"Now its interesting that Georg Cantor, who invented set theory over 100 years ago, did so in part for theological reasons, seeing the infinite sets he came up with as a reflection of the infinity of God. Others, however, not believing that God exists or thinking that the very concept of an actual infinity is incoherent, reject the actual infinity and thus view Cantors so-called actual infinities as simply a device for describing much more mundane and finite processes. Yet it is a device that every working mathematician uses. As the great mathematician David Hilbert put it, No one will drive us from the paradise which Cantor created for us."
Valahogy nekem az az intuitív, hogy a természetes számok között van végtelen nagy is, ehhez keresek érveket, amik alátámaszthatják.
Értem, hogy a természetes számok definíció szerint végesek. Tegyük félre ezt a definíciót, mert ez elönti a kérdést, amit én keresek, és kibomlik belőle az a matek, amit megszoktunk. A végtelen felfogások érdekelnek. Tegyük fére a halmaz koncepciót is, mivel ebben már ott van Cantor Istentől származtatott végtelen elképzelése, és ez is eldönti a kérdést Cantor javára (eléggé természetes módon.)
Tehát nincsen halmaz fogalmunk, nincsen természetes szám definíciónk, csak a végtelen papír van, meg a nullákat leíró gép. A végtelen koncepciók vizsgálatához ez elegendő.
----
A Sum[n->végtelen](1) = ?
Mi van ezzel a summával? Az egyet adogatjuk össze végtelenszer. Ennek az eredménye természetes szám? Ha nem, akkor micsoda?
Az értetlenségének a gyökere szerintem ott lehet, hogy összekeveri a halmazt az elemeivel, konkrétan a természetes számok halmazát (ami végtelen) a természetes számokkal (amik végesek). Mintha minden halmazt a saját elemének is tekintene, miközben a halmazelméletben egyetlen halmaz sem eleme önmagának (regularitási axióma).
Ha te máshogy teszed fel, akkor az egy másik rendszer lesz. Ezt így alkották meg.
Vedd észre, hogy az axiomatikus rendszer nem valami kőtáblán kapott isteni eredetű axiómarendszer, hanem emberi alkotás. Megalkották, kidolgozták, sok-sok másik embernek tetszett. Ezért maradt fenn, fejlesztették tovább.
De ez nem jelenti azt, hogy csak ez az egyedül lehetséges. Ki lehet találni mást is, esetleg sokkal hasznosabbat is. Ezt szerintem nem lehet tudni se pro se kontra.
Te próbálkoztál valami mással, az egyelőre teljesen hibás volt - de a lehetőség adott.
Szerintem hatékonyabb, ha először megérted a meglevő elveit, felismered az erejét stb. Pl. Smullyan könyvei játékosan rávezethetnek a dolog logikájára, mert úgy tűnik, nem tudsz ráhangolódni.
Ezek itten végtelen számjegysorozatok voltak, precízebben mondva N->{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} leképezések. Nyilván más jelölés is elképzelhető, de talán ez a legegyszerűbb, legtömörebb.
"Sorok száma: mondj akármilyen nagy számot, mutatok neked annál is nagyobb sorszámú sort. Tehát nem kell megmutatni a végtelenedik sort, hanem azt kell megmutatni, hogy akármilyen nagy előre megadott sorszámnál is van nagyobb."
Ez is igaz a sor hosszára is. Mutass egy sorhosszt, és én mutatok nála nagyobbat.
"Sor elemszáma: mutass rá akármelyik sorra - véges számú számjegyből áll, még azt is meg tudom mondani, hány jegyből; ha az n. sort mutatod meg akkor n+1. Olyan sorra nem tudsz konkrétan rámutatni amiben végesnél több elem van."
De ez pontosan igaz a halmaz bármelyik elemére is, olyan értelemben, hogy nem tudsz a halmaz végtelenedik elemére mutatni, a halmazban mégis végtelen elem van.
Szemléletesen úgy lehet elképzelni, hogy nem ugyanúgy teszik fel a kérdést.
Sor elemszáma: mutass rá akármelyik sorra - véges számú számjegyből áll, még azt is meg tudom mondani, hány jegyből; ha az n. sort mutatod meg akkor n+1. Olyan sorra nem tudsz konkrétan rámutatni amiben végesnél több elem van.
Sorok száma: mondj akármilyen nagy számot, mutatok neked annál is nagyobb sorszámú sort. Tehát nem kell megmutatni a végtelenedik sort, hanem azt kell megmutatni, hogy akármilyen nagy előre megadott sorszámnál is van nagyobb.
Szóval, ha a 0,00,000,... sorozat elemeiből képzett halmazban megszámlálhatóan végtelen sok elem van, akkor miért nincs megszámlálhatóan végtelen hosszú elem a halmazban? Ez nem szimmetrikus.
> Ha mondhatom, hogy a sorozat végtelen sok elemet tartalmaz, akkor miért nem mondhatom, hogy az elemek végtelen hosszúra nőnek.
Mondhatod, csak nem lesz igaz. Akkor lenne igaz, ha lenne olyan n index, hogy a sorozat n-edik eleme nem véges sok, hanem végtelen sok számjegyből áll.
Pl. ebben a véges sorozatban az elemek felváltva véges és végtelen sorozatok:
A c) eset az a) eset ismételgetése, vagyis elég az a) eset, és a b) eset különbségét vizsgálni.
Az a) esetben a három pont a végtelen sorozat határértékét jelenti, hasonlóan a végtelen tizedes törtek értelmezéséhez. (Ez az értelmezés a tizedes törtekkel való felírással való megfeleltethetőségéből adódik implicit módon, ami valójában nem teljesen korrekt definíció, de éppen az egyéb definíció hiánya nem tesz lehetővé más értelmezést.) Mivel azonban ez a sorozat divergens, és nincs szabályos határértéke, így az a) kifejezés valójában egy folytonos intervallum kezdetét jelöli, anélkül, hogy definiálná az intervallum végét. A 0 számjegyek pedig az intervallum pontjait szimbolizálják, a véges hosszúságú pontsorozatok mindegyike a kezdőpontot jelöli (lévén az m/n sorozat határértéke 0 minden véges m-re, ha n tart végtelenbe).
A b) eset egy felsorolás, egy véges számosságú halmazok sorozata. A sorozat minden tagja véges, és nem irányozzuk elő semmilyen módon a határértékképzést. Ez pedig így egy szokásos sorozat definíció, amelynek megszámlálható a számossága. A felsorolást befejező három pont ez esetben a sorozat definíciója.
Alapvetően a '...' jel értelmezésében van különbség. Te azt érted alatta, hogy 'képzeljünk el egy végtelen hosszú papírt, egy fáradhatatlan robotot kifogyhatatlan tollal, végtelen sok időt...'
Egy matematikusnak nincs ennyi fantáziája, az csak arra gondol a '...' láttán, hogy van egy leképezés a természetes számok és a számjegyek között, amelynek a szabálya nincs ugyan szavakkal leírva, de elég egyszerű ahhoz, hogy rájöjjön. Ebben nincs semmi időbeliség, nem kell kivárni, hogy végtelen sok számot leírjunk, nem kell figyelni a robot működését, egy egyszerű hozzárendelésről van szó.
Említsük meg, hogy ennél sokkal bonyolultabb hozzárendelések is vannak, például elképzelhetünk olyan min függvényt, ami a természetes számok összes nemüres részhalmazához hozzárendeli annak legkisebb elemét. Ugyebár ezt még a leggyorsabb robot sem tudná leírni, hiszen ezen nemüres részhalmazokat nem lehet felsorolni, ezt a min függvényt mégis definiáltnak tekintjük.
Az a esetben nullák végtelen sorozata. Nem korlátos, de mindig véges. Nyílt nulla sorozat. Ha "definit" módon tekintünk rá, végtelen hosszú.
A b esetet az a eset egyszerű módosításából kapom (a gép kezdjen új sort, másolja le az előző sort, majd a végére tegyen egy nullát).
A b esetben a sorok hosszára lehet azt mondani, hogy nem korlátos, de mindig véges. Ha definit módon tekintünk rá, akkor a sor hossza végtelenre nő.
Ez az a szimmetria, amit én látok. A gép a b esetben nem csinál semmi olyasmit az a-hoz képest (a sorok hosszára vonatkozóan), ami miatt a sorok hosszára másképpen kellene tekintenem, mint az a esetben.
Ráadásul a b gépet egyszerűen át tudom alakítani úgy, hogy csak 2 sort használjon (felváltva írja a két sort, ugrál a két sor között, és mindig felülírja azt amin éppen dolgozik a másik sor tartalmával, majd hozzácsap egy nullát.) :
c,
0000...
00000...
A c nullákra is ugyanaz vonatkozik, mint az a esetben, a nullák nem korlátos, de véges sorozata, amelyet "aktualizálva" két végtelen hosszú sort kapok.
Nem világos, hogy a b miért tér el a sorok hosszát tekintve az a és c géptől.
