"a legnagyobb pozitív szám, ha lehet így fogalmazni. (Mikor a nagy végteleneket kitalálgatták, akkor találták ki ezt így...)"
Nem lehet így "fogalmazni", legnagyobb szám nem létezik, se pozitív, se racionális, se valós, . . .
Azok a tízéves gyerekek szoktak ilyesmiket "kitalálgatni", akikbe nem sok matematikai tehetség szorult. De ha valaki rávezeti őket, akkor még ők is ráeszmélnek, mekkora sületlenség.
>milyen halmaznak elemei az infinitezimálisok? Speciális természetes számok lennének? Vagy racionálisak? Esetleg valósok? Vagy valahogy konstruálhatók az említett halmazokból a komplex számokhoz hasonlóan?
#Az első meg lett válaszolva. Aztán a többi: Részei közvetlen nem nevezhetők természetesnek, racionálisnak, irracionálisnak, de ezeket a részhalmazokat és viszonyaikat, elrendeződésüket a megadott bijektív leképezés R-ről R'-re nem rontja el, ugyanaz marad. Így két R-beli elem hányadosa azonos a megfelelő R'-beli két elem hányadosával, és az eredmény R-beli. Ez lényeges tulajdonság. A komplex szám, vagy bármilyen egyéb számszerkezet, többdimenziós szerkezet ugyanúgy építhető fel belőlük, mint a véges R-beli számokból. Ez nyilvánvaló, és elég volt csak az R --> R' leképezést megtenni.
Ezért írtam azt az ω -át, és nem a ∞ -t. Az a különbség, hogy az utóbbi egy külön plusz elem az eredeti R -hez, de az ω még nem, az benne van az eredeti R halmazban is, és a legnagyobb pozitív szám, ha lehet így fogalmazni. (Mikor a nagy végteleneket kitalálgatták, akkor találták ki ezt így...)
A valós halmaz minden eleméhez rendeljünk egy infinitezimálisan kicsiny elemet a következő módon:
R --> limt-->ω R/t = R/ω
R egy valós elem, ω egy minden felső határon túli nagy R elem.
Így R/ω egy végtelenül kicsiny mennyiség, egy infinitezimális.
ω kitalálásával kitalálódott az R/ω is egyúttal.
Ez nem egy ördögtől való. (vagy lehet mégis?) A végtelen nagy számosságok sokkal bonyolultabbak szerintem. Amit fent kitaláltak, hasonlót lehet lent is kreálni. De itt még csak az elsőrendűen kicsinységről van szó. Sok esetben kihasználják azt, hogy egy elsőrendűen kicsiny mennyiség négyzete vagy nagyobb hatványa, vagy két elsőrendűen kicsiny mennyiség szorzata nullának veendő, mert az másodrendűen, vagy magasabban kicsiny, és az már nem játszik (ez esetben).
Hogy megfelelő méretre igazítsuk a mellényedet, kapsz néhány rávezető kérdést: milyen halmaznak elemei az infinitezimálisok? Speciális természetes számok lennének? Vagy racionálisak? Esetleg valósok? Vagy valahogy konstruálhatók az említett halmazokból a komplex számokhoz hasonlóan?
>Infinizézimálisan kicsi mennyiségek nem léteznek.
dxj
>azokban a könyvekben dxj nem valami infinitézimálisan kicsi
#De pontosan, hogy az.
Ez egy nagyon hibás kijelentésed. Súlyos, hogy nem vagy tisztában azzal, hogy mit jelent a differenciál.
Egyébként a df/dt kifejezés (derivált) egy differenciál kifejezés. Értéke azért van a véges skálán, mert két elsőrendűen végtelenül kicsiny mennyiség hányadosa.
A határban a ∆ szimbólumos mennyiségek infinitezimálisan kicsinyekké válnak. Akár szimpatikus neked, akár nem. Ha nem mennének el a végtelenül kicsiig, akkor kicsi, DE véges nagy hiba ill. határozatlanság lenne, és úgy matematikailag nem lenne jó ill. elég értelmes.
Ezzel csak azt akartam mutatni, hogy a derivált sem kibúvó a végtelenül kicsi matematikai dolog alól. És igen, van értelme, lehet vele matematizálni. És legfőképpen nem elavult dolgok.
Lusta vagyok cikkeket előkeresni, de anélkül is nagy összegbe fogadok, hogy Landaunak nem voltak nagyon gátlásai az infinitezimálisok kapcsán. De mutatok durvábbat. Emitt egy preprint: https://arxiv.org/pdf/2212.08270.pdf Ebben a 2.4-es fejezetben simán beszél a szerő valamilyen töltés által generált infinitezimális transzformációról - és aki cikket írta, az Ed Witten Fields-medállal kitüntetett fizikus-matematikus. Witten kapcsán nincs különösebb kétségem, hogy ezt az infinitezimális trafót, amit használ, át tudná fogalmazni a formális matematika szempontjából korrekt módon, de Landau esetében nem vagyok ebben annyira biztos, És nem azért, mert Landau butább lett volna, csak ő azt a hozzáállást követte, amit egyébként a kor szinte összes elméleti fizikusa is, nevezetesen az "infinitezimális" szó valójában "finitezimális, csak elég kicsi"-t jelentett. Vagyis - mivel nem matematikusokról, hanem fizikusokról volt szó - nem nagyon zavarta őket, hogy valaminek akár lehet is nem zérus hatása a végeredményre, ha az a gyakorlat szempontjából elhanyagolható volt. Sokszor magukról a kiinduló modellekről tudni lehetett, hogy a valóságot teszem azt, 10%-os hibával írják le, ilyenkor senkit sem zavart, ha egy véges, csak kicsi dx behoz még egy ezreléknyi hibát. Emellett az elmélethez tartozó diff.egyenleteknek elég sokat lehetett tudni a megoldásairól - amik sokszor analitikusan is rendelkezésre álltak -, így a fizikusok hamar észrevették volna, ha az infinitezimálisokkal lemennek a térképről. Amikor Penrose, Hawking meg a többi rel.elmélész elkezdte vizsgálgatni a szingularitás-tételeket, akkor nagyon híján voltak az egzakt (vagy legalább egzakt közeli) globális megoldásoknak: Schwarzschild, Kerr, FRW, de Sitter - ezek mind túlságosan szimmetrikus és így nagyon speciális konstrukciók voltak, az általános megoldások óceánjában csak magányos szigetekként léteztek. Pont emiatt kellett az ált,rel.-t nagyon precíz diffgeometriai alapokra helyezni, mert a szingularitások kapcsán perturbatív érvelésekben nem lehetett megbízni (Landau-Lifsicből az utóbbi egyébként pont csinált ilyesmit). Egy szó mint száz, szerintem mai napig van létjogosultsága az infinitezimálisok használatának. Ez egy olyan absztrakció, amely fizikai problémáknál - értő kezekben persze - nagyon ritkán visz tévútra, és ahogy már írtam, nagyban megkönnyíti a mögöttes gondolat megértését. Ha meg nagyon muszáj, utólag meg lehet nézni, hogy az infinitezimálisokat használó gondolatmenet miként vihető végig matematikailag korrekten. Ez pl. működött az ált.rel.-nél, meg a klasszikus kvantummechanikánál, de pl. mai napig nincs meg száz százalékig (AFAIK) a kvantumtérelmélet esetén.
>Az infinitézimálisok viszont a rendes matematikában nem léteznek.
#Hmm... Ezt nem tudtam, hogy ennyire feketebárány. Érdekes.
Landau II Klasszikus erőterek könyvben is itt-ott szerepelnek. Pl. a konnexiónál. Koordináta-, kovariáns-, és konnexiós-differenciállal kezdi a Christoffel-szimbólumos témát. dxi, Dxi, δxi. És jó az egész.
A koordináták persze, hogy nem avultak el, azok már eleve szerepelnek a differenciálható sokaság definíciójában. Csak éppen ami nem függ a konkrét koordinátázástól, azt nem szép koordinátákkal megfogalmazni. Bűnnek persze nem bűn. Az infinitézimálisok viszont a rendes matematikában nem léteznek.
A koordináták még nem avultak el. És az infinitezimálisok sem. Csak megemlítem, hogy az infinitezimálok másik végére a végtelen nagyokra meg sokakra Cantor, meg még nem tudom kik, szép kis matematikát bővítettek. Kardinálisok meg alefek, és egyebek...
Illetve, egyáltalán használta-e az infinitézimálisokat a maguk nyers valójában vagy csak nyelvi rövidítésként használta őket rendes matematikai fogalmakra?
Jó, persze, a matematikusok mindenben mindenhol sokkal precízkedősebbek, de azért nem rosszak azok az infinitezimálisos képletvezetgetések. Sok éven keresztül sokat foglalkoztam és gondolkoztam velük, és tök jónak bizonyultak. Tudom, hogy pl. a variációszámítás is körülményesebben néz ki matematikusi formában, de fizikusi konyhamatek nyelven is helyes, csak a matematikusok frászt kapnak az ilyen lazaságtól. :) Szerintem amúgy gyakori, hogy túlmatematizálnak dolgokat a matematikusok. A matematikai fizikában az a jó, hogy lefaragják a sok felesleget a matematikusi formáról. És ez szerintem tök jó.
Landau vajon a tudományos publikációiban is használta az infinitézimálisokat, vagy csak a tankönyvében alkalmazta őket "könnyítésként"? Tudsz erről valamit? Szerinted ma szalonképes lenne egy tudományos publikáció, ami infinitézimálisokat használ (nem a nemstandard analízisbeli értelmükben)? Landau idejében szalonképes volt?
Minden tiszteletemmel együtt azért a Landau-Lifsic azért nem egy matekkönyv. Helyette egy szerintem elég jó fizika tankönyv, ami segít rávezetni arra, hogy elméleti fizikai megfontolásokból miként lehet eljutni pl. a klasszikus mechanika Lagrange-függvényéig. Egy matematikusabb könyvben ezt egyszerűen axiómaként hozzádvágják. Az infitezimálisok meg abban segítenek, hogy a fizikai lényegre tudj koncentrálni anélkül, hogy teljesen belegabalyodnál az epszilon-delta játékba. De a matematikai korrektséggel végigvitt levezetésekben sok helyük nincsen infinitezimálisoknak (kivéve - ahogy lentebb már írta valaki - a nemsztenderd analízisben. De az epszlon-deltázás nehézsége ott áttevődik máshova, nem könnyíti meg a dolgokat egyáltalán). Ha matematikai igényű levezetések kellenek, akkor ált.rel.hez a Landau-Lifsic helyett a Hawking-Ellis párostól a "Large-scale strtucture of spacetime" könyv szerintem elég használható. Abban nem sok infinitezimális trükközés van, mégis eljut a szingularitás-tételek bizonyításáig.
Az infinitezimálisaim is megvannak, csak most nem kerültek elő.
Nézd meg pl. a Landau I Mechanika könyvet! (pl. Hamilton formalizmus és utáni részek, pl. kanonikus transzformáció, ... ) Rengeteg helyen használja, kalkulálgat vele. De más könyvek is. Nincs azokkal baj, nem kell utálni őket, meg a koordinátázást sem. Hasznos mindkettő.
Örülök, hogy sikerült megszabadulnod az infinitezimálisaidtól. Ez így már egy fokkal jobb. Ha neked ennyire tetszik az, hogy indexeket írogatsz és transzformációs szabályokat memorizálsz, és nem érdekel, hogy mi az, aminek az indexét írogatod, és miből adódnak azok a transzformációs szabályok, akkor írogass nyugodtan, és memorizálj, ezen nem fogunk összeveszni.
Te nem szereted, ha be van koordinátázva a sokaság. (Matolcsy szindrómád van) Leírtad a koordinátázás mentes (vagyis azt elkerülő) módot. Először a differenciálforma alapján, aztán másod ízben annak gyökere képp egy t-vel paraméterezett c segédgörbe segítségével.
>Szépen látszik itt is, hogy mennyire a görbékre épül az egész.
#Igen. Na de könyörgöm, nálam is voltak ilyen görbék! És én is az azokon lévő paraméterekkel állítottam elő a skalármező (f függvény) gradiens vektormezőjét! UGYANAZT CSINÁLTAM, MIT TE! Nálam az egyes pontokban i darab görbe halad keresztül, tudniillik a görbe koordinátavonalak a koordináta paramétereikkel (xi), és ugyanazt írtam fel vele, mint te, csak más a mértékem:
∂f/∂xi ugyanazt teszi, mint df(c(t))/dt|p
De az enyém sokkal szebb! (legalább is szerintem) És kompaktabb. Egyszerre használom a dimenziószámnak megfelelő i darab görbevonalat, amik átmennek az egyes pontokon. (ezért paciális nálam a deriválás). Te külön nevezed el a segédgörbét c és paramétert t, én nálam ez egy jelölés alatt van x és egy felső i indexel azonosítom, hogy melyik (ugye ezek a görbék a görbe koordinátavonalak). Szerintem az "én" módszerem sokkal szebb. :)
Ai alsóindexes vektor az érintőtér (felsőindexes vektorok) duálisának eleme.
Igen, ez értelmes. A ∂f/∂xi a df 1-forma j-edik komponense a dx1,...dxn bázisban.
A df 1-forma pedig definíció szerint az X vektormezőhöz az X(f) függvényt rendeli, vagyis df(X):=X(f). Az X vektormező a sokaság minden p pontjához egy Xp vektort (derivációt) rendel, ami sokaság p pontjában az f függvényhez azt az Xp(f) számot rendeli ami az Xp vektort definiáló görbe menti deriváltja f-nek p-ben. Vagyis, ha ez a görbe t->c(t), akkor Xp(f) = dfp(X) = d(c(t))/dt. Szépen látszik itt is, hogy mennyire a görbékre épül az egész.
Erre megint azt mondanám, hogy ez egy steril geometria.
Egy lakatlan matematikai sokaság. Nincsenek benne atomok, méterrudak. Mosógépek sem.
Ha azonban a valódi univerzum geometriáját akarjuk tudni, vesszük a méterrudunkat. Ami ugyanúgy meghajlik, mint a tér, amelyben benne foglaltatik. Még egy nyilat is tehetek az egyik végére, és akkor van egy vektorom. Amely a térrel együtt görbül.
Jó játék a matematika, deazért illik négy lábbal a valóság talaján állni.
Az nem az én alkotott fogalmam, hanem több könyvemben is benne van. És képzeld, dolgoznak az elméletek matematikai megfogalmazásánál infinitezimális kicsiny mennyiségekkel, differenciálokkal, nem csak azok hányadosaival, véges nagy mennyiségekkel operálnak. A Landau I Mechanika könyv pl. tele van vele. Én tudom miről beszélek. A Lagrange- és Hamilton-formalizmus érdemlegesen használja az elmélet tárgyalásánál, levezetésénél. Szóval ne mondja nekem senki, hogy az értelmetlen, meg ilyenek.
