Keresés

Részletes keresés

Gergo73 Creative Commons License 2021.02.12 0 0 4632

Az állítás igaz. Egy négyzetszám 9-cel osztva a 0,1,4,7 maradékok egyikét adja, tehát ugyanez igaz a számjegyeinek összegére.

Előzmény: baluq (4631)
baluq Creative Commons License 2021.02.12 0 0 4631

Igaz-e az az állítás, hogy nem létezik olyan négyzetszám, amelynek 

számjegyeinek az összege 11 vagy 17? Köszönettel.

Törölt nick Creative Commons License 2020.08.16 -1 0 4630

Ne offoljatok!

Egyébként rájöttem a megoldásra:

https://forum.index.hu/Article/viewArticle?a=155631016&t=9126456

Habár számokról van szó, a probléma mégsem matematikai.

 

Előzmény: rózsaszínfej (4628)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.16 0 1 4629

A végtelenhez tartó sorozatok divergensek, de van határértékük.

Előzmény: rózsaszínfej (4628)
rózsaszínfej Creative Commons License 2020.08.15 0 1 4628

Bocs, hogy belekotyog. A régi szép időkben volt a valós számoknak egy axiómarendszere. Azt hívtuk konvergensnek, aminek valós szám volt a határértéke. A többi az divergens volt. pl az an=n is.

Előzmény: Gergo73 (4623)
XtraP Creative Commons License 2020.08.15 0 3 4627

(Bocsánat az off-ért, de nem tudom megállni.)


Gergő ugyan egyáltalán nem szorul rá, hogy támogassam, de a "van határértéke" annyit jelent, hogy van határértéke ... szemben azzal az előbbit kizáró (és komplementer) állapottal, hogy nincs határértéke. Ha van határérték, az lehet véges vagy végtelen, ha meg nincs, akkor semmilyen.

Tipikus példa a sin(1/x2) függvény határértéke a 0-ban, amely határérték nem létezik, szemben mondjuk az 1/x2 függvényével a 0-ban, ami viszont létezik, konkrétan +végtelen. A két eset nagyon nem egyenrangú.

Előzmény: Ménes Dénes (4621)
Ménes Dénes Creative Commons License 2020.08.15 0 1 4626

Ok, tehát akkor a limesz létezésének értelmében... Értem. Ez is szempont lehet. Thx. 

Előzmény: Gergo73 (4623)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.15 0 1 4625

Egyébként meg az egész világ számmisztika.

 

Szerencsére nem így van.

Előzmény: Törölt nick (4624)
Törölt nick Creative Commons License 2020.08.15 -3 0 4624

Gyere át ide:

https://forum.index.hu/Article/viewArticle?a=155521088&t=9126456

Vagy nyissunk egy alkalmazott matematika topikot.

(Egyébként meg az egész világ számmisztika.)

Előzmény: Ménes Dénes (4622)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.15 0 2 4623

mint értéket, úgy szokták érteni, hogy határozott konkrét érték

 

Én nem úgy értem. Nálam (az óráimon stb.) a "van határértéke" azt jelenti, hogy "van véges vagy végtelen határérteke", más szóval a limesze létezik.

 

De mint mondtam, ez itt off-topik.

Előzmény: Ménes Dénes (4621)
Ménes Dénes Creative Commons License 2020.08.15 0 0 4622

>Ezzel kellene valamit kezdenem.

 

#Minek akarsz ezzel valamit kezdeni?

Előzmény: Törölt nick (4619)
Ménes Dénes Creative Commons License 2020.08.15 -1 0 4621

Na jó, de a "van határérték"-et, mint értéket, úgy szokták érteni, hogy határozott konkrét érték. (Számsorozatnál számérték, függvénysorozatnál függvény"érték", stb...) A végtelen nem tartozik bele ebbe a kategóriába. 

Előzmény: Gergo73 (4618)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.15 0 4 4620

Egy ideje sok itt az off-topic hozzászólás. Ez a topik a számelméletről szól, az egyéb témákat vigyétek máshova!

 

P.S. Számsorozatok határértékével, függvények elemzésével, a matematika mérnöki alkalmazásaival stb. nem a számelmélet foglalkozik.

Előzmény: Törölt nick (4619)
Törölt nick Creative Commons License 2020.08.15 -1 0 4619

Pszt!

A mért jellemző folytonosan változik és (a vizsgált intervallumban) szigorúan monoton.

De csak időnként olvassuk le, így lesz a folytonos függvényből számsorozat.

Továbbá nem tudjuk végtelen pontossággal leolvasni, hanem mondjuk csak 1 tizedesjegyre (kerekítve). Ezáltal a szigorúan monoton függvényből monoton számsorozat lesz. Ahogy egyre kevesebbet változik a függvény, egyre ritkábban fog változni a számsorozat értéke, és ugyanazok az értékek egyre többször ismétlődnek, amíg a határértéket el nem éri. (Ezzel kellene valamit kezdenem.)

 

Ha mondjuk a SZTAKI kapta volna ezt a számolási feladatot, akkor minden típusú vizsgálandó készülék tipikus időfüggvényét megkeresnék; vagyis a számsorozatra felírnának egy "tapasztalati" formulát. (Vámos megteheti, én nem.)

((Igen, olvastam a könyvükben. Egy nagyobb értékű ipari vezérlés kialakításában több szakember is részt vett, és alaposan tanulmányozták az elvégzendő feladatot - mert nincs mindig érvényes általános megoldás, a tudomány jelenlegi állása szerint.))

 

Tegyük fel, hogy az egymás után következő értékek különbsége polinom.

yi-yi-1=1/xi+1/(xi)2

A sorozatot ennek megfelelően két különböző "meredekségű" részre lehet osztani. Az egyik intervallumban az 1/x dominál, a másik intervallumban pedig az 1/x2 lesz meghatározó. Tehát az első N érték alapján a határérték nem mondható meg, mert mondjuk 5N-nél a sorozat jellege megváltozik - és ezt a tipikus viselkedés ismerete nélkül általánosságban nem lehet előre tudni.

(Vissza kellene vonni a feladat kitalálójának mérnöki diplomáját, amíg az illető matematikából újra le nem szigorlatozik. Mint amikor az ittas vezetők jogsiját bevonják egy időre.)

 

Továbbá...

Tegyük fel, hogy van egy hőmérőd, vagy időjárás állomásod.

Amit a kijelzőn leolvasol, az nem a pontos érték, hanem mondjuk egy tizedesre kerekítve. Valahol ugrani fog.

De valójában a pontos érték valahol a két lehetséges leolvasható érték között van.

Például T=27.4 helyett azt kellene mondani, hogy 27.4 <= T < 27.5 a hőmérséklet.

És ahogy a folytonos függvényből kerekítéssel képzett számsorozat egyre kevesebbet változik, amikor a határértékhez közeledik, a "leképezés" relatív hibája egyre nagyobb lesz.

(Sajnos az elméleti matematika nem veszi figyelembe ezeket a problémákat.)

 

Tulajdonképpen itt egyetlen számsorozat helyett nekem két számsorozattal kellene dolgoznom. Egy "felső korlát" és egy "alsó korlát" számsorozattal, amelyek között a leképzett eredeti függvényérték van.

Li <= yi < Ui

f(xi-1) <= yi < f(xi)

Előzmény: Ménes Dénes (4612)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.15 0 3 4618

Végtelen.

Előzmény: Ménes Dénes (4617)
Ménes Dénes Creative Commons License 2020.08.15 -1 0 4617

Jó. Akkor az an=n sorozatnak mi a határértéke?

Előzmény: Gergo73 (4616)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.15 0 2 4616

Miven minden szigorúan monoton sorozat monoton, és minden monoton sorozatnak van határértéke, ezért igen.

Előzmény: Ménes Dénes (4615)
Ménes Dénes Creative Commons License 2020.08.15 -1 0 4615

És minden szigorúan monoton sorozatnak van határértéke? 

Előzmény: Gergo73 (4614)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.15 0 1 4614

De.

Előzmény: Ménes Dénes (4612)
Törölt nick Creative Commons License 2020.08.14 0 0 4613

Bocsánat, pontatlanul fogalmaztam.

Azt tudjuk, hogy a határértéke véges.

Előzmény: Gergo73 (4611)
Ménes Dénes Creative Commons License 2020.08.14 -1 0 4612

A szigorúan monoton sorozat nem monoton sorozat?

Előzmény: Gergo73 (4611)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.14 0 0 4611

Minden monoton sorozatnak van határértéke.

Előzmény: Törölt nick (4610)
Törölt nick Creative Commons License 2020.08.14 0 0 4610

Köszönöm a választ.

 

Viszont egyéb okból tudjuk, hogy határérték létezik. (Ugyanis mőködő szerkezetről van szó.)

És azt is kiköthetjük, hogy a sorozat legyen monoton (bár nem szigorúan monoton).

Előzmény: Gergo73 (4609)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.14 0 2 4609

Másképp fogalmazva: a sorozat első N eleme alapján a határértéket meg kellene tudni mondani.

 

Egy sorozat első N eleme nem mond semmit a határértékéről.

Előzmény: Törölt nick (4608)
Törölt nick Creative Commons License 2020.08.14 0 0 4608

Nekem is lesz egy számsorozatom (amely mérési eredményekből áll).

Az lenne a probléma lényege, hogy általános esetben (a sorozat képletének ismerete nélkül) meg kellene mondani az első N elem alapján, hogy a határértéket már 99%-ban megközelítettük. Másképp fogalmazva: a sorozat első N eleme alapján a határértéket meg kellene tudni mondani.

(Egyszerűbb lenne, ha előre tudnánk a határértéket. Képlet nincs. Különböző gyártóktól származó hasonló funkciójú berendezés méréséről van szó. Tehát a egyes sorozatok nem csak parametrikusan, hanem jellegre is különbözhetnek egymástól.)

Előzmény: Gergo73 (4606)
magyarpityu Creative Commons License 2020.08.14 0 0 4607

Köszönöm a javítást! Sajnos még más hiba (elírás) is becsúszott itt-ott, de ezek ellenére valószínűleg követhető lett a gondolatmenet.

Előzmény: Gergo73 (4606)
Gergo73 Creative Commons License 2020.08.14 0 1 4606

Vegyük a két oldal határozatlan integrálját

 

Jegyezzük meg, hogy konvergens függvénysort nem mindig lehet tagonként integrálni. A hatványsorok lokálisan egyenletesen konvergálnak (a konvergenciasugarukon belül), ezért őket valóban lehet tagonként integrálni (a konvergenciasugarukon belül).

 

Előzmény: magyarpityu (4605)
magyarpityu Creative Commons License 2020.08.13 0 2 4605

Szia!


Megmutatom, hogyan lehet ilyen végtelen összeg határértékét kiszámolni (leírni hosszabb lesz, mint végigszámolni)!


Legyen g(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... végtelen összeg. A továbbiakban csak olyan 'x' értékeknél vizsgáljuk majd a függvényeket, mely x-ekre az alábbi két összefüggés egyike mindig igaz: abs(x) < 1, és x = 1 (tulajdonképpen komplex függvényekkel kellene dolgozzunk, miközben a függvényeket csupán a komplex számsík egységkörén belül, továbbá az x = 1 pontban vizsgáljuk majd, vagyis az egységkör belsejében maradunk, és még ehhez hozzáveszünk egy pontot a körvonalon, de jelen esetben minden további igaz lesz valós függvények között is, úgyhogy maradunk a valós függvények körében). Látjuk, hogy g(x) függvény értéke minden abs(x) < 1 esetén véges.


Mi ez a g(x) függvény? Kicsit bűvészkedünk:


1 + x*g(x) = 1 + x*(1 + x + x2 + ... + xn + ... ) = 1 + x + x2 + ... + xn + ... = g(x)


tehát 1 + x*g(x) = g(x), ezért g(x) = 1/(1-x), azaz 1/(1-x) = 1 + x + x2 + ... + xn + ...


Vegyük a két oldal határozatlan integrálját:


integrál 1/(1-x) dx = -ln(1-x) + C = x + x2/2 + x3/3 + ... + xn/n + ...


A határozatlan integrálnál megjelenő integrációs konstanst 0-nak vesszük (hiszen bármi lehet, akkor legyen 0), és szorzunk -1 értékkel, akkor megkaptuk ln(1-x) függvény x = 0 körüli Taylor-sorát! Ez lesz a kiinduló függvény.


Tehát f(x) = ln(1-x) = -x - x2/2 - x3/3 - ... - xn/n - ...


Mikor van egy olyan f(x) függvényünk, aminek van Taylor-sora, akkor felhasználhatjuk a következő összefüggéseket:


f(x) = a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 + ... + an*xn + ...


f(-x) = a0 - a1*x + a2*x2 - a3*x3 + ... + (-1)n*an*xn + ...


(1-x)*f(x) = a0 + (a1-a0)*x + (a2-a1)*x2 + ... + (an-1-an)*xn + ...


(1+x)*f(x) = a0 + (a1+a0)*x + (a2+a1)*x2 + ... + (an-1+an)*xn + ...


Ha az eredeti f(x) = ln(1-x) függvényre alkalmazzuk a második összefüggést, tehát 'x' helyére '-x' értéket írunk, akkor ezt kapjuk:


ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ... + (-1)^n+1/n*xn + ...


Ezt most szorozzuk (1+x) kifejezéssel:


(1+x)*ln(1+x) = x + x2/2 - x3/(2*3) + x4/(3*4) - x5/(4*5) + ... + (-1)n * xn/(n*(n-1)) + ...


Felhasználtuk, hogy
1 - 1/2 = 1/2,
1/2 - 1/3 = 1/6,
 ...
1/(n-1) - 1/n = 1/(n*(n-1))


Ez utóbbi egyszerűen belátható, elegendő mindkét oldalt beszorozni n*(n-1) értékkel, rögtön látszik az n - (n-1) = 1 azonosság.


Most (1-x)*ln(1-x) függvényt számoljuk ki a fentiekhez hasonlóan:


(1-x)*ln(1-x) = -x + x2/(1*2) + x3/(2*3) + x4/(3*4) + ... + xn/(n*(n-1)) + ...


Összeadjuk a két kifejezést, és kiesnek a páratlan hatványkitevőjű tagok:


(1+x)*ln(1+x) + (1-x)*ln(1-x) = 2*x2/(1*2) + 2*x4/(3*4) + ... + 2*x2n/(2n*(2n-1)) + ...


Ennek a függvénynek a fele már kezd emlékeztetni a végtelen összegedre! Legyen:


F(x) = 1/2*(1+x)*ln(1+x) + 1/2*(1-x)*ln(1-x) = x2/(1*2) + x4/(3*4) + x6/(5*6) + ... + x2n/(2n*(2n-1)) + ...


x = 1 helyen éppen az a végtelen összeg jön ki, amit szeretnénk kiszámolni!


F(1) = 1/2*(1+1)*ln(1+1) + 1/2*(1-1)*ln(1-1)


A második taggal bajban vagyunk, nullával szorozzuk a logaritmus nullát! Valójában nem vagyunk bajban, csupán egy határértéket kell kiszámolni a L'Hospitál szabályt felhasználva! Az y = 1-x helyettesítéssel x -> 1 határértéket kiszámoljuk, tehát y -> 0 határérték:


lim y*ln(y) = lim ln(y) / (1/y) = lim (1/y) / (-1/y^2) = lim y/(-1) = lim -y = 0


Tehát (1-x)*ln(1-x) értéke 0-hoz tart, mikor x tart az 1-hez. De jó, kiesett ez a tag! Mi maradt?

 

F(1) = ln(2) + 0, tehát:


1/(1*2) + 1/(3*4) + 1/(5*6) + 1/(7*8) + ... = ln(2)


Készen vagyunk!

Előzmény: sapkadomb (4603)
magyarpityu Creative Commons License 2020.08.12 0 0 4604

Ezek nem segítettek: 18261, 18263, 18265?

Előzmény: sapkadomb (4603)
sapkadomb Creative Commons License 2020.08.12 0 0 4603

 

Nem találok definiciót az alábbi  sorozatra :  1/1x2 + 1/3x4 + 1/5x6 + 1/7x8.... stb. A határérték kezdő tagjai: 0.69314.  és ezt  nem tudom egyik -általam ismert - limeshez sem kötni.

 

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!