Miért túl laza ez a definíció szerinted?
Ha van két tetszőleges A és B halmazod,akkor az A'={(a,1): a eleme A} és B'={(b,2):b eleme B) halmazok a A-val és B-ven azonos számosságúak és diszjunktak.
Nem az inverzszámokra gondolsz? Amin értelme van a negatív számok pároskitevőjű gyökének azáltal, hogy -1 négyzetgyökének i-számot hozták létre.És amely halmazon nézve ab+ac nem ugyanaz, mint ac+ab, tehát vigyázni kell, hogy bontjuk fel a(b+c).
Szvsz a "második halmaz helyett vegyünk egy azonos számosságút, ami az elsővel diszjunkt" informálisan elmegy, de formális műveletdefiníciónak túl laza. Akkor már érdemesebb lenne azt mondani, hogy két számosság összege a megfelelő számosságú halmazok úniói számosságainak maximuma... de szépen hangzik :-)
Sajnos nem egészen értem, mit mondasz. Mindenesetre két diszjunkt halmaz uniójának a számossága nyilvánvalóan csak a halmazok számosságától függ, maguktól a halmazoktól nem. Másrészt, tetszőleges két adott számossághoz van két megfelelő számosságú diszjunkt halmaz, tehát van értelme a számosságok összegét az unió számosságával definiálni.
Nem. Ha Card(A)=c1, Card(B)=c2 (két halmaz), akkor a c1+c2 értékét meg kell tudnod adni c1 és c2 szerkezetének függvényében, az eredmény nem függhet az A. B halmazoktól.
Hogy az összeadás halmazelméleti definíciója hogy néz ki, azt nem tudom. Véges esetben (n+m)+=n+m+, de nem hiszem, hogy ezt végtelen számosságokra is át lehetne vinni...
Ha legalább az egyik végtelen, akkor az összeadás ugyanaz lesz, mint az únió, de ez meg két természetes számra nem működik. Szóval passz.
Igen, és hatványozni is lehet, a megfelelő leképzéssel (az összeg viszont általában nem működik, Card(A U B) > Card(A) + Card(B)), és a rendszámokkal is lehet mindenféle műveleteket végezni.
A Conway által talált (vagy inkább kitalált?) számok (közben utánanéztem, a real numbers mintájára surreal numbers-nek hívják őket) viszont ennél jóval érdekesebbek, tartalmazzák a valós számokat, azok nemstandard analízisbeli megfelelőit (a hipervalós számokat), a rendszámokat és még ki tudja mit, ráadásul roppant egyszerű felépítésüek, és a műveleti szabályok is viszonylag egyszerű halmazelméleti műveletek.
Én ezt a Conwayt sajnos nem ismerem, de számosságokkal egész triviálisan is lehet műveleteket végezni: két számosság összege a két halmaz uniójának, szorzata a Descart-szorzatának a számossága.
Első ránézésre azt hinné az ember, hogy így van, de úgy tűnik, hogy a fizikusok nem kultiválják túlságosan. Egyszerűbb alkalmazásait én még nem is láttam. Ami alkalmazásait láttam: sztochasztikus folyamatok, Fourier-analízis,random walks, sztochasztikus diff.egyenletek, általános topológia, és ilyesmik.
Szerintem lényegesen bonyolultabb dolgok ezek, mint egy mezei nabla operátor. De nem vagyok szakértő a témában, csak kíváncsiságból nézegettem néhány ilyen könyvet.
Többféle is van. Pl. a hatérértékszámításnál is szokás a végtelennel végzett műveleteket értelmezni (a végtelen hozzávételétől az algebrai tulajdonságok csúnyábbak lesznek, de a topológiaiak szebbek). A halmazelméletből is fel lehet építeni egy érdekes számrendszert, amiben különféle végtelen mennyiségek szerepelnek (Conway-féle számoknak hívják, ha jól emlékszem).
Elképzelhető, hogy ezt a nemstandard analízist jobban lehetne használni a fizikában? Pl. ez a differenciáloperátor-vektor eléggé a levegőben lógó dolog... legalábbis első féléves fizikushallgatóknak...
Van olyan matematikai elmélet, amelyikben van értelme a végtelenekkel meg az infinitézimálisokkal végzett műveleteknek. Úgy hívják, hogy nemstandard analízis.
Ez az egész azért szúrt szemet, mert egy másik topicban egy "önjelölt zseni" beütéssel rendelkező topictárs igen fura képet vázolt a végtelenről. Így aztán azt próbáltam valahogy jelezni, hogy a valami megszámlálhatóan végtelen, vagy konkrétan megszámlálható (darabra), nem ugyanaz.
Pl. A halmaz elemei 1-5-ig, egész számok, akkor annak 5 eleme van (5 darab eleme).
B halmaz elemei pozitív egész számok, akkor annak végtelen eleme van, de azok megszámlálhatóan "sokan vannak".
