Szép csendben bevallom, hogy elvileg ezzel az itt-tel 'tönkreb@sztad' az estémet. Ti. nem hagyott nyugodni, pedig lett volna mit tennem mást. De ma reggelre megadta magát.
1. Észrevettük, hogy ez a két alakzat csúcsokban megegyezik, de mégsem egyformák:
Egymás mellé téve már igaz is rájuk, hogy a csúcsok szimmetrikusak, de maga az alakzat nem. Csak nem poliominó, nem teljes oldalakkal érintkeznek a négyzetek. Ezért összefüggővé kellett tenni, úgy hogy a csúcsok megmaradjanak.
2. Ez látszik itt, zölddel az összekötő elemek:
Ez az alakzat már jó is lenne, tud mindent, amit megkívánt a feladat.
De észrevettük, hogy össze lehet nyomni, túl széles.
3. Összenyomva:
4. És ha még egy egységgel összenyomjuk, akkor a felső összeköttetésre már nem is lesz szükség. És kialakul a végső alakzat:
Szóval jelenleg ez a legkevesebb négyzetből álló ismert megoldás. Ez 17 négyzetből áll. 14-es, 15-ös nincs a programom szerint. Még kevesebb négyzetből állót nem tartom valószínűnek (lehet, hogy ez ki is jönne a nagyobb esetekből.) A 16 négyzetből álló megoldás létezése még nyitott kérdés.
Kicsit pongyola voltam, nem határoztam meg, hogy milyen szimmetriá(k)ra gondolok. De mondjuk, hogy csak a tengelyes a lényeg. Így jónak tekintem a középpontosan szimmetrikus megoldásod.
Azt azért elmondanám, hogy a teammunka előtt én már sokat foglalkoztam a feladattal. Megvan nekem az összes 14, 15 négyzetből álló alakzat. Ez kb 4.5 millió darab. Írtam egy programot, ami ezeken leellenőrzi ezt a tulajdonságot, de nem talált jó 14 vagy 15-ominót. Így már kezdtem azt hinni, hogy nem lesz megoldás...
És még egy kis előzmény. Van egy (szerintem) zseniális játék. 3 darabos puzzle és kemény erőpróba. Itt írtam róla. Valaki erre is írt programot és talált olyan "megoldást", ami pont azt tudja, hogy a csúcsok tengelyesen szimmetrikusak, de az alakzat nem. Erre elkezdtem gondolkodni, hogy poliominókkal lehet-e hasonlót kitalálni.
Több emberes ötleteléssel mégis sikerült találnunk megoldást:
Ha nem követelnénk meg, hogy teljes oldalak érintkezzenek, hanem elég lenne csúcsbeli érintkezés, akkor lenne még kevesebb négyzetből álló megoldás is. A fenti ábrából el lehetne hagyni jópár négyzetet.
Vegulis mindegy, mert a lyukat kihasznalva is tok ugyanabba a problemaba utkoztem. Ez egy baromi nagy megkotes, hohgy csak 90 vagy 270 van. Meg ferde (45 fok) tengelynel se latom, hogy hol lehetne atverni a rendszert:)
Ettol me'g lehet, vagy esetleg jobban kene bizonygatni hogy nem is lehetseges, csak mivel mas dolgom van, igy en ezt most feladtam.
Azóta én is láttam a wikin, hogy a lyukast is annak tekintik. Az eddigi tapasztalatomban nem találkoztam vele; igaz, hogy a kirakós (packing) dolgok érdekelnek és ott eleve nem 'játszik' lyukas elem.
Az én értelmezésemben (és szerintem ez az általánosan elfogadott) lehet lyuk benne és lehet a lyuk körül csak egy pontban érintkező két négyzet. Vagyis a 3*3-as minusz közepe és sarka az egy jó poliominó.
Onogur felvetésére is reagálva, az már nem szokott megengedett lenni, hogy csak csúcsban legyen összefüggő, de ehhez a feladványhoz most most akár megengedhetjük ezt is!
Megpróbálom leírni, de majd egy matekos pontosítja.
Páros számú pont csak akkor lehet szimmetrikus helyzetben, ha a szimmetriatengelyen páros számú pont található (párosnak tekintve a nullát is). Konvex idom csúcspontjai közül nem lehet 3 olyan pontot kiválasztani, hogy azon belül megtalálható legyen az idom bármely másik pontja. Négy szimmetrikusan elhelyezkedő pont esetén vagy nem tartalmaz a tengely pontokat, ekkor az összekötés szimmetrikus vagy elfajult; vagy kettőt tartalmaz. Most vegyük az egyik tengelyen található pontot és a másik kettőt, ezek egy egyenlő szárú háromszöget alkotnak, melynek (egyik) szimmetriatengelyén található a negyedik pont is. Ez a negyedik pont morfológiailag 3 helyen lehet. Az átfogó külső oldalán (1), a háromszögön belül (2), vagy a 'csúcsponton túl' (3).
Nem szimmetrikus összekötést úgy tudunk elérni, hogy a két, tengelyen lévő pontot közvetlenül kötöm össze. Így az egyik tengelypontból az egyik külsős pontot kötöm össze, míg a másikból a másikat.
(1) esetben elfajult négyszöget kapunk, mivel a két összekötés metszi egymást. (2) esetén aszimmetrikus az összekötés, de nem konvex. (3) esetén a csúcspont kerül a másik 3 pont háromszögébe és így ez is konvex lesz. Több eset nem létezik.
Na akkor ezt az erintkezest tisztazzuk... mert a wiki oldal szerint van lyukas polinomio, ugy is hogy a lyuk egy ilyen erintkezesbol van (7-es lyukas letezesebol gondolom), mindossze az alakzat osszefuggeset nem ez az erintkezes adja. Szoval az mint sikidom megfelelne, ha a 3x3-asbol a kozepet es az egyik sarkot kidobom?
(Ha nem, akkor eleg valoszinu hogy nem lehet ileyn polinomio, egyszeruen abbol a szemleletbol, hogy keressuk az elso pontot a tengely valamely szamozasa menten, amelyiknel az alakzat mar nem szimmetrikusan folytatodik. Ekkor ellentetes iranyra kell valtania - mivel _van_ csucspont, csak nem ugyanaz, akkor az a 90 es a 270 lehet csak -, de akkor a tuloldalon nem szelso hanem belso pont lesz, ami itt a kov. sarok lesz... nem tudom mennyire ertheto, meg ezzel me'g nem igazoltam csak gyanitom, hogy korbezaras nelkul nem johet ossze.)
A kevesebb az egy szab. haromszog + a sulypontjatol kulonbozo P pont az egyik oldalfelezon ugy osszekotve, hogy az egyik oldal az a felezo egy szakasza legyen?
Sztem a G betudnel az utolso ketto kulso pontja egy egyenesre esik, nem lesz a polinomio csucsa, cserebe a belso oldalon az utolso konkav csucs meg az elejen lesz egy oldalkozepi pont.
Sztem ott vagytok egymassal felreertesben, hogy a polinomio csucsai nem az o"t alkoto negyzetek csucsainak osszessege, hanem maganak a burkologorbenek. Igy a peldad ugyan nem szimmetrikus, de a - relevans - csucsok sem azok, hiszen a beugro resz konkav csucsainak tukorkepe (mind1, melyik iranyban nezed) nem lesz csucspontja a teljes polinomionak.
Vagy persze az is lehet, hogy en ertettem felre valamit, nekem ez jott le.