Érdekes, és tanulságos, amit írsz. Ugyanakkor megvan ennek a dolognak a másik oldala is. Például már korán megtanuljuk az euklideszi geometriának egy csomó tételét, aztán később derül ki, hogy melyik tétel milyen struktúrát feltételez valójában. Van ami csak euklideszi térben igaz, van ami tetszőleges Banach-térben, van, ami tetszőleges vektortérben, van ami tetszőleges affin térben, van, ami tetszőleges differenciálható sokaságon, és van, ami tetszőleges topologikus térben. Akkor látszik teljesen világosan, hogy melyik tétel milyen struktúrát követel meg, ha a bizonyítás nem használ többet a tétel igazságához megkövetelt minimális struktúra elemeinél. Értem én, hogy technikai okokból néha érdemes átnyúlni egy bonyolultabb struktúrába, és ez lehet nagyon elegáns, és frappáns megoldás, de azért megvan a sajátos szépségük azoknak a bizonyításoknak, amik ezt nem teszik.
És nem utolsósorban a sajátgyorsulás pont az a gyorsulás, amit érezni fogsz az űrhajóban. Így azt is megtudod belőle, hogy túl fogod-e élni az utat ilyen sajátgyorsulás mellett, vagy palacsintaként térsz haza.
Például, ha tudod, hogy milyen gyorsulásra képes az űrhajód, akkor kiszámolhatod vele, hogy hány éves leszel, amikor egy tőlünk 10000 fényévre lévő exobolygóra érsz. Vagy kiszámolhatod, hogy ezzel az űrhajóval mekkora kirándulást kell tenned, ha azt akarod, hogy egyidős legyél az unokáddal. Csupa praktikus dolog. Ráadásul épp ennek a topiknak a témájába vágnak.
Azaz az affinitás, mint szimmetria által invariánsan hagyott mennyiségekre vonatkozott a bizonyítás.
Persze, ez világos. Csakhogy a bizonyítás használt egy speciális affinitást, ami az SR-ben azzal analóg, hogy választunk egy speciális bázist. Akkor látod könnyen a feladatbeli állítást, ha az XYZ háromszög szabályos. Ez egy ad hoc feltevés - ami elérhető alkalmas affinitással - de segít látni a következményt. Hát így van ez a SR-ben is. Egy adott szituációt egyes speciális bázisokban könnyebb elmondani, leírni, megérteni, mint másokban. A megfelelő koordinátarendszer választása fontos és hasznos dolog, segít megérteni azt is, ami amúgy bázisfüggetlen. Az egyidejűség hasznos fogalom a SR-ben, annak ellenére, hogy nem invariáns a szimmetriákra (a te szavad járásával "nem valóságos"). Az affin geometriás példám tökéletes, sajnálom, hogy ez nem világos számodra.
Ha én vizsgáznék affin geometriából, és szabályos háromszögekre hivatkoznék, engem kirúgnának.
Ha az 1980-beli affin geometriai tételt úgy bizonyítanád be, ahogy az 1980-ban megtettem, akkor megdícsérnének érte, mert az egy gyönyörű bizonyítás. Annak ellenére, hogy a szabályos háromszög fogalmát nem tudod definiálni az affin geometrián belül. A matematika szereti azt, amikor kilép egy modellből és átjár egy másikba. Nálunk sok világ van egyszerre.
Persze, mondhatunk olyat, hogy a koordinátatávolságok összemennek, meg ilyenek, de minek?!
Erről szólt az affin geometriás példám. Az affin geometria szimmetriái az affinitások, és mégis segíti a megértést, ha egy affinitással speciális szituációt hozunk létre (XYZ legyen szabályos háromszög). Amikor az SR-ben azt mondjuk, hogy a rúd összemegy egy megfigyelő szemszögéből, akkor nem úgy gondoljuk, hogy ez a rúdnak valamilyen tulajdonsága lenne, hanem egy bizonyítási eszközt ad (vagy adhat) a kezünkbe.
Nem, Gergő, szerintem nagyon rosszul ragadod meg a saját példád lényegét. Az affin geometriás példa éppenhogy arról szólt, hogy az affinitás invariánsan hagyja a területek arányát. Azaz az affinitás, mint szimmetria által invariánsan hagyott mennyiségekre vonatkozott a bizonyítás. "Sajátmennyiségekre", invariáns mennyiségekre vonatkozott a bizonyításod. Skalárokra. :) Éppenhogy invariáns, "bázisfüggetlen" dolgokra, geometriai tartolommal bíró dolgokra adtál egy szép bizonyítást.
Én sosem mondtam, hogy pl. a Minkowski-féle háromszög-egyenlőtlenség (közismertebb nevén, hogy a topik címéhez is korreláljunk: ikerparadoxon) ne lenne geometriai, skalárokra megfogalmazott, bázisfüggetlenül fennálló geometriai tétel!
Én nem azonosítom a koordinátákat a valósággal, de a Minkowski-téridőt sem azonosítom vele. Mindkettő hasznos megértési eszköz a valósághoz. A koordináták segítségével pl. konkrétan le lehet írni a Minkowski-téridő szimmetriáit: SO(3,1) reprezentációja speciális 4x4-es mátrixok csoportjaként.
Nem tudom. Én másképp nézek rá, talán nincs igazam. Persze, a Minkowski téridő is csak egy modellje a világnak, lesz még annak összetettebb (de szintén geometriai) modellje is. De a koordinátázás? Azt én sosem tartottam valóságosnak, és minden fizikai tanulmányom: az óvodás koromban telerajzolgatott euklideszi papírlap tulajdonságai, a newtoni fizika Galieli-invarianciája, a specrel invarianciái, az áltrel kovariáns szemlélete: mind-mind arról szólnak, hogy külön tudjam választani a koordinátázást a geometriától. Én erről egy csomót olvastam, a "fizika geometrizálásáról" és hasonlókról. És magamévá tettem.
Ez ízlés dolga. Én nagyon szeretem a tiszta geometriát, olvastam pl. Coxeter könyvét a projektív geometriáról (ez elborultabb az euklideszi geometriánál), stb. Másfelől a matematikában a halmazelmélet dominál, és sokkal könnyebb egy geometriát konkrétan halmazokkal megkonstruálni (pl. R4 egy konkrét metrikával), mint axiomatikusan megragadni.
A fizikusoknak viszont az erlangeni program jött be. Ízlés dolga. Könnyebb, azonnali, magától értetődő kapcsolatot létesít a fizikai világ szimmetriái, és a geometriai tárgyalásmód között.
És ennek a 3 dimenziós "egyidejű" és "térbeli" szeletei nem bírnak túl sok jelentőséggel.
Ez is ízlés dolga. Az affin geometriás példámban mondhatod, hogy az affin geometriában értelmetlen a "szabályos háromszög" fogalma. Valóban az, hiszen az affin geometriában nincsenek szögek és távolságok. Mégis, ha egy affinitással az XYZ-t szabályos háromszöggé változtatjuk (az euklideszi síkon), akkor ezzel a trükkel könnyen belátjuk az általános tételt (ami már affin invariáns). Tudsz egyszerűbb és szebb bizonyítást az előző példámban szereplő tételre? Olyan bizonyítást, ami csak affin invariáns fogalmakat használ? Nem biztos, hogy tudsz.
Látod? Te is azt mondod, te is párhuzamba állítod ezeket a fogalmakat, és te is kimondod róluk, hogy nem bírnak sem fizikai, sem matematikai tartalommal.
Ha én vizsgáznék affin geometriából, és szabályos háromszögekre hivatkoznék, engem kirúgnának. Tudom, mert 4 félévig sokféle geometriát tanultam -26 éve-, és rúgtak ki ilyenekért embereket.
De szerintem ugyanarról beszélünk, ha mélyen magunkba nézünk. Jó példákat hozol, ami azt mutatja, hogy megértetted amit mondok. :)
Persze, mondhatunk olyat, hogy a koordinátatávolságok összemennek, meg ilyenek, de minek?!
Erről szólt az affin geometriás példám. Az affin geometria szimmetriái az affinitások, és mégis segíti a megértést, ha egy affinitással speciális szituációt hozunk létre (XYZ legyen szabályos háromszög). Amikor az SR-ben azt mondjuk, hogy a rúd összemegy egy megfigyelő szemszögéből, akkor nem úgy gondoljuk, hogy ez a rúdnak valamilyen tulajdonsága lenne, hanem egy bizonyítási eszközt ad (vagy adhat) a kezünkbe.
Csak a koordinátákat ne azonosítsuk a valósággal.
Én nem azonosítom a koordinátákat a valósággal, de a Minkowski-téridőt sem azonosítom vele. Mindkettő hasznos megértési eszköz a valósághoz. A koordináták segítségével pl. konkrétan le lehet írni a Minkowski-téridő szimmetriáit: SO(3,1) reprezentációja speciális 4x4-es mátrixok csoportjaként.
Előbb tanulunk geometriát, aztán koordinátageometriát.
Ez ízlés dolga. Én nagyon szeretem a tiszta geometriát, olvastam pl. Coxeter könyvét a projektív geometriáról (ez elborultabb az euklideszi geometriánál), stb. Másfelől a matematikában a halmazelmélet dominál, és sokkal könnyebb egy geometriát konkrétan halmazokkal megkonstruálni (pl. R4 egy konkrét metrikával), mint axiomatikusan megragadni.
És ennek a 3 dimenziós "egyidejű" és "térbeli" szeletei nem bírnak túl sok jelentőséggel.
Ez is ízlés dolga. Az affin geometriás példámban mondhatod, hogy az affin geometriában értelmetlen a "szabályos háromszög" fogalma. Valóban az, hiszen az affin geometriában nincsenek szögek és távolságok. Mégis, ha egy affinitással az XYZ-t szabályos háromszöggé változtatjuk (az euklideszi síkon), akkor ezzel a trükkel könnyen belátjuk az általános tételt (ami már affin invariáns). Tudsz egyszerűbb és szebb bizonyítást az előző példámban szereplő tételre? Olyan bizonyítást, ami csak affin invariáns fogalmakat használ? Nem biztos, hogy tudsz.
És, mint ahogy megmutattam, a sajátsebességhez nem kell bázis, tehát amit erről mondasz, az téves.
Teljesen igazat adok neked, párhuzamos egyenesek távolsága osztva egy ferde szelő hosszával (ami ugyebár sajátidő): tökéletsen igazad van, teljesen bázismentes (azaz geometriai) fogalom. Mire használható? Hmmm-hmm. Mire szoktunk egy ugyanilyet euklidésznél használni?
Tudjuk, hogy inerciarendszerek között nincs különbség, nincs kitüntetett inerciarendszer, de úgy tűnik, hogy bizonyos inerciarendszerekben egyes számítások könnyebben elvégezhetők, mint másokban. Ez lehet, hogy természetes, de nem szoktuk csoportosítani ilyen szempontok szerint az inerciarendszereket, csak implicit módon, automatikusan a kényelmesebbet választjuk. De talán érdekes lehet, hogy van-e valami szabályszerűség az inerciarendszerek ilyetén való eltéréseiben.
Nem ezt kérdi a feladat. Ezt itt mi magyaráztuk bele.
Azt kérdi, hogy leesik vagy nem esik le a jég az asztalról. Válasz: nem. Kész, ennyi. Miért? Azért a mert az vonat rendszerében, az felfele mozgó asztal minden pontjának világvonala egymással párhuzamos marad, azaz egyidejű események sorozata fog megismétlődni, még akkor is ha az asztal egy fényév hosszú. Ezt állítja a specrel.
Amúgy örvendek, hogy ez a feladat felcsigázott és utánnanéztem ennek a 1+2-es trafónak.
Értem én, hogy a fizikusokat meg a geométereket a szimmetriákra invariáns tulajdonságok érdeklik végső soron,
Örülök, hogy érted. Tudom én, hogy nem vagyok annyira jó, hogy taníthassam, és mindenki ellen bármikor megvédjem. Támadhatóak is a kifejezéseim matematikus szemmel, de ez a fizikusok és a matematikusok eltérő világnézete és matematikához fűződő viszonya miatt van. (és amiatt, hogy én egyik se vagyok.) De akkor is tudom, hogy igazam van, és sajnos nem is tudom nagyon másképp megfogalmazni, mint hogy a téridő: mint szimmetriák által DEFINIÁLT sokaság, geometriai objektum, ahol igenis a geometriának van "fizikai tartalma". Totálisan önkényes bázisválasztásnak és koordinátáknak nincs. Az északi sarkhoz közel lakó sem ad sokat a hosszúsági körökre, mint koordinátákra. Nem alapvetőek, nincsenek a gömbre berajzolva, nincs a távolsághoz közvetlen közük, és nincs semmi, ami kijelölné a gömbön az északi sarkot. Ugyanolyan pontja a sokaságnak, mint bármi más. Persze, mondhatunk olyat, hogy a koordinátatávolságok összemennek, meg ilyenek, de minek?!
de teljesen korrekt egy jelenséget úgy magyarázni, hogy felveszünk egy bázist és abból írjuk le
Csak a koordinátákat ne azonosítsuk a valósággal. A sajátmennyiségeket azonosítsuk a valósággal! Matematikai segédeszköz a koordinátázás euklidésznél is, de nem geometriai tartalom. Ezt mindenki tudja. Előbb tanulunk geometriát, aztán koordinátageometriát. Matematikai segédeszköz a koordinátázás az áltrelben is, de nem fizikai tartalom. Ezt mindenki tudja.
Az én világnézetemben:
Hosszkontrakció:
Adott egy rúd. Van. A semmiben lebeg. Nézzük akárhonnan, akármilyen inerciarendszerből: ez egy rúd. A két végének világvonalai azok nem mások, mint két párhuzamos egyenes a téridőben. Akárhonnan is nézem. Ez geometriai tartalom. A párhuzamosság. Ezért bízunk a rudakban holnap is, meg tegnap is, és minden sebesség mellett.
Ha aztán jön valaki azzal, hogy a rúd két végének a világvonalainak a pontjait kezdjük el ferdén (nem Minkowski-merőlegesen) összekötögetni, és még meg is ideologizálják, hogy ez a megfigyelő világvonálára merőleges altér - totál önkényes. Bármely önkényesen ferde összekötögetésre tudok találni olyan "megfigyelőt", akinek a négyessebességére az önkényes összekötésem Minkowski-merőleges.
Aztán, nota bene, ezt, a ferde szelők által kijelölt szakasz sajáthosszát kinevezni a rúd "mozgó" hosszának, és ezt "transzformációs szabálynak" nevezni, hát, ezért euklidésznél ezért buktatnak.
Idődilatáció:
Adott két, széttartó (vagy összetartó) egyenes a geometriánkban. (A párhuzamosról előbb beszéltünk). Teljesen önkényesen elkezdjük összekötögetni a pontjaikat, mint "összetartozókat". "Egyidejűnek" nevezzük őket (isten tudja miből eredeztetve...) Aztán ezen totál önkényes összekötögetés alapján az egyeneseken kimetszett szakaszok hosszát (sajátidők) elkezdük összehasonlítani, és megállapítunk olyanokat, hogy idődilatáció, meg "az idő lassabban telik". Miért is? Mert a párhuzamos szelőket totál önkényesen éppen úgy húztam be? Aztán, ha ismét totál önkényesen másképp húzogatom a szelőket a széttartó (vagy összetartó) világvonalak közé, akkor minden fordítva lesz. Vagy ahogy akarom. Totál önkényes.
Aztán pontosan ennek az "egyidejűségnek" a folyománya, hogy több dimenzióban még térben el is tudnak fordulni a dolgok. Újabb értelmezési problémát adva a newtoni-galilei agynak.
Nálam a téridő van, mint 4 dimenziós sokaság. A áltrelben pláne. És ennek a 3 dimenziós "egyidejű" és "térbeli" szeletei nem bírnak túl sok jelentőséggel.
De nem igazán értem, hogy mi a pontos kérdés? És hogy mit kéne kiszámítani? Mert a jég nem fog leesni az asztalról, ha az a vonat rendszerében egyszerre emelkedik. És ehhez semmit sem kell számolni.
Szemlélet alapján igazad van. A feladvány arra kérdez rá, hogy az emelkedő asztalon levő jégdarabra ható erőt hogyan kell transzformálni a bakter rendszerében, hogy továbbra is csak az asztalra merőleges komponense legyen, miközben az asztal a bakter rendszerében ferde. Az már csak külön szorgalmi feladat, hogy amikor emelni kezdik a pincérek, akkor a bakter rendszerében a gyorsuló szakaszban még ráadásul az asztal egyik vége már emelkedik, miközben a közepe pl még nyugalomban van és a jégdarab ra eközben milyen irányú erő hat az idő függvényében, hogy a bakter rendszerében is végig fenn áljon az egyensúlyi állapot. (Szerintem ezt csak az igazán elszánt rel.elm. rajongók fogják megoldani...)
Nem csodálom, mert ebből nem is lehet jól kijönni. Vagy a gumiszalag fog hülyén viselkedni, vagy a (ferde) asztallap. Annyira rossz ez a geometriai tartalmat megerőszakoló szinkronizáció.
Sajnos a körülmények a munkámban összefogtak ellenem, és a Iacocca féle gombamódszert alkalmazzák. Amíg ki nem taposom magam a feladatok alól, addig nem tudok nagyon fizikázni. Így most egy kicsit kénytelen vagyok egy icipicit (de nem sokat) improvizálni, amit pedig nem szeretek, alapvetően.
1. Nagyon komoly elvi kifogásaim vannak a hármasvektorok transzformációjával kapcsolatban a relativitáselméleten belül. Röviden: úgy hülyeség, ahogy van. Az égvilágon semmi értelme nincs, csak egy képletzsonglőrködés mindenféle fizikai tartalom nélkül.
A vektorok vektorterekben laknak. Csak azonos vektorterekben lakó vektorok között lehet műveleteket végezni, ott is csak 2 félét: skalárral szorozni és összeadni. Meg persze, ezekből következően- szintén csak vektortéren belül- fel lehet írni a vektort másik bázisban. Semmi mást nem lehet a vektorokkal csinálni.
Ez a probléma már az áltrelben felmerül, mert a vektorterek az érintőterek, az áltrelben csak ott laknak a vektorok, a sokaságban nem. Viszont különböző pontok (itt és mostantól mindig, mindenkor: a sokaság pontjait nevezem pontnak) érintőterei különböző vektorterek! És ha különböző vektorterek elemeivel akarok műveleteket végezni, akkor bizony komoly problémáim vannak. Folytonos, diffható sokaságoknál a konnexió jelenti ebből a kiutat. (Amúgy az is messzemenően önkényes.)
Galileinél abszolút a tér, és abszolút az idő. A hármasvektorok az abszolúttérben laknak. Semmi probléma nincs tehát, ha egy másik bázisra akarok áttérni az amúgy abszolút térben. Ez még mindig ugyanaz a vektortér lesz. Ez a másik bázisra való áttérés pedig nem más, mint az euklideszi forgatás. Tudjuk, hogyan transzformálja a koordinátákat: és valóban, ez csak egy bázisváltás, vektortéren belül. (Amit amúgy se kivastagítani, se aláhúzni nem kellett volna, mert teljesen magától értetődő kellene legyen az, hogy csak így lehetséges, de mégis fontos ez a mi szempontunkból.) A Galilei transzformáció pedig úgy ahogy van változatlanul hagyja az abszolút teret, benne minden vektorral. Ezért, és csak ezért lehet hármasvektorokkal operálni Newton-Galileinél. Ezért marad az euklideszi forgatásokra ÉS a Galilei trafóra mind az F erő, mind az a gyorsulás (mint vektor!!!) invariáns.
Más a helyzet viszont Minkowskinál! Ott a 4 dimenziós téridő az abszolút!
Ott nem hármas vektorok laknak a hármas abszolút térben, hanem négyes vektorok a négyes abszolút téridőben. Itt nincs az égvilágon semmi értelme hármas vektorokat transzformálni! Semmi! Az a vektortér 4 dimenziós, abban 4 dimenziós vektorok laknak, abban 4 bázisvektort kell megadjunk, amire nézve 4 komponens van, ami azt jelenti, hogy bázisváltásnál 4 komponens transzformálódik. Nem három, hanem 4.
Itt nem igaz az a képlet, hogy F=ma. Itt sem a hármasvektorok, sem a hármasgyorsulások nem invariánsak a transzformációkra. Hanem olyan képlet lesz igaz e helyett, hogy Fk=mak. Vagy, mivel még ez is legtöbbször nem is igaz, ezért inkább így: Fk=d(muk)/dtau.
Szóval, a különböző megfigyelők különböző hármas terei különböző vektorterek. Nem transzformálódnak vektorok ezek között. Mindenki vizuálisan is láthatja, aki látott már téridőábrát: ezek teljesen különböző 3 dimenziós szeletei a 4 dimenziós (amúgy abszolút) téridőnek. Ferdén szelt szeletei a 4 dimenziós tömbsajtnak. Nem abszulútak. Nem azonosak. Legfeljebb konnexióval lehetne ezeknek nekiesni, ha infinitezimálasian lennének "elferdülve" egymáshoz képest.
Ennyit az elvi kifogásaimról. Gyakorlati kifogások:
2. Amit előad az általad linkelt jegyzet, az semmi más, csak az F=dP/dt képlet továbbvitele a specrelbe. Nem újdonság, nem is dorgálom meg érte, mert sokáig cipeltük, de ma már eldobtuk. Ez a képlet semmilyen formában nem érvényes a relativitáselméletben. Egy darabig tartottuk -pont úgy, mint a fingot-, de aztán eleresztettük.
A hármas erőket definiálja: a hármas impulzus (newtoni) koordinátaidő szerinti deriváltjaiként. Becsempészi azért, hogy a hármas impulzus nem önálló mennyiség, hanem csak a négyesimpulzus komponensei. Aztán ezeket a nem is vektort alkotó hármas mennyiségeket deriválja. Koordinátaidő szerint.
E mögött semmi más nincs, csak az F=dP/dt továbbvitele. Az F (hármas!!) vektor komponenseit a P (hármas!!) vektor komponenseiből származtatja, koordinátaidő szerinti deriválással. Persze jól csinálja, mert tudja, hogy a hármasimpulzus komponensei nem önmaguktól függnek, hanem egy negyedik (sejtelmesen E-nek nevezett) komponenstól is. Matematikai barba-trükk, fizikai tartalom nélkül.
Ez a hármasvektor transzformálás ugyanis (amellett, hogy tök különböző vektorterek között "transzformál") az F=dP/dt hármasvektor-egyenletet tartja életben, ami hülyeség. Sokan így tanulták, nem akarok megbántani senkit, de akkor is hülyeség. Ebből jönnek a relativisztikusan növekvő tömeg félreértelmezett anomáliái. A tömeg nem nő relativisztikusan. Illetve máshogy, és mástól. :)
3. De fogadjuk el mégis ma estére a linkelt cikkedet igaznak és "fizikainak". Fogadjunk el mindent. De mmormota: itt az erőket a hármasimpulzus deriváltjainként értelmezi. De itt a hármasimpulzus nem változik! Itt mindenki egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A főszereplő jégkocka is. Itt a hármasimpulzus minden komponense minden rendszerben konstans. Deriváltja 0. A hármaserő MINDEN komponense MINDEN rendszerben 0. Ezt úgy transzformálód ahogy akarod, itt minden 0 marad.
Mert ez a definíció az eredő hármas erőkre vonatkozik. Ami tényleg nullvektor. Mert még a négyes erő vektor is nullvektor!
Persze, megpróbálhatjuk különválasztani az "összetevő" erőket. Bár, hogy ennek a különválasztásnak mennyi fizikai értelme van, azt nem tudjuk teljes bizonyossággal...
De válasszuk külön. Legyen gumiszalag-erő és asztal-erő! Hármaserők. Az asztal, de még a vonat rendszerében is kioltják egymást. Nemde? Persze, a rendszerváltásnál úgy oltják ki egymást, hogy mind a szalagerő, mind az asztalerő nagysága egyformán csökken (hosszkontrakció), de az iránya függőleges marad, így kioltják egymást. De akárhogyan is, a szalagerő és az asztalerő azonos irányúak, azonos nagyságúak, ellenkező előjelűek, így egyformán fognak "transzformálódni". És mindig, minden rendszerben ki fogják oltani egymást. Amúgy nagyon helyesen, mert tényleg: minden rendszerben minden impulzuskomponens konstans!
Szóval, a hármaserők transzformálása úgy ahogy van, marhaság. De még ha rendesen alkalmazzuk, akkor sem segít senkin semmit. Itt bizony a hármaserők kioltják egymást. MInden rendszerben.
Akkor most lehet választani: vagy az amúgy függőleges gumi húz ferdén, vagy az amúgy ferde asztal tol függőlegesen. Ez a két választás van. Egyikből sem jövünk ki jól. De mégis, én inkább "fizikaibbnak" tartom azt, hogy a ferde asztal tol függőlegesen.
Mert az igazság az, hogy az asztal maga, az VÉGIG, minden időben függőlegesen tol. Az már az egyéni szoc. problémánk, hogy az amúgy jól definiált, 4 dimenzióban párhuzamos egyenesekre valakik azt mondják, hogy húzzunk be csak úgy ferdén egy szelőt, és nevezzük az így kijelölt pontokat "összetartozónak" és "egyidejűnek", sőt, hovatovább nevezzük ezen végpontok által kijelölt szakaszt "asztalnak". Jó, nevezzétek. És szembesüljetek azzal, hogy az így előállt asztal ferdén tol. :D
Semmi bajom senkivel, de nálam az asztal két végének (most rúdasztalról beszélek az egyszerűség miatt) pontjai két objektíven, abszolútan, bázisválasztástól függetlenül párhuzamos egyenest adnak a téridőben, és aki ebbe ferde szakaszokat húzigál, és ezen ferde szakaszok sajáthosszát nevezi az amúgy két objektíven, abszolútan párhuzamos egyenes távolságának, az vessen magára. Meg rám is nyugodtan, de én most jól fogom viselni, mert kevésbé fogok ráérni.
Tehát a bater áll a töltésen, megy a vonat χ rapiditással és közben két pincér (legyen inkább Yoda) emeli az asztalt a vonatban, amin van egy darab jég.
Azt szertném meghatározni, hogy mi a transzformációs szabály az bakter és az asztal között.
Ugyebár az asztalnak a bakterhez képest két sebessége van, az egyik a vonaté, a χ, a másik erre merőlegesen az asztalé. Ha ezt a két sebességet vektoriálisan összeadjuk, akkor az eredő sebességvektor egy Φ szöget fog bezárni a bakter rendszerének az x tengelyével(a trigonometriai irányba).
Ennek sebességvektornak az alakja, c=1-ben:
v= th(χ) (x cosΦ + y sinΦ).
Forgassul el a bakter x tengelyét Φ szöggel, ebben megmarad az egyidejűség, hiszen a bakter közbe nem ment sehova. Ez nem Lorentz trafó.
Ezt az elforgatott rendszert nevezzük el KΦ- nek. Szóval a K-ból KΦ-be a trafó a következőt teszi:
t'=t
x'= x cosΦ + y sinΦ
y'=-x sinΦ + y cosΦ
Visszafele a szög az -Φ és mivel a cos(-Φ)=cos(Φ), valamint sin(-Φ)=-sin(Φ), az K-Φ trafó a K-ba ezt teszi:
t=t'
x= x' cosΦ - y' sinΦ
y= x' sinΦ + y' cosΦ
Tehát a KΦ-baneltüntette az y tengelyen értelmezett sebességet.
Ha a KΦ alkalmazunk egy Lorentz trafót χ rapiditással, az az y' tengelyt békén hagyja, mert most már a sebességünk párhuzamos az x' tengellyel
A Lorentz trafó (Kχ)eredménye a kétvesszős koordinátakat jelöli és így néz ki :
t"= t' chχ- x' shχ
x"= -t' shχ+ x chχ
y"=y'
Ha most a KΦ -ból Kχ megkapott kétvesszős koordinátákra alkallazzuk a K-Φ tarfót, hogy már megvan a transzfomáció az asztal és a bakter rendszere között.
t"'= t"
x"'= x" cosΦ - y" sinΦ
y'"= x" sinΦ + y" cosΦ
Ezt tettük: K-ΦKχ KΦ , összeszorozzuk a transzformációs mátrixokat. Jobbról balra.
Ebből kijön egy rendkívül csúnya elemeket tartalmazó 3x3-as mátrix (ami szimetrikus - sin-cosΦ és sh-chχ függvényeket tartalmaz külömböző hatványokon). Ez a bakter rendszeréből az asztal rendszerébe visz át.
Azaz (t,x,y)--->(t'",x"',y"')
Adott χ rapiditás és Φ szög , valamint adott nyugalmi asztalhossz esetén ki lehet belőle számolni mindenfélét. Talán.:) Ha sikerül majd beírnom a mátrixot a wolfram alfaba hiba nélkül.
De nem igazán értem, hogy mi a pontos kérdés? És hogy mit kéne kiszámítani?
Mert a jég nem fog leesni az asztalról, ha az a vonat rendszerében egyszerre emelkedik. És ehhez semmit sem kell számolni.
Ezeket csak arra használta, hogy levezesse az erővektor transzformációs képletét.
Az én magyarázatomhoz pedig csak a kész erő transzformációs képletre van szükség.
A lényeg: egy R rendszerben egy tisztán y irányú F erővektort transzformálunk át egy olyan rendszerbe, melynek R-hez képest x irányú v sebessége van.
A képlet szerint az R' rendszerben F' nem lesz már tisztán y' irányú, hanem x' irányú komponense is lesz. Ez tart ellen annak, hogy a ferde lapon lecsússzon a próbatest.
Ez első ránézésre elég meglepő, mert maga a gumiszál az R'-ben is függőleges, vagyis nem arra húz amerre áll. :-)
A feladat azért nehezebb mint a legtöbb fejtörő, mert azok tipikusan csak kinematikával foglalkoznak, ez meg dinamikára kérdez rá. Kinematikában persze könnyű a válasz - ha egy rendszerben békén marad, egy másikban sem csúszhat le...
Bocsánat, azt hiszem leesett a tantusz a gumiszalagot illetően. Szóval - azt hiszem mmormota is így értette:
Legyen hosszában egy rés vágva az asztalban. Egy hosszanti rés. Ezen alulról átfűzzük a gumiszalagot (aminek a másik vége a vonat padlójához van rögzítve), és hozzáerősítjük a jégkockához. (Mondjuk bele van fagyva, és még a kocka tetején is jó erősen rögzítjük.) A jégkocka nem tud kiesni a résen. Ha emelem az asztalt, a gumiszalag húzza a kockát lefelé, de az asztal kifejti a szükséges kényszererőt.
Szóval nem akarom, hogy nagyon az elektromágnesesség boncolgatásába menjünk, legyen minél egyszerűbb. Legyen inkább gumiszalag. Végülis mindegy, de a gumiszalag egyszerűbb. (És az ereje lineárisan nő a megnyúlással, nem pedig négyzetesen csökken, mint a mágnesnél...)
Mj.: Egész biztos, hogy teljes egészében tárgyalható specrelben a dolog, a gravitáció kiiktatásával kisimítottuk a téridőt.
Mmormota: nem egészen értem ezt a hármaserő-komponens transzformációs dolgot, majd még átnézem. Sejtem, mit akar a jegyzet, de végig akarom számolni magam is, hogy biztosan ne értsem félre.
Mindenesetre nem tudom, hogy ez ide hogyan alkalmazható, hiszen itt minden impulzuskomponenes minden rendszerben konstans. Az asztalt egyenletes sebességgel emelem. A jégkockára ható erők eredője 0. Legalábbis az asztal és a vonat rendszerében is.
Értem én, hogy a fizikusokat meg a geométereket a szimmetriákra invariáns tulajdonságok érdeklik végső soron, de teljesen korrekt egy jelenséget úgy magyarázni, hogy felveszünk egy bázist és abból írjuk le (más szóval egy konkrét megfigyelő szemszögéből). Ez egy relatív magyarázat lesz, hasonlóan ahogy egy általános geometriai tételt is lehet speciális "szemszögből" magyarázni. Ez utóbbira mondok egy szép példát az affin geometria témaköréből (a példát Reiman István: A geometria és határterületei című könyvéből vettem).
Tétel. Legyenek X, Y, Z rendre az ABC háromszög AB, BC, CA oldalainak belső pontjai. Ekkor az XYZ terület nem lehet kisebb az AXZ, BYX, CZY területek mindegyikénél.
Bizonyítás. Egy affinitást alkalmazva elérhető, hogy XYZ szabályos háromszög legyen. Elég erre az esetre belátni az állítást, hiszen az affinitás nem változtatja meg a területek arányát. Az ABC háromszögnek van legalább 60 fokos szöge, mondjuk a B-nél levő szög. Ekkor - könnyen látható - az XYZ terület legalább akkora, mint a BYX terület. Kész.
Ebben az jegyzetbe azt írja, hogy a sebesség nem négyesvektor a specrelben.
Igaz az, hogy a sebességvektor egy hármasvektor v (vx,vy,vz) alakú és általában az egyenletes egyenesvonalú mozgás esétén , ha az x tengelyel párhuzamosan haladó mozgásról van szó, akkor a komponensei vx,=v, vy=o, vz=o. , a v skalárt használjuk a trafós képleteknél.
De létezik a négyessebesség fogalma is.
Landau II a következőt írja:
képezhetünk egy négyessebességnek nevezett négyesvektort,
ui=dxi/ds, ahol a ds=cdt (1-v2/c2)1/2 ahol a v a sebesség hármasvektora. ds egy skalár. Ha négyesvektort osztunk skalárral az négyesvektor marad.
Erre azt írja, hogy a ui geometriai szempontból, a részecske világvonalához tartozó négyes érintő egység vektora. De dimenziótlan.
Na, hogy van ez? Mi van akkor ha ezt beszorozzuk a tömeggel?
az nem lehet, hogy specrelen belül ezt nem lehet rendesen megmagyarázni?
mivel a csúszást a gravitáció(ok, térgörbület) okozza, és olyan a specrelben nincs.
ha viszont nagytudású topiktársak neki állnak számolni áltrel szerint(számomra elérhetetlen világ), akkor ki is hozhatják, hogy a töltés rendszeréből nézve is, a jégkockára ható graviti eredő erője éppen az asztal lábaival párhuzamosan mutat ferdén lefelé.
Nyilván nem. Csak elég macera áttraszformálni az erőket irányukkal nagyságukkal együtt, hogy a bakter rendszerében is nyilvánvaló egyensúlyi helyzet legyen. A feladványban pont ezt a trükköt feszegetik. Ilyenkor kisegít az a logika, miszerint miért is csúszna le attól, hogy nézzük? Tehát a helyes megoldást keresve azt kell elfogadni, amelyik képes logikailag is helyesen kimagyarázni ezeket az eseteket. Az ilyen feladatok agytornának is jók, meg segítenek a szemléletünk helyes irányultságának kialakulásában. Persze mindig van aki ezt kapásból "tudja", de azért a megfontoltabban haladóknak is kell valami szellemi táplálék...
A cáfolóknak meg úgy is mindegy, mert ennél tisztább egyszerűbb esetek sem férnek a világképükbe, és egyébként is matekozni kell hozzá, ami ellen oltva vannak, inkább valami szalonfilozofálgatásra vágynak...
az asztal tényleg megrövidül, meg elfordul és idődilatáció,
Ezt természetesen úgy értem, ahogy azt szoktuk érteni, tehát, hogy az álló rendszerében a mozgó test megrövidül, idő lassabban telik a mozgóban és hasonlók. Na, itt most pontosan ugyanezen okok miatt elfordul. Akkor most, ha ezt helyes mondani, mondhatjuk azt, hogy a bakter rendszerében rövidebb, meg idő másképp telik, akkor ugyenezen ok miatt mondhatjuk, hogy elfordul. De akkor miért nem csúszik le? Vagy lecsúszik?
Nem, ez nem az. Én is azt hittem, de kiszámoltam és nem.
Le is írnám szívesen, csak elég sok mátrixot és görög betűt kellene használni, és itt kínszenvedés képleteket írni (illetve lehetetlen).
Mindenesetre ez azért elég érdekes dolgokra világít rá a hosszkontrakció, idődilatáció, szinkronizáció, és itt az ezek miatt fellépő elfordulás tekintetében. Akik szerint helyes azt mondani, hogy ezek az ortonormált bázisválasztás miatt fellépő dolgok "valóságos jelenségek", az asztal tényleg megrövidül, meg elfordul és idődilatáció, azok elmagyarázhatnák, hogy most lecsúszik a jégkocka vagy sem, és miért?
Mondjuk a gravitációt hagyjuk ki belőle, mert akkor ki kellene lépnünk a specrelből. Mmormota gumiszalagos megoldását nem értem. A javaslatom az, hogy legyen a vonat padlója és a jégkocka mágneses. Most akkor az asztal elfordulása valóságos jelenség vagy sem, mondhatom-e azt, hogy az én rendszeremben az asztal ferde, és lecsúszik-e a kocka?
Én simán elhittem neked, hogy ez a Thomas-rotáció. És még most is hajlandó lennék elhinni, hiszen itt a 3 rendszer a sín, a vonat, és az asztal. De még azóta is lusta voltam rendesen átgondolni, úgyhogy most azt hiszem el neked, hogy a kettő nem ugyanaz (bár most már némi fenntartással:))
