Én meg úgy ismertem, hogy a bolha első ugrásakor az ismert kiinduló rácspontból egy tetszőleges másik rácspontba ugrik de ezután mindig ugyanebbe az irányba ugyanennyit ugrik.
Persze, nézhetjük úgy is a feladatot, hogy fogalmunk sincs a kiinduló helyzetről sem...
Ez egy alapfeladvány. Örülök, hogy beraktad. Én úgy ismertem (úgy még szebb), hogy egy végtelen négyzetrács-pókhálóba pottyen bele egy légy. A rácspontok adják meg a lehetséges pozíciókat. A légy elkezd egy irányba haladni (É-K-D-Ny), nem tudjuk, melyikbe. De 'fordulónként' mindig egyet lép, abba az irányba, amit az első lépésben választott.
Namármost. Mi vagyunk a pók...
Mindegyik lépésben rábökhetünk valamelyik rácspontra, ha ott van a légy, jó, ha nem, tovább kell próbálkoznunk.
(még ennél is jobb, ha űrhajóról és űrszektorokról van szó, az már három dimenziós)
Egy bolha áll a számegyenes valamelyik egész pontján. Nem tudjuk melyiken. Egy adott időpillanatban elkezd pozitív irányba egyesével ugrálni. Másodpercenként ugrik egyet. Mi másodpercenként (mikor a bolha leérkezett) rábökhetünk a számegyenesre.
Hogyan lehet lebökni a bolhát?
Lássuk a Gömböst. Számoljatok utána, mert sok helyen lehet elszámolni.
Abból indulok ki, hogy az R sugarú gömb térfogata R^3*Pi*4/3. Ha erre netán rosszul emlékszem, akkor az alábbi levezetés tárgytalan.
Legyen a kiinduló gömb sugara 1; legyen a kivágott henger fele magassága h, ahol 0 < h < 1.
Akkor a kivágott henger sugara: négyzetgyök(1 - h^2).
A kivágott henger térfogata: 2*Pi*(1 - h^2)*h.
A gömb maradékának térfogata: Pi*4/3 - 2*Pi*(1 - h^2)*h.
A maradékból készíthető gömb sugarának köbe: r^3 = 1 - (3/2)*(1 - h^2)*h
Annak, hogy az új gömbből is ki lehessen vágni 2*h magasságú hengert, az a feltétele, hogy 2*r > 2*h teljesüljön. Ez egyenértékű azzal, hogy r^3 > h^3. Innen adódik az alábbi egyenlőtlenség:
1 - (3/2)*(1 - h^2)*h > h^3.
Rendezve:
2*h^3 - 3*h + 2 > 0.
A bal oldalon álló polinom a (0, 1) intervallumon mindenütt pozitív (függvényvizsgálattal nekem az jött ki, hogy 1/négyzetgyök(2) a minimumhelye, és ott is pozitív). Ezért a maradékból készített gömbből is mindig ki lehet vágni ugyanakkora magasságú hengert. (Nyilván a műveletet ismételten elvégezve az egymást követő hengerek sugara 0-hoz tart.)
Itt jóval nehezebb, vagy legalábbis matematikaigényesebb feladatok vannak mint a Logikai feladványoknál. Nem tartom valószínűnek, hogy komolyabb számolás nélkül meg lehetne oldani pl. ezt a feladatot. Viszont, ha kedved van hozzá, próbáld csak logikai, nagyságrendi úton megközelíteni a problémákat, érdekes lehet majd összehasonlítani a precíz megoldásokkal. (A megfejtést azt még nem szeretném közölni, hátha valaki dolgozik rajta...)
Egy fémgömbbe henger alakú lyukat fúrunk úgy, hogy a henger tengelye a gömb egyik átmérője legyen. A kapott lyukas testet beolvasztjuk és gömböt készítünk belőle.
Tudunk-e ebbe a gömbbe ugyanakkora magasságú hengert fúrni, mint az eredetibe?
Nem lehetne nagyobb input ablakot adni a hozzászólásokhoz, mind szélességben, mind magasságban?! Képtelenség áttekinteni és javítani egy kicsit is hosszabb szöveget ebben kis kalitkában!
Soroljuk virtuálisan két csoportba a teheneket, az egyik csoport az utánnövő füvet legeli le, a másik a már korábban kinőttet. Az utánnövő füvet legelő csoport nagysága egyenesen arányos a rét nagyságával és az időtől független, a másik csoport nagysága egyenesen arányos a rét nagyságával és fordítottan arányos idővel. Jelölje x, x1 és x2 az utánnövő füvet legelők létszámát, y, y1 és y2 az eredetileg meglevő füvet legelőkét.
Ekkor x1=x (az első két esetben a rét mérete azonos)
y1=2y (a második esetben az idő feleakkora)
Tudjuk, hogy x+y=80 és x1+y1=120, ebből x=40, y=40
x2=4x =160 (a harmadik esetben a rét négyszerese az elsőnek)
y2=4*14/4*y = 560 (a harmadik esetben a rét négyszerese az elsőnek, az idő 14/4-e)
Tehát x2+y2=16+560=720 tehén kell a harmadik esetben!
A feladat állítólag Newtontól származik, csak más számokkal.
1. Feltételeztem, hogy a fű - mivel tudvalévőleg gyökérből nő - állandó v sebességgel fog nőni, akkármilyne hosszúságúra legelik is le a tehenek.
2. Feltételeztem továbba, hogy a tehenek egyenletesen, az egész mezőn egyszerre mindenhol legelik le a füvet, 80 tehén esetében (bázis) w sebességgel.
3. Feltételeztem azt is, hogy ha a tehenek sűrűségét a mezőn változtatjuk, akkor a legelési sebesség ezzel arányosan fog változni.
4. Az első egyenlet, ami 80 tehénre vonatkozik:
v - w = m/t,
ahol m a fű eretedi magassága és a "lelegelés" állapotának magassaága közti különbség, t meg természetesen az idő.
5. 120 tehén esetében:
v - (120/80)*w = m/(t/2)
6. Ebből a két egyenletből kaptam azt meg, hogy w = 2v
7. Az utolsó esetben először 100-as mezőnagysággal számoltam. Feltételeztem, hogy négyszerakkora mező lelegeléséhez majd négyszer annyi tehén is kell.
8. Tehát: v - (x/80)*w = m/(4/14)t. X értelemszerűen a tehenek számát jelenti.
Ebbe behelyettesíthetjük az előbb megkapott összefüggést, akkor ezt kapjuk:
v*(1 - 2x/80)*14/4 = m/t.
Ebből, és mondjuk az első egyenletből megkaphatjuk x értékét. Ami 180.
9, Ezt megszoroztam 4-el, az eredmény 720.
Ebben az esetben, ha azt feltételezzük, hogy a tehenek a teljes legelőt egyszerre, egyenletesen legelik le, és a fű szintén mindenhol egyenletesen nő, akkor 720 tehén kell az én számításaim szerint.
Egy 100 öles legelőt 80 tehén 14 hét alatt legel le. Ha 120 tehén szabadul rá, akkor 7 hétig elég nekik a fű.
Hány tehán legelne le egy 400 öles legelőt 4 hét alatt, ha minden feltételt változatlannak tekintünk?
(Most már senki se mossa le rólam, hogy nem tudok angolul! Pedig direkt azért könyvből írtam be a feladatot, hogy szép egész legyen a megoldás. :(((()
ha már szerepelt bocs, nem olvastam végig az egész topicot.
Van egy f[x]. Azt tudjuk róla, hogy integrál(f[x])>0.
Lehet-e ennek a függvénynek negatív közelítő összege?
Nem tudom, nekem az jött ki a bemelegítő részhez, hogy a fű visszafelé nő, és a 18 tehén a fő csökkenési sebességének 3/14-ével legel, ennek megfelelően a 120 tehén 20/14-es sebességgel. Valamit elszámohattam... :))
Egy 100 öles legelőt 18 tehén 14 hét alatt legel le. Ha 120 tehén szabadul rá, akkor 7 hétig elég nekik a fű.
Hány tehán legelne le egy 400 öles legelőt 4 hét alatt, ha minden feltételt változatlannak tekintünk?
Az, hogy a szabályos rácsháromszög tetszőleges pontja körüli 60 fokos elforgatás rácspontot rácsopontba visz, s a négyzet oldalára (befelé) emelt szabályos háromszög új csúcsa a négyzetoldal egyik csúcsának 60 fokos elforgatása a másik csúcs körül.
