség miatt sajnos azt nem köthetem ki, hogy szigaróan monoton legyen.)
Ha ez nem teljesül, akkor (első közelítésben) hibajelzést kell adni.
Talán a határérték akkor is kiszámolható, de erre a feladatra majd felbérelnek egy matematikust, ha nagyon szükségesnek érzik a phőnökök.
Tehát a függvény vagy monoton csökken, vagy monoton növekszik.
A mért értékek idő szerint diszkrét és kvantált (digitalizált) sorozatot alkotnak. {yi=y(ti)}
Vegyük a sorozat egymást követő elemeinek különbségét. Célszerű abszolút értéket venni, hogy a két esetet együtt lehessen tárgyalni.
∆yi=|yi-yi-1|
A konvergencia szükséges (de talán nem elégséges) feltétele az, hogy az egymást követő különbségek csökkenjenek, vagyis a hányadosuk 1-nél kisebb legyen.
∆yi+1/∆yi < 1
Egyelőre ennyit lehet tudni. A mozgás differenciálegyenlete ismeretlen. (Rákérdezni is felesleges.)
Adott yi és a hozzá tarzozó differenciák hányadosa ∆yi+1/∆yi. (Figyelem, nem difefrenciahányados.)
Ebből kellene az általános esetben a határértéket megjósolni.
Az exponenciális függvény csak vélelmezés. Tulajdonképpen fel kellene írni a mozgás differenciálegyenletét, de ilyen információ nem áll rendelkezésre.
Mindenesetre ha egyenletesen változik a mért étrék (a két határ között), abból nem lehet megállapíteni semmit. A határérték megjóslásához az kell, hogy a görbe görbüljön.
Viszont megtudtam, hogy a mérési bizonytalanságot úgy szokták csökkenteni, hogy csökkentik az értékes tizedesjegyek számát. Lépcsőssé teszik a függvényt. A helyzet egyre cifrább.
(Állítólag a ligo szuperszámítógépei minden pillanatban tucatnyi különböző görbesereget próbálnak illeszteni a mérési eredményekre.)
Lebeszélnélek a komplex kitevőről, mert komplex kitevő esetén általában komplex értéket kapsz vissza (a nagyon speciális pi egész többszöröseinek esetét leszámítva), aminek nem nagyon szokott értelmes fizikai/műszaki jelentése lenni (kivéve a másodrendű, vagy párosrendű diff.egyenletek valós együtthatójú karakterisztikus egyenleteiből adódó konjugált komplex gyökpárok esetét, ahol a komplex részek szépen kiejtik egymást, és marad a műszaki tartalommal bíró periodikus valós megoldás).
Kicsit részletesebben leírtam a problémát a Gépészmérnök topikban.
A mérési bizonytalanság elsősorban talán a mintavételi gyakoriságtól függ. Azt pedig leginkább a folyamat (egyelőre ismeretlen és esetenként változó) időtartama határozza meg. (Lineárisnak tekintve az időbeli változást a két végállapot között legalább 100 mérést kell végezni. Nem lineáris esetben inkább többet, a legmeredekebb szakasz alapján, ha legalább 1%-os pontosságot akarunk.) A véletlen eltérés lehet pozitív és negatív is.
A feltételezett exponenciális változás mindenképpen lecsengő. De elképzelhető komplex kitevő is, vagyis lecsengő rezgés.
Mielőtt bármihez kezdesz ezzel az egyenlettel, fontos tisztázni, hogy k > 0 fennáll-e, vagy sem? Ha k < 0, akkor bukta, k = 0 esetét gondolom kizártad, k > 0 esetén pedig a Rnd() fgv-t kellene kicsit körüljárni (fontos lenne tudni, milyen alsó és felső határok között mozoghat az értéke, és ezek hogyan viszonyulnak b0 és b1 értékekhez). Ha jól sejtem, ez valami véletlen hatást modellez. Ha 'x' 0-tól növekszik végtelen felé (mondjuk x valami idővel kapcsolatos mennyiség), akkor y(x) b1-től b0-ig változna, ha Rnd() = 0, és k > 0 lenne. Tehát Rnd() olyan értékeket ad, ami ezt a b1-től b0-ig változó y(x) értéket néhol 0 közelébe viszi (vagy akár negatívba is).
A két definíció ugyanazt adja. Ennek az oka, hogy ha veszed a log(1+x) formális hatványsorát, és azt behelyettesíted az exp(c*t) formális hatványsorába, akkor az (1+x)c formális hatványsorát kapod.
De a lényeg, hogy mátrixot kell belőle csinálni, mert az mátrix marad a hatványozásnál.
(Mint ahogy a valós számok is részét képezik a komplex számtestnek. Tehát ha van egy valós számunk, azt kezelhetjük úgy, mint aminek 0 a képzetes része. Tehát egy komplex együtthatós egyenletben lévő valós számot is komplexnek veszünk.)
Szerintem a skalár másodfokú egyenlethez leginkább hasonlító alakban minden hatvány valami hasonszőrű (egylényegű) dolog kellene legyen, szóval (Er)n, skalár együtthatókkal.
Megjegyzések:
A fizikus még a skalár egyenletek esetén is használ mértékegységeket. Az idő négyzetének viszont nincs fizikai jelentése.
A közgazdász viszont olyan elfajult matematikus, aki legfeljebb elsőfokú egyenletekkel dolgozik, mert nála a mennyiségekhez ragadó mértékegységnek pénz dimenziója van. És hát a $2 is értelmetlen. ;)
Rengeteg lehetőség van, de melyik a legtermészetesebb, legigazibb, legáltalánosabb?
Szerintem a vektor hatványozását úgy lehet leginkább általánosítani, ha beszorozzuk az egységmátrix-szal, és az így keletkezett objektumot hatványozzuk.