"azaz a 0=1 bizonyításának Gödel-száma lehet végtelen nemsztenderd természetes szám, és sztenderd véges Gödel-száma az inkonzisztenciának mégsincs"
Azaz a tárgynyelvi és metanyelvi levezethetőségfogalom nem esik egybe. Ez mondjuk eleve logikus, hogy ZFC konzisztenciájára, valamilyen metatétel kellene, azaz valami matematikán kívüli, de mégis szemléletesen igaz érvelés.
Például PA konzisztenciája esetén nem firtatom ezt, mert természetes számok léteznek és tudják azokat a dolgokat, amiket PA mond róluk. De egymásnak ellentmondó halmazelméletek esetén nem tudom magam így meggyőzni, hogy hát a valóságban is vannak halmazaim, amik ezeket nyilván tudják.
"Gondolj bele: consis(ZFC) ZFC-független! És ez csak úgy lehet, ha ZFC lehet konzisztens (azaz lehet modellje) úgy, hogy a modellben ~consis(ZFC) igaz."
Igen, ez nagyon fura, de amit mondtál annak fényében valamennyit világosodott.
Mindenesetre például a 0-adrendű logika teljességének igazolása az olyan volt, hogy mindenféle halmazelméleti háttér nélkül is egy hihető érvelés volt. Valami ilyesmi ha lenne a ZFC konzisztenciájára az jó lenne.
Még nem értem teljesen, hogy az a formula hogy 'a ZFC axiómákat elkódoló halmaz minden véges részhalmaza olyan, hogy nem vezethető le belőle ellentmondás' milyen viszonyban van a jegyzetben igazolt tétellel.
Mármint a Csirmaz-jegyzet 31. oldalán? A teljességi tételen keresztül, amely szintén ZFC-tétel.
Tehát: ZFC bármely adott Z véges részének van modellje (ez igaz) pontosan akkor, ha Z-ből nem vezethető le ellentmondás. Tehát nem vezethető le ellentmondás.
Ha arra gondoltál, hogy elkódolod Z-t, és ZF-ben igazolod, hogy nem vezethető le belőle ellentmondás, ezt a Tükrözésin és a teljességin keresztül könnyen megteheted.
Ha arra gondoltál, hogy a ZFC tételeinek rekurzíve felsorolható elkódolásáról ZFC-ben kimutatod, hogy a 0=1 formula (elkódolása) nincs a tételek között, ezt már nem teheted meg, mert akkor ZFC ellentmondásos lenne a II. Gödel-tétel miatt (amely ZFC-tétel).
Ez érdekes. Én azt hittem, hogy ~consis(ZFC) esetén a halmazok tulajdonságait egymásnak ellentmondó módon mondtuk meg, így nincs is V.
Gyakori tévedés. ~consis(ZFC), azaz a 0=1 bizonyításának Gödel-száma lehet végtelen nemsztenderd természetes szám, és sztenderd véges Gödel-száma az inkonzisztenciának mégsincs. Márpedig mi csak véges igazolásokat tekintünk igazolásnak.
(Megjegyzés: érdekes megnézni, hogy az a végtelen logika, amely végtelen nemsztenderd Gödel-számú igazolásokat tartalmaz, milyen.)
Gondolj bele: consis(ZFC) ZFC-független! És ez csak úgy lehet, ha ZFC lehet konzisztens (azaz lehet modellje) úgy, hogy a modellben ~consis(ZFC) hamis.
"mit nem tudsz megcsinálni, hogy igazolod, hogy ezek körül a(z "elkódoló") halmazok körül modellt lehet kiépíteni"
Még nem értem teljesen, hogy az a formula hogy 'a ZFC axiómákat elkódoló halmaz minden véges részhalmaza olyan, hogy nem vezethető le belőle ellentmondás' milyen viszonyban van a jegyzetben igazolt tétellel.
"~consis(ZFC) alatt is igaz, hogy nem lehet ellentmondás V-ben"
Ez érdekes. Én azt hittem, hogy ~consis(ZFC) esetén a halmazok tulajdonságait egymásnak ellentmondó módon mondtuk meg, így nincs is V.
"Nem akad meg a folyamat ott, hogy a halmazból esetleg definiálhatatlan a ZFC-axiómák halmaza, mert az axiómák rekurzív halmazt alkotnak: egy rekurzív Gödel-számhalmaz rekurzív részhalmazát."
Az miért nem működik, hogy elkódolom a formulákat számokkal, majd azokat halmazokkal; ekkor az összes halmazelméleti nyelvű formulát reprezentáló halmzaz halmazt alkot. Elsőrendű formulával megfogalmazom, hogy ebből a halmazból mely elemek ZFC axiómák (tálán itt akad meg?). Ekkor van egy halmazom, amiben pontosan a ZFC axiómákat elkódoló halmazok szerepelnek és a nyel viszntjén tudok beszélni ennek véges részhalmazairól.
Minden, amit leírtál, működik. Nem akad meg a folyamat ott, hogy a halmazból melyek ZFC-axiómák, mert az axiómák rekurzív halmazt alkotnak, amely definiálható. Amit nem tudsz megcsinálni, hogy igazolod, hogy ezek körül a(z "elkódoló") halmazok körül modellt lehet kiépíteni, vagyis más halmazokat is hozzávenni, és így egy egész logikát, azon ultrafiltert lehet készíteni (lényegében Lindenbaum-algebrát).
Ha a Lindenbaum-halmazalgebra létezését igazolnád, amelyben ott vannak a ZFC-axiómákat elkódoló halmazok is, és ezen létezik ZFC-ultrafilter, akkor igazolnád, hogy a ZFC-nek van modellje. Ezt pedig nem tudod megtenni, mert ellentétben áll Gödel tételével.
Ha az axiómasémák miatt fellépő végtelen sok formulát mégsem tudom így körülírni, akkor pedig ott van a végesen axiomatizálható NBG, ami úgyis nagyon hasonlít ZFC-re (csak még több dologról lehet benne kényelmesen beszélni).
A probléma ugyanaz, NBG nem segít, mert ekvikonzisztens a ZFC-vel.
Azonban mondjuk a Morse-Kelley halmazelméletben, vagy az Ackermann-félében, vagy az új Esser-félében (1999.) ezt már esetleg megtehető. Mivel van egyszerűbb mód, pont ezt még sosem olvastam, de elképzelhető.
-----------------------------------------------
A Reflection Principle-ről még annyit, hogy "metanyelvi" tétele ZFC konzisztenciájáról felfogható másodrendű tételnek. Valójában a metaelmélet, és a másodrendű logika szorosan összefügg.
És így már a modellelméleti problémák érthetők: a Gödel-féle consis(ZFC) mondat a modellben lehet hamis, és ezért egyetlen ZFC-halmazmodell sincs a ZFC-modellben. De a Reflection mégis tétel!
Akkor milyen értelemben mondható, hogy van rá teljesség, ha nincs modellje a metatételnek? Úgy, hogy valójában a másodrendű logikában vagyunk, és a garantált modell maga a ZFC-modell, amely elméletében igazoljuk a Reflection-t. Ha ez a V Univerzum, akkor az.
A teljességi tétel tehát valódi osztályra igaz.
Gondolj bele: ~consis(ZFC) alatt is igaz, hogy nem lehet ellentmondás V-ben. Ha lenne, akkor lenne halmaz, amely F, és ~F tulajdonságú, és mindkettőnek lenne levezetése a modell elméletéből. De a levezetés véges, benne ZFC véges részével, amely azonban konzisztens a Reflection-ből!
Következik, hogy ha a V Univerzum létezik, akkor a Reflection igazolásából (a véges részek konzisztenciájára) helyesen következtetünk az egész ZFC konzisztenciájára.
Éppenséggel a másodrendű halmazelmélet modelljei maga V, vagy ha van nagy kappa számosság, akkor a Vkappa halmazmodellek is. De Löwenheim-Skolem nem lehet, hiszen az azt jelentené, hogy van másodrendű teljességi tétel halmazmodellekre, amiről az imént láttuk be, hogy nem igaz.
Az miért nem működik, hogy elkódolom a formulákat számokkal, majd azokat halmazokkal; ekkor az összes halmazelméleti nyelvű formulát reprezentáló halmzaz halmazt alkot. Elsőrendű formulával megfogalmazom, hogy ebből a halmazból mely elemek ZFC axiómák (tálán itt akad meg?). Ekkor van egy halmazom, amiben pontosan a ZFC axiómákat elkódoló halmazok szerepelnek és a nyel viszntjén tudok beszélni ennek véges részhalmazairól.
Ha az axiómasémák miatt fellépő végtelen sok formulát mégsem tudom így körülírni, akkor pedig ott van a végesen axiomatizálható NBG, ami úgyis nagyon hasonlít ZFC-re (csak még több dologról lehet benne kényelmesen beszélni).
Ez nagyon érdekesnek hangzik, örülnék ha kifejtenéd. (Itt fő bajom, hogy a metanyelvi végességfogalom van "odakint", de "bent" a végesség már definiált fogalom, tehát egy véges formulasorozat belül már ZFC-beli definíció szerint kell csak hogy véges legyen)
Arról van szó, hogy a végtelen formulát halmazzal reprezentáljuk (ugyanis osztály, és az osztálynak definíció szerint van definíciója).
Veszünk egy adott definíciójú halmazt, és még kappa sok ilyen halmazt. Akkor ezeknek vehetjük a metszetét, amelynek persze lesz elsőrendű definíciója is, de nem ez a fontos, hanem hogy a metszetre úgy tekinthetünk, mint egy végtelen formulára:
egy vett halmaz {x:fi(x)} alakú, ekkor 'minden x fi(x,)' akkor éppen a fi(.) tulajdonságú halmazok összessége, ami az adott halmaz. Feltevés szerint létezik egyetlen y, hogy pont azok az x-ek vannak benne, amelyek a választott halmazban vannak.
Vigyázunk arra, hogy ne valódi osztályt kapjunk így (ez konzisztensnek látszó feltevés, pl. az Ackermann-halmazelmélet egyik axiómája, ha a paraméterek is halmazok).
Most a metszetre úgy tekinthetünk, mint egy végtelen formulára: &kappayi<kappa, ahol y helyett vehetjük a definíciókat.
Így máris kész a végtelen konjunkció, és így már reprezentáltál egy végtelen logikát (egyelőre egyetlen formulát, de a többi is így megy).
Akkor ezen a reprezentáción mindenfélét le tudsz vezetni. De ez csak egy reprezentáció.
Annyi biztos, hogy így a "végesség" "kinti" fogalmát "bentire" voltál képes transzformálni, ez azonban csak egy imitáció, valójában az "igazi", klasszikus logikában dolgoztál (hiszen a Church-tézis ezt engedi meg).
Amit viszont nyersz, hogy az összes "kinti", de jóldefiniált végességfogalom halmazelméletileg definiálható, modellezhető.
Ennek határai is vannak, pl. ha kompaktsági tételt szeretnél, akkor végtelen logikát csak nagy számosság alatt reprezentálhatsz teljes mértékben. Egy maximális, konzisztens elmélet reprezentációja egy ultrafilter, amely, ha zárt a végtelen konjunkcióra, az az ultrafilter legalább szigma-teljességét jelenti.
---------------------------------------
Ez is nagyon érdekelne. Tudsz erről valami jó tankönyvet?
Alapozó tankönyvet talán nem, de bevezető, nem könnyű cikket igen: W. Pohlers: Set Theory and Second Order Number Theory. Jók még Michael Rathjen cikkei. Ez az Ordinal Analysis, Wikipedia-oldalak is vannak róla.
Ez a végtelen logika egy fragmentuma, amelyre nem kell nagy számosság, mégis szép tételei vannak.
--------------------------------------
Na erre még inkább nagyon kíváncsi vagyok:)
Egy kicsit félreértettél: a Tükrözési Elv maga szolgáltat egy metanyelvi, rekurzív formulát, amely igazolja ZFC konzisztenciáját! Ebben az értelemben a Tükrözési a problémát megoldja.
Hasonló ez ahhoz, amikor a Peano teljes indukciós sémáját minden formulára általánosítod: teljesen elfogadható, másrészt már nem tárgynyelvi, hanem metanyelvi formula: formulák felett kvantifikál.
És ez persze egy sokkal erősebb rendszer (számelmélet) is, mint a Peano.
((A Tükrözési ilyen értelmezése látszólag ellentmondásban van a Gödel II. Nemteljességivel, de nincs gond, az ugyanis elsőrendű számelméleti formuláról (tárgynyelvi formuláról) beszél.))
Tudom, hogy Téged a filozófiai háttere a dolognak kevésbé érdekel; ráadásul, hogy a kevés szabadidőből szánsz arra, hogy ismeretleneknek segítesz az nagyon derék, én fejlődésemben és motiválásomban is sokat számított, ezúton is köszönöm.
"ez így eléggé talányos, de szívesen kifejtem - viszonylag komplikált, de nem nagyon)."
Ez nagyon érdekesnek hangzik, örülnék ha kifejtenéd. (Itt fő bajom, hogy a metanyelvi végességfogalom van "odakint", de "bent" a végesség már definiált fogalom, tehát egy véges formulasorozat belül már ZFC-beli definíció szerint kell csak hogy véges legyen)
"Gondoljunk arra, hogy a sémákat, végtelen bizonyítás-hosszokat rendszám szerint indexeljük, ami csak halmazelméleti háttérrel lehetséges."
Ez is nagyon érdekelne. Tudsz erről valami jó tankönyvet?
"Ez igaz a metanyelvi logikára is, amelyben ZFC konzisztenciája tétel!"
Az a formula, amely a minden véges részek modelljének létezését mondja ki, a halmazelmélet nyelvén, tárgynyelvi formulával nem írható le. Ezért a halamzelmélet nyelvén ez a formula végtelen konjunkció, és mint ilyen, nem lehet tétel
Egy fontos dolgot azonban nem felesleges tisztázni: a halmazelméletben interpretálható a metanyelv, a metanyelvi, computable logika, sőt, a végtelen, nem-effektív logika is, és a magasabbrendű logika is.
Ezért azután elmondhatjuk, hogy bár Con(ZFC) nem tétel ZFC-ben (most mint metanyelvi formula), minden ZFC-modellben reprezentálhatunk olyan logikát, amelyben már tétel, és ezt igazolhatjuk is elsőrendű tárgynyelven.
Gondoljunk arra, hogy a sémákat, végtelen bizonyítás-hosszokat rendszám szerint indexeljük, ami csak halmazelméleti háttérrel lehetséges.
-->Ha pedig egy logikát reprezentálni lehet ZFC(+fi)-modellben, és ZFC(+fi) konzisztens, akkor a reprezentált logika is konzisztens. Ez igaz a metanyelvi logikára is, amelyben ZFC konzisztenciája tétel!
A reprezentáció egyfajta halmazelméleti (néha algebrai) szemantikát jelent (pl. Tarski-Lindenbaum-algebra), vagyis egyfajta speciális teljességi tulajdonságot a logikára.
Arról van szó, hogy a formulákat halmazokkal (elsőrendben) identifikáljuk, majd igazoljuk, hogy a levezetés egybeesik a reprezentáció következményfogalmával (ez így eléggé talányos, de szívesen kifejtem - viszonylag komplikált, de nem nagyon).
Itt ugye valami olyasmi van, hogy tetszőleges rögzített véges rész esetén bizonyítható ZFC-ben hogy ez a véges rész konzisztens? Csak mert ha egy elmélet (itt most ZFC) minden véges része konzisztens, abból következne, hogy az egész is, az pedig ZFC-ben nem bizonyítható (ha ZFC konzisztens).
Igen, sőt, ZF-ben is. Ez Montague-Lévy. Következik, hogy a ZFC nem axiomatizálható végesen (de rekurzívan igen).
Valami olyasmi okozza ezt a jelenséget, hogy a végesség az ZFC-ben egy definiált fogalom, a metanyelvi szinten épített levezethetőségben pedig nyilván a "valóságban" lévő végességfogalommal dolgozunk?
Pontosan, én is így látom. Az a formula, amely a minden véges részek modelljének létezését mondja ki, a halmazelmélet nyelvén, tárgynyelvi formulával nem írható le. Ezért a halamzelmélet nyelvén ez a formula végtelen konjunkció, és mint ilyen, nem lehet tétel (a klasszikus elsőrendű logikában).
Másrészt ez azért igen plauzibilis, hihető állítás: a ZFC ellentmondásmentes! És ezt ZFC önmagáról a metaelméletben igazolja. Azonban - és erről is írtam már itt - a rekurzívan (azaz végső soron végesen) megfogalmazható, formulák felett kvantifikálható formulák "logikája" nincs rendesen megcsinálva (pl. teljességi, kompaktsági tétel hiánya).
Hasonló érveléseket érdekes módon pl. a Hajnal-Hamburger is elfogad (Függelék: Metatételek). A végtelen logikában Computable Formulas és Computable Logic néven említik ezt a logika-fragmentumot (pl. J. Barwise), és a Proof Theory-ban is foglalkoznak vele (végtelen, de rekurzív rendszámhosszú, effektivizálható) bizonyítások.
Mások, az algebrai logikában, az alpha-rendű formulasémák logikájáról beszélnek, szemantikát is adnak neki(!), alpha általában megszámlálható rendszám.
Gondolj bele: ha ZFC omega lépésben igazolja magáról, hogy konzisztens (Gödel tétele ellenére), akkor micsoda világ nyílhat meg omega^omega^omega...:= epsilon_0, sőt még több lépésben?:)
"vannak alternatív, bár a ZFC-hez kivétel nélkül hasonlító halmazelméletek"
Meg vannak olyanok amik éppen a regularitási axioma tagadását használják.
Van a Csirmaz-féle forszolás jegyzet 31. oldalán a ZFC minden véges része ellentmondásmentes. (Tükrözési el és környéke) Láttam, hogy ezt ismered jól és írtál is itt róla. Itt ugye valami olyasmi van, hogy tetszőleges rögzített véges rész esetén bizonyítható ZFC-ben hogy ez a véges rész konzisztens? Csak mert ha egy elmélet (itt most ZFC) minden véges része konzisztens, abból következne, hogy az egész is, az pedig ZFC-ben nem bizonyítható (ha ZFC konzisztens).
Valami olyasmi okozza ezt a jelenséget, hogy a végesség az ZFC-ben egy definiált fogalom, a metanyelvi szinten épített levezethetőségben pedig nyilván a "valóságban" lévő végességfogalommal dolgozunk?
a halmazelméletben nincs ilyen erős intucióm, hogy "valóságban létező" dolgokról beszélnénk. Például vannak elfogadott, regularitási axióma tagadásával építkező, vagy az AC-vel nem konzisztens ZF+AD axiómarendszerek. Ez valahogy nekem azt sugallja, hogy itt nincs a dolog mögött egy "objektív valóság" amit le akarunk írni.
Kedves elsoszulott, gondolj arra, hogy a halmazelmélet "minden létezőről" kíván állítani valamit. Ez persze nem jelenti a Zermelo-Fraenkel + AC azonnali legitimációját, alátámasztását, és vannak alternatív, bár a ZFC-hez kivétel nélkül hasonlító halmazelméletek.
A kiinduló intuíció az, hogy ha a matematikai Univerzumról beszélsz (amely akár a fizikaival szoros kapcsolatban is lehet), mit vársz el a benne lévő dolgoktól, milyen képességekkel bírjanak. Pl. a Replacement azonnal adódik, vagy a Separation séma. Vagy a pár-axióma, vagy az üres halmaz léte, unió-axióma, és lehet érvelni igen meggyőzően metafizikailag a Hatványhalmaz-axióma mellett is. És az AC mellett is.
Végül kialakul a ZFC. Specifikus metafizikai megfontolásokból korlátozhatunk is, mondjuk a Separation csak egyszerű formulákra legyen igaz, vagy a Powerset csak rekurzívan definiálhatókra... Ezek szintén legitim, védhető álláspontok.
--------------
Ami az újabb axiómákat illeti, ezek metafizikai elemzése kortárs probléma, jelenleg folyik. Az Axiom of Determinacy-t említetted. Szorítkozzunk erre. Az AD mellett három érvet szokás felsorakoztatni.
1. szépek és gazdagok a következményei. Minden valóshalmaz Lebesgue-mérhető, mondjuk. Jól használható a kortárs, mély elméletekben (Descriptive Set Theory).
2. Bizonyos végtelen logikára De Morgan-szabállyal ekvivalens. Maga az AD is lehet végtelen logikai axióma. És a De Morgan-szabályt szeretjük egy logikában.
3. Az AC nagyon nemkonstruktív, és a nem-determinált játék, amelyet egyszerűen szolgáltat, is az. Például nem definiálható rekurzívan.
Ha viszont konkrét determinálatlan játékot megadni sosem fogunk konkrétan, miért kellene elfogadni a létezését? Ez viszont az AD-t jelenti.
-------------------
Arra azonban felhívpm a figyelmed, hogy az AD ZF-ben végtelen Woodin-számossággal ekvikonzisztens, azaz konzisztenciájában kevésbé bízhatsz, mint az AC-jében, melyek relatív ellentmondásmentessége ZF-ből jön.
Volt régebben sashimivel egy beszélgetésed amiben úgy érveltél, hogy ha egy természetes számokról szóló állítás ellenpéldával cáfolható lenne, de PA-ban (vagy akár ZFC-ben) eldönthetetlen, akkor ez egy "metabizonyítás" arra, hogy a "valóságban" igaz. Ez az érvlés számomra elfogadható, természetes számok, Turing-gépek, véges gráfok stb esetén.
Viszont a halmazelméletben nincs ilyen erős intucióm, hogy "valóságban létező" dolgokról beszélnénk. Például vannak elfogadott, regularitási axióma tagadásával építkező, vagy az AC-vel nem konzisztens ZF+AD axiómarendszerek. Ez valahogy nekem azt sugallja, hogy itt nincs a dolog mögött egy "objektív valóság" amit le akarunk írni.
Én a MathSciNet-ben néztem. Ez nem jelenít meg mindent, csak a jobb újságokat figyeli ebből a szempontból és nagyjából csak 2000 után. Megnézhettem volna a Web of Science-ben is, de az is szelektál.
A 7 cikk nagyon jó egy 25 év alattinak, szóval gratulálok ismeretlenül, de persze egy szám önmagában keveset mond. Egész pontosan ha valakinek kevés cikke vagy hivatkozása van (a szakmai korához képest), akkor gyanús, hogy nem túl jó az illető, de ha sok cikke vagy hivatkozása van, attól önmagában még nem lesz jó.
"(25 év alatt 8 cikk, ezekre 6 nyilvántartott hivatkozás)"
Kíváncsiságból megnéztem egyik csoporttársam publikációit, 7 cikk és 7 hivatkozás (és még közel sem 25 éves). Nem lehet, hogy ahol Te kerestél ott nem jelenít meg mindent? (Én olyan 40 körülire becsületem volna az eredményt)
De tényleg nincs nem algoritmizálható, általános érvényű bizonyítás?
Nem tudom, milyen az algoritmizálható bizonyítás. Más szóval nem értem a kérdést.
nemnagyon gondoltam ezt át, de épen ebben kérek segítséget..
Egyrészt jó a kérdéseket átgondolni, mielőtt felteszed. Másrészt szerintem délibábot kergetsz. A matematikai bizonyításokra nincs recept, nincs bölcsek köve, nincs királyi út. Vannak dolgok, amiket be tudunk bizonyítani, és vannak, amiket nem. Pl. ha könnyen lehetne látni tetszőleges halmazról, hogy üres (ami egy pofonegyszerű dolognak tűnik), akkor lenne könnyű bizonyításunk a Fermat-sejtésre, illetve gyorsan el tudnánk dönteni a Riemann-sejtést. Ha kapsz egy halmazt rajta egy kétváltozós művelettel, akkor vagy könnyű belátni, hogy csoportot kaptál, vagy nem. Pl. ha veszel egy konkrét nagy n egész számot (pl. 2^2^2^100+1), és tekinted az n-hez relatív prím maradékokat a szokásos modulo n szorzással, akkor nem olyan egyszerű eldönteni, hogy csoportot kaptál-e. Ebben az esetben akkor és csak akkor kaptál csoportot, ha n prím, és ezt kell eldönteni.
Tényleg köszi a választ, hasonló példát láttam véges gráfokra nemfő ultraszűrővel. Érdekes.
De tényleg nincs nem algoritmizálható, általános érvényű bizonyítás?
Mondjuk ami kb. úgy kezdődne az előbbi példámra: az irracionális számok halmaza egy nagyon ostoba halmaz, elemei egy olyan tulajdonsággal bírnak, ami semmilyen szempontból sem árulkodik az elemek közötti relációkról, márpedig a műveleti zártság egy olyan állat, amely a csoport összes eleme között fennálló relációról tudni akar... nemnagyon gondoltam ezt át, de épen ebben kérek segítséget..
(Érdekességként: sajnos egyre kevésbé értem az absztrakt matematikát, így érthető módon nagyon meglepett, hogy a közelmúltban az egyik matematikus ismerősöm, aki ilyenekkel foglakozik, és rendkívül beleásta magát a témába, arra kért, hogy magyarázzam el neki az elektrodinamikát. Ez hogy lehet???, hiszen az elektrodinamika annyival primitívebb, mint a modellelmélet, - egy kis többváltanal. egy kis algebra, meg egy kis diffgeo és ezzel kifújt, tényleg lehetséges, hogy a tudomány jeles művelői ennyire eltávolodtak volna egymástól???)
És mi lehet az oka (heurisztikusan), ha az ultraszorzat kivezet a modellosztályból?
Ezt is lehet gyakran ellenpéldával bizonyítani. Pl. ha minden modell véges az osztályban, de minden n természetes számra van legalább n méretű modell az osztályban, akkor az ultraszorzat kivezet az osztályból. Ugyanis minden n-re vegyünk egy legalább n méretű modellt, legyen ez Mn. Vegyük az Mn-ek egy nemtriviális ultraszűrő feletti ultraszorzatát, legyen ez M. Tetszőleges k-ra elsőrendű formulával kifejezhető, hogy egy modellben legalább k elem van, legyen Fk egy ilyen formula. Mivel n>k esetén Fk igaz Mn-ben, ezért Fk igaz M-ben is. Ez mutatja, hogy M végtelen, tehát a feltevés szerint nincs az osztályban.
Igazából végtelen gráfokról nem sokat tudok, de végesekre lehet mondani úgy is, hogy nincs olyan vágás ami 0 élt tartalmaz. Azaz V minden nem üres valódi részhalmazára lézetik benne egy csúcs hogy létezik ehhez a részhalmaz komplementerében egy csúcs, hogy össze vannak kötve éllel.
Összefüggőséget én úgy mondanám, hogy van olyan v eleme V, hogy v-ből minde x eleme V-be vezet út.
Azt pedig hogy v-ből vezet út x-be azt úgy mondanám, hogy van egy n+1 eleme omega (ez lényegében annak felel meg, hogy természetes számok egy kezdőszelete, omega a legkisebb limeszrendszámot jelöli, erről majd tudsz olvasni) és egy n+1-en értelmezett f függvény, melyre f(0)=v, f(n)=x és minden k eleme n esetén (f(k),f(k+1)) eleme E.
Az az ötletem, hogy egy olyan H halmaz létezését kellne állítani, ami tulajdonképpen egy gráfsorozat: az első elem egy x pont, a második elem az x-pont és egy vele szomszédos y pont, a harmadik pont egy olyan részgráf, amelybe egy eddigiek valamelyikével szomszédos pontot vettünk hozzá... és H halmaz eleme lesz végülis maga az eredeti gráf is.
Tehát (V,E) összefüggőségének formalizálása:
Minden x eleme V-re létezik H, hogy: x eleme H, és ((minden h eleme H-hoz van g eleme H, hogy kibővíthető(h,g) ) vagy (h = V))
ahol a kibővíthető(h,g) -t ki kell fejteni eészletesen, azt jelenti, hogy h-hoz egy csúcs hozzávehető, amelynek van éle valamely h-beli csúccsal, és így kapjuk g-t.
