Mivel senki sem vállalkozott tiszta geometriai úton megoldani a szabályos háromszögrácsban elhelyezendő négyzet problémáját, előadom az "iskolai" változat egy módosítását.
Indirekt bizonyítás:
Tegyük fel, hogy egy szabályos háromszögrács csúcspontjaiból lehet négyzetet alkotó pontnégyeseket kiválasztani. Válasszunk ki ezek közül egy minimális élhosszúságút. (Ilyen kell, hogy legyen, hiszen a rácspontoknak is van minimális távolsága.)
Állítsunk a négyzet minden oldalára egy szabályos háromszöget úgy, hogy a harmadik csúcsa a négyzet belsejébe essen. Ezen csúcsok rácsháromszögpontok, ráadásul négyzetet alkotnak, mivel szimmetria okok miatt a szemköztieket összekötő szakaszok egyenlőek, merőlegesek egymásra és felezik egymást.
Ezzel ellentmondást kaptunk, mivel az eredeti feltevésünkkel szemben találtunk a minimálisnál kisebb élhosszúságú rácsnégyzetet. Tehát eredeti feltevésünk hamis, azaz nem lehet négyzetet alkotni szabályos rácshárömszög csúcspontjaiból!
Remélem másoknak is tetszik, mert nekem nagyon!
(Hasonló technikával a feladat inverzét is meg lehet oldani, a négyzetrácson szabályos háromszöget.)
A "hány olyan szám van..." kezdetű kérdésre visszatérve. Nem a halmazelméleti ellentmondásokra akartam kitérni (bár az is érdekes)
Én is úgy gondolom, hogy végtelen sok ilyen szám van, de szerintem a meglepő az, hogy fmr-nek van igaza, és a legkisebb végtelnnyi ilyen szám van. Akármilyen ABC-t, jelrendszert, nyelvet használunk. A valós számok pedig ennél többen vannak, vagyis még arra sincs esélye az emberiségnek, hogy a valós számok közül bármelyiket jellemezni tudja, csak egy ici-pici töredékükről tudunk beszélni, írni... Szerintem ez döbbenetes.
És mégis a számoknál mennyivel bonyolultabb dolgokkal is foglalkozunk.
Ez nem ellentmondás, hanem mondjuk úgy, hogy matematikailag bizonyítható, hogy mennyire picik az ember eszközei.
GPF
Nem olvastam a Relativitáselmélet topicot és nem is írtam bele, de ezek szerint volt ott valaki, aki (Einsteinhez hasonlóan) értette a kétirányú végtelenség paradoxonjait!
Lehet, hogy én nem értelek téged, de ez fordítva is igaz.
Hacseknak igaza van abban, hogy nem idevaló kérdesekről is vitatkozunk itt. Viszont ezek a problémák elég izgalmasak ahhoz, hogy foglalkozzunk velük. Megnyitottam a Metamatematika topicot, kérem folytassuk le ott ezeket az eszmecseréket!
Tisztelt opponenseim!
Ez a vita, amit itt velem folytattok, egyáltalán nem "Szórakoztató matematikai feladványok" kategória, és valóban elbeszélünk egymás mellett.
Nem érveléssel cáfoljátok az állításaimat, hanem "nem úgy tanultuk" féle állításokkal.
Mindazokkal, akik nem fogadják el az:
"A valós számok halmaza folytonos." axiómát, vagy nem tekintik axiómának, de nem tudnak az enyémnél meggyőzőbb cáfolatot adni, azokkal tényleg nincs közös platform.
De szeretném, ha valaki megadná a racionális és irracionális számoknak a valós számok halmazán való elrendeződése - enyémtől eltérő - elvét.
Lehet, hogy túlságosan nagyképű lesz az állításom, de ti még nálam is sokkal kevésbé tudjátok kezelni a végtelennel (különösen a minden határon túl kicsivel) kapcsolatos fogalmakat.
Ábrázoljuk a két bögrét a [tej, kávé] koordinátarendszerben.
I. : [2,0]
II.: [0,2]
A kiskanalas transzformáció eredménye ('a' térfogatú):
I. : [2-a,0]
II.: [a,2]
A kávéskanalas transzformáció eredménye ('b' térfogatú):
I. : [2-a+ba/(a+2),2b/(a+2)]
II.: [a-ba/(a+2),2-2b/(a+2)]
Vizsgálandó. hogy
2-a+ba/(a+2) R 2-2b/(a+2) milyen irányú?
Átalakítva a relációt:
b R a -t kapunk, tehát a reláció irányát az határozza meg, hogy melyik kanál a nagyobb.
Hú de rohadt sok pötty :-). Ebey megoldása és az enyém természetesen ugyanarról szól. Egyébként megadható akkora z szám is, amitől még a NASA számítógépe is kifárad; pedig az még mindig egy kicsi szám. Hol van az még a végtelentől?
Ezzel a topiccal meg elég nehéz immár lépést tartani...
Természetes számon itt ugye pozitív egészet értesz?
Mert ha igen, akkor háromszög-alakzatban kezdj el pöttyöket tenni: az első sorban egy pötty, a másodikban kettő, s így tovább. Rajzolj összesen z darab pöttyöt; ekkor az utolsó (esetleg nem teljes) sorban a pöttyök száma éppen y.
Legyen x+y-1=a
Mivel x természetes szám, tehát nagyobb, vagy egyenlő 1-el, ezért a >= y
A képletet átírva: a(a-1)/2 +y=z. Tehát, a(a-1)/2 < z. Mivel a >= y ezért a(a-1)/2 +a >=z. Azaz, nézzük meg, melyik az az a természetes szám, amire a(a-1)/2 < z <= a(a+1)/2. Ez egyszerű és egyértelmű is.
y=z-a(a-1)/2
x+y-1=a miatt x=a+1-y = y +1-z+(a(a-1)/2
N.Z.l.f.!
De igen! :-)
Ha ugyanannyi kanállal teszel át kávét, mint tejet, akkor a kevergetés
végén is 2 - 2 dl löttyöd van. Tehát amennyit az egyikből áttettél a másikba,
ugyanannyit tettél a másikból az egyikbe. Tehát egyenlő a tejben levő kávé
mennyisége a kávéban lévő tejével.
Azt hiszem, hogy az unalomig gyakran használt kifejezéseink nem mindenki számára bírnak azonos jelentéssel. Most pl. a tetszőlegesen kicsi intervallumot tényleg (a nyelvi forma alapján) lehetne olyan valaminek tételezni, ami bármely véges értéknél kisebb. Pontatlan a kifejezés, megfelelőbb lenne bármely (véges) intervallumról beszélni, amire igaz, vagy nem igaz valami. Az már másodlagos, hogy a nagydarab intervallumokra triviálisak szoktak lenni az állítások, a bizonyítandó esetekben a kicsi, (teszőlegesen megválasztott, kicsi de véges) intervallumoknál kell ügyeskedni.
Ennek a téveszmének történelmi gyökerei is vannak, a határértékszámítás gatyába rázása előtt közkeletű volt az "infinitezimálisok" kifejezés, amivel a "végtelen kicsiny" mennyiségeket akarták jelölni.
van két bögre. Az egyikben van két deci tej, a másikban két deci kávé. A kávéból egy kiskanálnyit átteszünk a tejbe, majd összekeverjük, aztán a keverékből visszateszünk egy kávéskanálnyit a kávéba. Na most; mi lesz, illetve mi marad több: a tejes kávéban a kávé, vagy a kávés tejben a tej?
Szerintem nem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik.
Folytonos függvény, amely semmilyen intervallumon sem monoton: amikor feltettem a kérdést, nem emlékeztem példára. Azóta találtam egyet, amely egy függvénysor összege. Nem biztos, hogy csak ilyen van; egyébként a folytonos függvények "többsége", gondolom, ilyen "szeizmogram".
Te is keresel egy függvényt: nem lenne sportszerű, ha elárulnám, mert nekem is tanították. Ez a topic meg arról szólna, hogy gondolkodni kell.
Az nem baj, hogy Te új definíciókat alkotsz és azok segítségével állításokat fogalmazol meg. A baj nem is az, hogy a saját definícióidat már matematikusok által használt elnevezésekkel jelölöd. (Ez végül is csak megnehezíti a megértést.) A baj ott van, hogy a saját definícióidat és a "klasszikus definíciókat össze is vegyíted a közös elnevezés miatt.
Ezért van, hogy sokszor elbeszélünk egymás mellett.
GPF!
Szerintem alef-null (bocs, nincs ilyen karakterem:-)
Szóval véges jelkészletből álló véges hosszúságú "karaktersorozatok",
... ezek alighanem megfeleltethetőek a term. számoknak.
Nem?
