A halmazelmélet metaelmélete formulákra mond ki állításokat. A definiáló formulák, a halmazelmélet legfontosabb metaelméleti axiómája szerint, éppen az osztályokat definiálják, azaz {x: fi(x,p)} alakú minden osztály, akár halmaz, akár proper class.
Van olyan - szerintem elhibázott - felépítés, amely a szintaxisból indul ki, és akkor paraméter persze nem lehet akármilyen halmaz (esetleg valódi osztály). Ha azonban p bármi lehet, és minden definiáló formula felett univerzálisan kvantifikálva mondjuk ki a Replacement-et, akkor metaelméletileg a Replacement másodrendű formájához jutunk.
-----------------------
Nem igazoltam ZFC2-vel kapcsolatban egy tételt. Éspedig azt, hogy ha alpha<első erősen elérhetetlen, és V_{alpha}|=ZFC, akkor alpha nem lehet ZFC-ben kifejezhető.
Végül még egy pontosító megjegyzés. A gyenge kategoricitás fogalmát használtam, de részleges elemi ekvivalenciáról beszéltem. Ez úgy értelmes, hogy ZFC2 modelljeinek számos részmodellje mindenképpen izomorf (sőt, V-vel is), hiszen a különbség csupán a nagy számosságok létezésében van.
(Az izomorfiát a paraméteres elmélet elemi ekvivalenciája persze sokszor kifejezi, hiszen az a definíciók lezárása; de nem mindig, hiszen pl. a kvantor utalhat a hierarchia magasabb szintjeire is.)
Írtál talán éppen ebben a topicban régebben a végesség definícióiról (pl Dedekind-végesség).
Lehet; a Dedekind-végesség az, amikor nincs bijekció valódi résszel. A másik végesség-fogalom az, amikor nincs bijekció omega valamely elemével.
A kettő csak az AC alatt ekvivalens, ez Cohen; készített végtelen, de Dedekind-véges halmazt ZF+~AC-modellben.
Meg nemrégiben említetted, hogy ZFC+~con(ZFC)-nek a modellje az valahogy azért létezhet, mert az ellentmondás levezetésének Gödel-száma nem sztenderd természetes, így "igazából nem véges".
Igen. Sok szempontból egyébként viselkedhet egy végtelen halmaz végesként (hipervéges halmazok, pl. van maximális elemük mindig, és ez a fogalom teszi lehetővé a nemsztenderd analízisben az integrálást).
Ez akkor valahol azt jelenti, hogy az omegával definiált végességfogalmunk nem jól írja le a "valóságos" végességet, és emiatt ZFC levezetésnek hisz olyan dolgokat, amik valójában nem azok?
A természetes számokkal definiált végességfogalom az, ami nem jól írja le.
omega más, mert elemei csak halmazok, az a végesség ugyanaz mindig. A természetes számok viszont egy PA-modell definiált elemei. A véges természetes számok omega elemeivel nem mindig esnek egybe.
Másrészt a Helyességi tétel (azaz a teljességi könnyű iránya) transzfinit indukcióval belátható szerintem a rendszám hosszú levezetésekre is, tehát mégsem teljesen értem, hogy a fenti dolog hogyan i lehetséges.
Tehát a Helyességi azt mondja ki, hogy ha Gamma|-fi, akkor Gamma|=fi. Ez a bizonyítás mindig a levezetés hossza szerinti indukcióval megy.
A mi esetünkben azonban nem rendszám-hosszú levezetések vannak, hanem természetes szám-hosszú levezetések. Ezeknek a levezetéseknek a rendtípusa más: bár van konklúzió, de nincs limeszrendszám bennük, hanem a nemsztenderd végtelen számoknak végtelen leszálló sorozatot alkotnak. Tehát végigmész a végeseken, és utána végtelen sok végtelenen.
Ezen a levezetésen a formulaindukció hagyományos formáját (in: Csirmaz: MatLog) alkalmazhatod, és ez elegendő. Hiszen az éppen a természetes számok szerint működik. Azt gondolod, hogy hát ez a véges formulaindukció, de nem mindig, mert nemsztenderd PA-modellen is működik (mondhatni, hipervéges formulaindukció).
Annyi persze igaz, hogy a teljes indukció éppen a jólrendezés a PA-modellek elemein, csakhogy nemsztenderd esetben csupán belső halmazokon.
Írtál talán éppen ebben a topicban régebben a végesség definícióiról (pl Dedekind-végesség). Meg nemrégiben említetted, hogy ZFC+~con(ZFC)-nek a modellje az valahogy azért létezhet, mert az ellentmondás levezetésének Gödel-száma nem sztenderd természetes, így "igazából nem véges". Ez akkor valahol azt jelenti, hogy az omegával definiált végességfogalmunk nem jól írja le a "valóságos" végességet, és emiatt ZFC levezetésnek hisz olyan dolgokat, amik valójában nem azok? Másrészt a Helyességi tétel (azaz a teljességi könnyű iránya) transzfinit indukcióval belátható szerintem a rendszám hosszú levezetésekre is, tehát mégsem teljesen értem, hogy a fenti dolog hogyan i lehetséges.
"lehetségesnek tartom a másodrendű, és a metaelmélet azonosítását"
First Order Logic üres elméletéhez (Kalish-Montague, 1965), amelynek konzisztenciája "finit" módon igazolható pl. a Cut Elimination tételből, és amely, ha végtelen modellünk van, lényegesen eldönthetetlen (Church tétele)
elsoszulott, erre a tételre felhívom a figyelmedet: az üres elmélet lényegesen nemteljes - mint a Peano-aritmetika, I. Gödel-tétel -, azonban az biztos, hogy ellentmondástalan (míg a PA-nál ezt a II. Gödel-tétel miatt nem tudhatjuk).
Ez is mutatja, hogy a két elmélet szerkezete között alapvető különbség van: mindkettő "transzcendens" számunkra, megismerési képességünk kudarcot vall; azt azonban az egyiknél igazoljuk, plauzibilisan (finit módon), hogy a 0=1 nem tétel (nincs a felsoroló függvény értékkészletében), míg a másiknál ez sem lehetséges (csak nem-finit módon).
Ez egy bonyolult elmélet, de ez is bizonyítja, hogy felsorolható halmazok szerkezete között lényeges különbségek lehetnek.
A másik érdekes tény, hogy miért erősen elérhetetlen ez a számosság, mikor konzisztens, bár ZFC-ben kifejezhetetlen, hogy létezik EE alatt is alpha, V_{alpha}|=ZFC
Ezt nem fejtettem rendesen ki.
Azért nem R2-modell (ZFC2-modell) V_{alpha}, alpha<EE (EE: erősen elérhetetlen), de V_{alpha} ZFC-modell, mert alpha ilyen tulajdonsága ZFC-ben nem igazolható, mert ki sem fejezhető ZFC-ben. Ugyanis ezek a számosságok, amelyek erősen elérhetetlen-sokan (pontosan: closed unbounded-nyi sokan) vannak EE alatt, EE segítségével definiálhatók csak.
(V_{alpha} elemi része is V_{EE}-nek nem csak ZFC-modell.)
Ezért az sem bizonyítható EE nélkül, hogy V_{alpha} zárt R2-re. Akkor viszont ez nem is lehet bizonyítható, mert van EE, amely tehát nagyobb, mint alpha. Ellentmondás, mert R2 az egész (halmaznyi) univerzumot generálja, amelyben az EE-nek is benne kellene lennie. Az viszont persze igazolható, hogy V_{EE} R2-modell, hiszen belül, a modellben - van egy kumulatív hierarchia, és minden a világban is EE alatti, V-ben persze más definíciójú halmaz, V_EE-ben is benne van, és EE definíciója nem igényli nála nagyobb számosság előzetes definícióját.
A másik jegyzet felépítésében 12 axióma és MP+GEN.
Melyik másik jegyzet?
Csirmaz valóban nagyon kevés axiómát használ. Én a Smullyan-könyv axiómáit szoktam használni a First Order Logic üres elméletéhez (Kalish-Montague, 1965), amelynek konzisztenciája "finit" módon igazolható pl. a Cut Elimination tételből, és amely, ha végtelen modellünk van, lényegesen eldönthetetlen (Church tétele), de felsorolható (Gödel teljességi tétel). Ezek a következők:
I. Nulladrendű sémák:
A->(B->A)
(A->(B->C))->((A->B)->(A->C))
(~A->~B)->(B->A)
Ezek helyett az Hilbert-Ackermann-axiómákat is használják.
II. Elsőrendű sémák:
minden x (A->B) -> (minden x A -> minden x B)
A->(minden x A), x nem fordul elő szabadon A-ban;
létezik x (x=f), x nem fordul elő f-ben;
(x=f)->(A->A*), ahol A atomi, és A* A olyan módosulása, hogy x előfordulását f-fel helyettesítjük.
A ZFC+Replacement2 (utóbbi minden függvényre egyszerre, ezért másodrendű) önmagában igazolja ZFC konzisztenciáját.
A Replacement2 egy olyan formula, amely minden osztályon univerzálisan kvantifikál. Ez azt jelenti, hogy minden halmazt bármely operáció halmazra képez. Hibás ezt úgy megfogalmazni, hogy "minden függvényre egyszerre", mégpedig azért, mert egy függvény definíció szerint halmaz (rendezett pároké), és akkor Separation-nel a párok második elemei definiálhatók, mint halmaz részosztálya, tehát halmazt alkotnak. Vagyis ehhez nem kell másodrendű Replacement, elég az elsőrendű (sőt, a Zermelo-rendszer).
A második kiegészítés, hogy ez a koncepció Zermelo eredménye (Fundamenta Math., 1930). Ő a Regularitási Axiómát, sőt atomokat ("urelement") használt. A Kumulatív Hierarchiát építette fel, és akkor persze nem lehet leszálló Löwenheim-Skolem-tétel, hiszen minden szintjén a KH-nak _minden_ lehetséges, halmazokra megszorított operációját vesszük.
Véleményem szerint hasonló (de nem ugyanez, ezt mindjárt kifejtem) történik, ha a Replacement ugyan elsőrendű séma, ám paraméteres definiáló formulákra is alkalmazzuk. Ezekben az esetekben a számosságok az igazi számosságok, hiszen V-ből nem hagyhatunk el elemet: minden V-beli függvény létezése biztosított, mert minden osztályt (paraméterrel) definiálunk, amit csak lehet - hiszen minden halmaz lehet paraméter.
Másodrendű esetben ahelyett, hogy külön vennénk a Replacement eseteit, osztálypredikátummal mondjuk ki. És ez erősebb: engedtük, hogy legyen valódi osztály, mint objektum, a modellben, különben nem lenne értelme az osztálypredikátum használatának.
Ha viszont valódi osztályok objektumokká válnak, akkor a kvantor hatóköre, és a paraméterezés lehetősége gazdagodik. Így már sokkal több függvényt posztulálhatunk, hiszen a paraméter bármilyen objektum lehet - így, most már, valódi osztály is. Ugyanígy, ha azt mondjuk, hogy "minden x F(x)", akkor az x-ek között kell engednünk valódi osztályt.
Zermelo tétele, hogy ha ZFC2-ben vagyunk, annak modelljei, ha még feltesszük, hogy nincs erősen elérhetetlen számosság, izomorfak az <V{kappa erősen elérhetetlen}, 'eleme'> halmazmodellel, ahol az kappa az első erősen elérhetetlen V-ben. Feltehetjük azt is, hogy vannak erősen elérhetetlenek, és ilyenkor azok benne lehetnek ZFC2 modelljeiben.
Nagyon érdekes megállapítás tehát, hogy egyfajta "gyenge kategoricitás" teljesül, mert egy felsorolhatatlan halmazelméleti formulahalmaz igazságértéke ugyanaz minden ZFC2-modellben, pl. a kontinuumhipotézis is, de valószínűleg felsorolhatatlanul sok meg nem.
A másik érdekes tény, hogy miért erősen elérhetetlen ez a számosság, mikor konzisztens, bár ZFC-ben kifejezhetetlen, hogy létezik EE alatt is alpha, V_{alpha}|=ZFC (skolemizáció).
A Kumulatív Hierarchia építése során tetszőleges fi formulával jellemezhető, azaz már meglévő struktúrájú halmazt képes R2 magasabb szinten reprodukálni - hasonló ez a Reflection Principle-höz (Lévy felismerése volt, hogy a Reflection Principle és a Replacement lényegében ekvivalensek ZF-ben. Ebből persze világos, hogy R2 akkor ZFC-modellt is tud készíteni halmazban V elméletéből, mert V-ben "igaz" ZFC).
Reguláris limeszszámosság (amely erős limesz is) azonban, mint tudjuk, a Kumulatív Hierarchia ZFC-ből felépíthető szintjein nem lehet, és R2 sem tud ilyet produkálni, mert V_{erősen elérhetetlen}-ben R2 könnyen láthatóan igazolható.
Amiatt, hogy a ZFC2 (halmaz)modelljei <V_{kappa}, 'eleme'> alakúak, úgy tűnhet, hogy valódi osztályok nincsenek absztrakt objektumként a modellben - ez, mint mondtam, nem igaz, csakhogy azok között 'eleme' reláció nincs, csak az abból definiálható 'része' reláció.
Ackermann halmazelmélete aztán az 'eleme' relációt valódi osztályok között is értelmezte - bizonyos értelemben az ő halmazelmélete ezért a ZFC2 fejlesztése.
ZFC2-ben olyannyira vannak valódi osztályobjektumok (ún. osztályrealizmus), hogy egy másik halmazelmélet, a Morse-Kelley-axiómarendszer igaz a modelljein. Azonban a Morse-Kelley osztályrealista elsőrendű elmélet, amely nem konzervatív a ZFC felett (halmazokra nézve sem - bár egyetlen tételt sem tudok, amely itt igaz, ZFC-modellben azonban független!).
Felmerült még az NBG, amely szintén osztályrealista, de konzervatív halmazokra ZFC felett (Novak, 1948). Ez egy gyengített ZFC2-nek lehetne a modellje, ahol a Comprehension-ben paraméterek csak osztályok lehetnek, a kvantifikáció csak halmazok felett engedélyezett.
Világos, hogy ha a Comprehension-t ílyen restritkív formában engedélyezzük, akkor jóval kevesebb osztályunk (közöttük halmaz) lesz; így nem P(V_{EE}, hanem Def(V_{EE}) lesz a modell. Másrészt elképzelhető, hogy metaelméleti vagy metafizikai okból a Replacement2-őt úgy korlátozzuk, hogy az operációkat defináló formulák közül letiltunk valamennyit. Ekkor NBG, de nem MK-modellt nyerünk.
NBG-re, MK-ra igaz a Löwenheim-Skolem; megszámlálható modelljeik is vannak.
Lényeges, hogy olyan modellelmélet is elképzelhető, amely nem halmazmodellt igényel. Én lehetségesnek tartom, hogy ZFC2 modellje ekkor egyszerűen a Kumulatív Hierarchia, azaz, a Regularitási Axióma alatt, a V legyen.
Ha metaelméleti módon formulák felett kvantifikálunk, lehetségesnek tartom a másodrendű, és a metaelmélet azonosítását.
Szokásos elsőrendű logikát legkevesebb hány axiómával lehet felépíteni? Megnéztem két különböző Csirmaz-jegyzetet, az egyenlőség axiómáin kívül az egyikben 5axióma van és levezetési szabályoknál MP van, de GEN helyett valami más. A másik jegyzet felépítésében 12 axióma és MP+GEN.
Lehet azért van itt több, mert itt ténylegesen igazolja a Gödel teljességi tételt és így volt kényelmesebb.
szeretek mély dolgokon gondolkodni, de néha megcsap a végtelen mélység reménytelensége, és ez végtelen szomorúsággal tölt el. Ezért mindig kapaszkodok a világunk gyakorlati konkrétumaiba.
Számomra a filozófia "végtelen mélysége" inkább reményt ad.
Ugyanígy használhatatlan lehet, hogy ha a Goldbach-sejtés mondjuk hamis, és ez PA-igazolható, és k az első egy jóldefiniált rendezésben, hogy a Goldbach nem teljesül.
Bocsánat, a példa nem jó, a mondanivaló igen. Olyan példa kell, hogy tétel: az F tulajdonságú számokból véges sok van...
A diákoknak feladatként szoktam feladni: ha existence property van, akkor Gödel-tétel nem lehet a logikában (egyik sem).
Mármint az adott konstruktivista logikában (konkrétan, a Hilbert-kalkulus egy változata, finitizmus, a PRA-n alapul).
Ugye itt az ep fontosságát általánosságban is(!) az adja, hogy mindig van effektív definíció tételhez (nem-konstruktivista logikában is).
------>Általában azonban az ep a Gödel-tétel hiányát NEM implikálja.
Először is, halmazelméleti, vagy metaelméleti tétel, hogy "létezik hagyományos rendezésben első k szám, hogy k a Gödel-száma Peano-független formulának". Ez egyúttal definíciót is jelent, hiszen egyértelmű. De ez használhatatlan, hiszen nem kapjuk meg k értékét.
Ugyanígy használhatatlan lehet, hogy ha a Goldbach-sejtés mondjuk hamis, és ez PA-igazolható, és k az első egy jóldefiniált rendezésben, hogy a Goldbach nem teljesül. Ez is definíciót ad meg.
Ezért az ep általános esetben nem elegendő arra, hogy ne legyen Gödel-tétel, hiszen a független formulák halmaza nem válik rekurzív függvény értékkészletévé.
Mivel a véges természetes számok felsorolhatók, persze többféleképpen is, egy Strong Existence Property kell: f rekurzív függvény, amely a modellt felsorolja, és f értékkészletében a felsorolás szerint rendezést definiálunk, és a tételnek azt kell kimondania, hogy "az Rf szerint rendezett modellben az n-edik elem F tulajdonságú", ha tétel, hogy
'létezik x F(x)'.
Azt szeretnénk, persze, hogy f a véges természetes számok hagyományos felsorolása legyen, +1 szerint.
Van olyan logika, amely ezt tudja.
Másrészt az ep sokkal gyengébb is lehet, ha a modell elemei rekurzívan nem sorolhatók fel. Ilyen egy ZFC-modell, mondjuk. De ekkor is lehet az ep viszonylag értékes: a definíció bonyolultsága legyen a legkevésbé komplex. Ilyen rendszert viszont nem ismerek, ez csak elméleti lehetőség.
Végül meg kell jegyezni, hogy existence property-nek azt a nyilvánvaló elvárást is szokták hívni, amikor az egzisztenciális kvantor érvényessége esetén (F tulajdonságra) igazolható a metaelméletben, hogy a modellben egy absztrakt objektum F tulajdonságú.
Ebben az értelmezésben már Hilbert számára világos volt a kapcsolat az AC-vel.
"Rendben, de mi az, hogy "ugyanúgy"? Létezik, vagy nem? És ha igen, akkor a téridőnkben, vagy azon kívül, egy platóni világban? Anyagi értelemben létezik, vagy a tiszta idea létezik?
Vagy egyik sem, és egy más álláspontot foglalsz el?"
Én álláspontom hogy potenciálisan létezik, olyan értelemben, hogy ha egy természetes szám ellenpélda egy állításra, akkor ha sikerül kellően erős eszközöket csinálni, amikkel már ekkora számokkal is számolhatunk, akkor ez ki fog derülni.
"És olyan nagy számnál, amit le sem írhatsz, beszélhetünk a teljes indukció igazságáról?"
"(a tudatod számára) hozzáférhetetlen"
Persze, sőt amit a jelenlegi legjobb számítógépeink sem tudnak kezelni azon számokon is számomra van értelme a teljes indukció igazságának.
"akkor mi van egy olyan vitatott entitásnál, mint a szuperkompakt számosság?"
Nem tudom az micsoda, így nem tudom mit lehet vitatni rajta.
"És ha olyan nagy az a véges gráf, amitől a Hamilton-kör keresése polinom időben van, hogy több csúcs van benne, mint atom a Világegyetemben?"
Ez egy gyakorlati szempontból egyelőre nem hasznos, de óriási elméleti jelentőségű eredmény lenne.
És azt mondod, hogy ha remekül elvagy filozofálás nélkül, akkor miért is kellene filozofálni?
Pontosítok: Csak a filozófia bizonyos területén vagyok el filozófálás nélkül (tudományfilozófia) ott is csak azért, mert jelenleg elégedett vagyok azzal az eredménnyel amit az eddigi filozofálás eredményeképpen kikristályosítottam. A filozófia más területeit nem tartom közel sem ennyire lezártnak.
Bár igaz ami igaz, van bennem egy ilyen természetes védekező mechanizmus: szeretek mély dolgokon gondolkodni, de néha megcsap a végtelen mélység reménytelensége, és ez végtelen szomorúsággal tölt el. Ezért mindig kapaszkodok a világunk gyakorlati konkrétumaiba. Enélkül a kapaszkodás nélkül elvesznék, ez a gyakorlati - elméleti kettősség kell a kiegyensúlyozott életemhez. Ezért lettem mérnök/programozó.
Két hibát követtem el ezzel a mondattal. Egyrészt állítmányként a 'létezik'et adtam meg, pont azt a szót, amelynek az értelmét megkérdőjelezem az adott kontextusban, vagyis hibásan belementem abba a játékba, mintha erős értelmet tulajdonítanék a szónak. A másik hiba az volt, hogy nem kötöttem ki világosan, hogy a matematikai objektumokkal kapcsolatos álláspontomat fejtem ki, általánosságban a dolog nálam is határozatlanabb és bonyolultabb. (Pl. a saját 'öntudatomról' gondolkodtam az utóbbi időben; ez egy nagyon ingoványos terület; odáig jutottam csak el, hogy egy bizonyos naív, elsőre jónak tűnő modelt kizártam...)
Tehát az állítás helyesen:
Ha egy matematiai objektumot/elméletet el tudok gondolni, szépnek vagy hasznosnak találom, akkor szívesen foglalkozom vele, használom. Én úgy gondolom egyéb kritériumra nincs szükségem. Ha valaki úgy gondolja, hogy nekem egyéb kritériumokra kellene szükségem legyen, hogy sikerrel alkalmazzak egy matematikai elméletet arra, hogy egy program gyorsabban fusson, és ebből nekem örömem származzonm és a csládomat eltartsam belőle, akkor azt az állítást az állítónak kellene igazolnia felém. Tehát kb. úgy vagyok vele, mint Laplace, amikor megkérdezték, hogy és isten hol van ebben a modellben? 'Uram, arra a hipotézisre nem volt szükségem.'
De mondom, ez nem jelenti azt, hogy nem szoktam gondolkodni filozófiai kérdésekena filozófia egyéb témáiban. (elmefilozófia, vallásfilozófia, öntudat kérdése stb...) A matematika filozófiájával (illetve a tudományfilozófiával) kapcsolatos hozzáállásomban vannak csak ilyen egész erős állítások, a többi területen sokkal határozatlanabb vagyok.
A kérdéseden biztos fogok még gondolkodni, szóval nem zárnám le, egyelőre röviden ezt a választ tudom adni:
Mert az létezik, amit el tudunk gondolni.
Megint egy elképesztően erős állítás (gondolom, azt akarod mondani, hogy ha létezik, el tudjuk gondolni, nem azt, hogy ha el tudjuk gondolni, akkor létezik - bár utóbbi is igazi gond a mai metafizikában!). Olyasmi nem létezik, amit nem tudunk elgondolni?
Miért nem? A húrelmélet többlet-térdimenzióit el tudjuk gondolni? A matematikai elgondolás már elég?
És mi van egy végtelen logikai, nemrekurzív formulával, ami "igaz", de persze elgondolhatatlan számomra? Van egyáltalán felsorolhatatlan számhalmaz? Mert az eléggé elgondolhatatlan. Vagy az elgondolhatóságnak vannak fokozatai (nyilvánvaló, konstruktív matematikai, nemkonstruktív matematikai, stb.)?
Ha mondjuk evolúciós eredménnnek tekinted a logikát, nagyon könnyen lehet, hogy bizonyos logikai igazságok (tautológiák) tautológia voltát nem tudjuk elgondolni, de egy nálunk fejlettebb faj, pl. a Szíriusznál, már igen. Az ő számára ismeretelméletileg (nem kísérletileg) evidens, hogy a fény sebessége nem is lehet nagyobb, mint c..
Ha filozófus akarsz lenni - ha csak egy percre is - meg kell magyaráznod, hogy miért nem érdekel Téged a létezés.
Jó, talán túloztam, amikor ennyire sarkosan lezártnak tekintettem egy talán teljességében lezárhatatlan filozófiai kérdést.
Talán lehetne úgy fogalmazni, hogy a konvencionalizmus közel áll a gondolkodásmódomhoz és az élethelyzetemhez is.
A kérdéseden biztos fogok még gondolkodni, szóval nem zárnám le, egyelőre röviden ezt a választ tudom adni:
Mert az létezik, amit el tudunk gondolni. És azt akarjuk elgondolni, amit hasznosnak vagy szépnek vagy olyan gyümölcs megtermékenyítőjének gondolunk, ami majd hasznos lehet. Hogy mi a szép, mi okoz örömet, azt nehéz megmondanom. Hogy mi a hasznos, az nyilván kivezet a filozófia köréből, itt már a mindennapi élet területén vagyunk: egy program gyorsabban fut, a banki konstrukciók közül ki tudom választani amelyik a legkevésbé veri át a családomat, vagy netán még jól is járunk vele, stb...
Én itt nem látok semmi filozófiailag nyugtalanítót. A konvencionalizmus (általam vallott változata) az az, hogy szimbólumrendszerekkel játszadozunk, méghozzá olanokkal, amelyek valamiért intuitívak, kényelmesek számunkra (jól tudjuk forgatni a fegyvert) ÉS sok esetben tudjuk bevetni avalóságban (társadalomban, iparban, stb...) előforduló problémák során (jó a fegyver). (Ezek összefüggenek, sokszor egy fegyver azért is válik jóvá, mert annyira jól tudjuk forgatni).
Akkor látsz problémát ebben, ha rákérdezel a matematikának a világban való relevanciájára, igazságára. Mi az, hogy használható? Valamilyen érteleben igaz? Vagy nem? A kettő között? stb.
Én pont azt tartom (a magam által értelmezett) konvencionalizmus lényegének, hogy a 'létezik-e' kérdés értelmetlen. Szvsz. 'a létezik-e' kérdés legalábbis ebben az értelmében olyan túlhaladott metafizikai kérdés, mint amilyeneket annak idején a bécsi körösök túlhaladottaknak mondtak.
Erős állítás, nem értek egyet. Ha használod, és működik (és működik), akkor meg kell adni az ontológiai státuszát. nadamhu, mint individuum létezik? Hát, meghaladott ez a kérdés, ne is tegyük fel, ugye lehetek szolipszista, fizikalista..
A konvencionális alapú működés sikere felváltja Nálad a létezés kérdését. Jó, de a kettő viszonyát metaelméleti módon akkor is elemezni kell. Vagyis, meg kell adnod az érveket arra, hogy a "létezés" szó, a matematikai objektumokra értelmetlen, jelölet nélküli.
Teljesen nyugodtan, minden filozófiai probléma nélkül tudok úgy gondolni a matematikai modellekre, hogy azt nézem, hogy intuitívak-e, jól tudok-e bennük gondolkodni, milyen valóságos problémákra tudom őket használni. Hogy ezek a modellek léteznek-e valamilyen abszolút értelemben, az nem izgat.
Ha filozófus akarsz lenni - ha csak egy percre is - meg kell magyaráznod, hogy miért nem érdekel Téged a létezés.
Olvastam picit a konstruktivizmus különböző fajtáiról. A Markov-féle valamennyire szimpatikus is volt, hogy Turing-gépekre és algoritmusokra építi fel a matekot. De összességében nem tetszik ez az irányzat, túl sok intuitíve igaz dolog nem lesz itt igaz.
elsoszulott, pont ez a baj a konstruktivizmusokkal: azért, hogy intuitív (pl. finit) legyen a logika, más intuitív (de nem finit) axiómákat feladsz.
Például az AC nagyon intuitív, amíg nem igazolod, hogy ha AC-vel van függvényed (ZF-ben nincs), azt semmiképpen sem definiálható. Vagy létezik a kontinuum (azaz R), de létezik-e olyan valós, amely nem rekurzív? Ha nem, akkor mi a kontinuum?
Egy megszámlálható nyelv összes véges modellje szerintem ugyanúgy létezik, mint az öszes természetes szám, összes Turing-gép, összes véges gráf stb.
Rendben, de mi az, hogy "ugyanúgy"? Létezik, vagy nem? És ha igen, akkor a téridőnkben, vagy azon kívül, egy platóni világban? Anyagi értelemben létezik, vagy a tiszta idea létezik?
Vagy egyik sem, és egy más álláspontot foglalsz el?
Nem csak levezetgetni szeretnék. Szeretném ha a levezetgetések a "valóságban igaz" eredményt adnának (legaláb ott ahol beszélhetünk objektív ellenőrizhetőségről).
És olyan nagy számnál, amit le sem írhatsz, beszélhetünk a teljes indukció igazságáról? Olyan nagy számnál, amely episztemológiailag (a tudatod számára) hozzáférhetetlen, azaz objektívan az eredmény hozzáférhetetlen?
És ha ilyen nagy számnál ez igaz (tudsz róla igazat állítani), akkor mi van egy olyan vitatott entitásnál, mint a szuperkompakt számosság?
És ha olyan nagy az a véges gráf, amitől a Hamilton-kör keresése polinom időben van, hogy több csúcs van benne, mint atom a Világegyetemben?
Ez egy gyakori álláspont: ellenőrizhetőséggel definiálni az igazságot (Brouwer, Dummett, intuicionisták). A teljes, mai matematikánál ez nem megy (konstruktivizmus van, ahol igen).
Biztosan szembesültél már azzal, hogy egy bonyolult, áttenkinthetetlen formula egy hozzáértő számára esztétikus.
Előfordul, de azért a leggyakrabban az esztétikum az ugyanazt a problémát helyesen megoldó alternatívákhoz képesti tömörséget jelent. Igaz, nem csak tömörséget, hanem intuitivitást is jelent, az meg szubjektív (pl. egy szakértőnek más intuitív, mint egy laikusnak), de azért a tömörség jó, viszonylag objektív támpont.
Itt tegyük hozzá, hogy ez a filozófia kerek legyen, hogy: és esztétika, érdekesség alapján is, hiszen azt, hogy valami használható lesz-e a gyakorlatban, illetve intuitív lesz-e amikorra majd jól megértjük, azt nem tudhatjuk pontosan előre, legfeljebb sejthetjük.
Poincaré konvencionalizmusa a következőt mondja ki: ...
Igen, ez megerősít abban amit a konvencionalizmusról gondoltam és, hogy a konvencionalizmus közel áll hozzám.
Ez így jól hangzik, csakhogy HA a matematika alkalmazható - és igen - akkor valamilyen módon mégiscsak van valamiféle értelme az emberi társadalomban előforduló problémák megoldásakor. Tehát nem csak szimbólumrendszer nagy része, hanem szemantikával bír.
Én itt nem látok semmi filozófiailag nyugtalanítót. A konvencionalizmus (általam vallott változata) az az, hogy szimbólumrendszerekkel játszadozunk, méghozzá olanokkal, amelyek valamiért intuitívak, kényelmesek számunkra (jól tudjuk forgatni a fegyvert) ÉS sok esetben tudjuk bevetni avalóságban (társadalomban, iparban, stb...) előforduló problémák során (jó a fegyver). (Ezek összefüggenek, sokszor egy fegyver azért is válik jóvá, mert annyira jól tudjuk forgatni).
2. ha nem is muszáj, létezik-e ilyen valamilyen értelemben.
Lehet, hogy nem létezik,
Én pont azt tartom (a magam által értelmezett) konvencionalizmus lényegének, hogy a 'létezik-e' kérdés értelmetlen. Szvsz. 'a létezik-e' kérdés legalábbis ebben az értelmében olyan túlhaladott metafizikai kérdés, mint amilyeneket annak idején a bécsi körösök túlhaladottaknak mondtak.
Teljesen nyugodtan, minden filozófiai probléma nélkül tudok úgy gondolni a matematikai modellekre, hogy azt nézem, hogy intuitívak-e, jól tudok-e bennük gondolkodni, milyen valóságos problémákra tudom őket használni. Hogy ezek a modellek léteznek-e valamilyen abszolút értelemben, az nem izgat. És hangsúlyozom, nem csak úgy poénból levezetgetek, hanem kényelem és használhatóság alapján választom meg a levezetendőeket; de attól, hogy kényelem és használhatóság miatt foglalkozom vele, nem tartom őket valamilyen abszolút értelemben 'létezőnek', abszolút értelemben 'helyes modellnek'.
"Egyrészt világos, hogy a végtelenségre tett igen komoly, nemkonstruktív (nem finit) megkötések (pl. nagy számosságok, AD) kellhetnek ahhoz, hogy egy adott fi igaz-e minden véges modellen"
Ha szemléletes, általam "valóságosnak" vélt dolgok igazolásához olyasmiket kell feltenni, amiről semmi intuicióm nincs, hogy "hihető-e" az nagy kár. Persze lehet majd sfejlődik a szemléletem és a nagy számosságok is ugyanolyan szemléletes dolgok lesznek mint a természetes számok, de nem hinném.
"Például van olyan konstruktivizmus..."
Olvastam picit a konstruktivizmus különböző fajtáiról. A Markov-féle valamennyire szimpatikus is volt, hogy Turing-gépekre és algoritmusokra építi fel a matekot. De összességében nem tetszik ez az irányzat, túl sok intuitíve igaz dolog nem lesz itt igaz.
"ami logikailag feltételezi, amit eddig nem tettél fel, hogy valamilyen értelemben - esetleg a téridőn kívül - létezik az összes véges modell"
Egy megszámlálható nyelv összes véges modellje szerintem ugyanúgy létezik, mint az öszes természetes szám, összes Turing-gép, összes véges gráf stb.
"Vedd észre, hogy ez ellentétben van azzal a hilbertiánus meggyőződéseddel, hogy Te csak levezetgetni szeretnél, mégpedig finit és intuitív módon, és eredményeket kapni."
Nem csak levezetgetni szeretnék. Szeretném ha a levezetgetések a "valóságban igaz" eredményt adnának (legaláb ott ahol beszélhetünk objektív ellenőrizhetőségről). Például ne tudjon a legújabb szuperszámítógép találni egy olyan számot, amire valamely számelméleti tételünk nem igaz. Vagy egy olyan véges modellt megadni, amiben nem igaz az a formula, amiről beláttuk, hogy minden véges modellben igaz.
Ilyen kényelmetlen történések elkerülésének garanciáját, pedig abban látom, hogy ha az axiomák "igazak" a "valóságban".
Számomra "igazak" például a PA, a valósak másodrendű szokásos axiómái, a kiv ax megszámlálható változata.
Másrészt vannak olyanok amikről nincs (még) ilyen erős meggyőződésem, pl regularitási ax. Bár utóbbinak a szép következményeit látom persze.
azok a first order formulák, amelyek minden véges modellen igazak, nem sorolhatók fel. Ez ugye nem így van végtelen esetben.
Pontosabban, azt nem tudom, hogy végtelen modellek esetében így van-e. A véges és végtelen modellek üres elmélete mindenesetre felsorolható; Gödel teljességi tételének első alakja (1929-30) ez volt.
Megjegyzés: mindenkinek, akit a logika érdekel, ajánlom Gödel eredeti bizonyítását a teljességi tételre - tehát nem a mindenki által tanult Henkin-bizonyítást a Henkin-konstansokkal. Gödel redukálta a formulabonyolultságot, a természetes számok sztenderd modelljén dolgozott (Skolem nyomán), külön Wikipedia-szócikk fogalakozik ezzel.
A Henkin-konstansok elmélete különben a modellelmélet egy külön fejezetét jelenti. Monográfia is van erről (Henkin-Keisler modellek, 1965-ös Keisler módszere).
Ezzel azonban rendkívül intuitív tautológiákat és tételeket kell feladnod; például nem igaz, hogy Av~A, a kizárt harmadik elve, vagy nincsenek sehol sem differenciálható R->R függvények. Maga R szerkezete, topológiája is sokkal egyszerűbb.
Persze itt az intuicionizmust szokták említeni, de vannak még szűkebb logikák.
Ha ez érdekel, ajánlom E. Bishop (1967): Foundations of Constructive Analysis, New York: Academic Press. c. monográfiáját.
Az egyik legfontosabb törekvésük az existence property: ha igazoljuk valamiről, hogy létezik, definíciót is adunk hozzá. Ezzel szemben az AC-nál, ha alkalmazni kell, közvetlenül sosincs definíció!
A diákoknak feladatként szoktam feladni: ha existence property van, akkor Gödel-tétel nem lehet a logikában (egyik sem).
Ha rögzítve van egy nyelv ami megszámlálható, akkor ennek az összes formuláját fölsorolom. Ezután már csak az lehet a baj, ha eldönthetetlen egy adott formuláról, hogy minden véges modellben igaz-e.
Mintha próbálnád megérteni a rekurzíve nem felsorolható halmaz, és az eldönthetetlenség fogalmát. De rosszul: a probléma az, hogy nincs általános algoritmus arra, hogy bármely adott formula igaz-e minden véges modellben.
Ez pontosan azt jelenti, hogy nincs algoritmus, amely felsorolja a végesen azonosan igaz formulákat.
Van értelme azt kérdezni, hogy eldönthetetlen, hogy egy fi formula minden modellben igaz-e? Ezt itt úgy kell érteni, hogy plauzibilis érvelést adsz arra, hogy ez így van, vagy nincs. Ilyen plauzibilis érv lehet matematikán kívüli is, persze.
De itt is az a gond, mint a kontinuumhipotézisnél: (általában) nincs intuíciónk.
Végül vannak formulaosztályok, amelyek olyan alakúak, hogy ZFC-ben eldönthető minden elemükről, hogy érvényesek-e minden véges modellben.
De még ha eldönthetetlen is, attól az én felfogásom az, hogy létezik rá egy "helyes" válasz a "valóságban", csak a jelenlegi matematikai eszköztárunkkal nem tudjuk ezt felderíteni.
Először is, keversz két dolgot. Egyrészt világos, hogy a végtelenségre tett igen komoly, nemkonstruktív (nem finit) megkötések (pl. nagy számosságok, AD) kellhetnek ahhoz, hogy egy adott fi igaz-e minden véges modellen.
Másrészt állítod, hogy a "valóságban létezik helyes válasz", ami logikailag feltételezi, amit eddig nem tettél fel, hogy valamilyen értelemben - esetleg a téridőn kívül - létezik az összes véges modell, és így a "helyes válasz" (ez a matematikai platonizmus). Vedd észre, hogy ez ellentétben van azzal a hilbertiánus meggyőződéseddel, hogy Te csak levezetgetni szeretnél, mégpedig finit és intuitív módon, és eredményeket kapni.
---------------------------
Kétféleképpen lehetséges - most úgy tűnik - megtámogatni Téged.
Az egyik a Church-tézis valamilyen meghaladása fizikai módon (pl. kozmológiai, vagy kvantumszámítógéppel), vagy alternatív logikában, ahol nemrekurzív függvények összes értéke kiszámítható.
Ez egyelőre elég reménytelen.
A másik, hogy a logikát korlátozod. Például van olyan konstruktivizmus, amelyben nincs Gödel-tétel, és nincsenek eldönthetetlen halmazok. Ekkor például e logika aritmetikájára nem igazak a Gödel-tételek (egyik sem); minden számelméleti formula eldönthető (levezethető) a rekurzív aritmetikai Peano-típusú rendszerben. A Goldbach-sejtés is eldönthető.
Ezzel azonban rendkívül intuitív tautológiákat és tételeket kell feladnod; például nem igaz, hogy Av~A, a kizárt harmadik elve, vagy nincsenek sehol sem differenciálható R->R függvények. Maga R szerkezete, topológiája is sokkal egyszerűbb.
"azok a first order formulák, amelyek minden véges modellen igazak, nem sorolhatók fel."
Ha rögzítve van egy nyelv ami megszámlálható, akkor ennek az összes formuláját fölsorolom. Ezután már csak az lehet a baj, ha eldönthetetlen egy adott formuláról, hogy minden véges modellben igaz-e. De még ha eldönthetetlen is, attól az én felfogásom az, hogy létezik rá egy "helyes" válasz a "valóságban", csak a jelenlegi matematikai eszköztárunkkal nem tudjuk ezt felderíteni.
ZFC-t be lehet ágyazni maximális (teljes), konzisztens elméletbe, amelyben CSAK ilyen formulák vannak!
Itt a maximális szót a teljes szinonimájaként használtam, ami hibás. Persze, nincs minden formula, vagy a negációja a teljes elméletben. Viszont tőle független formula sincs.
elsoszulott, korábban azzal érveltél, hogy a véges struktúrák által felvetett problémák, mondjuk a gráfelméletiek, konstruktívabbak lehetnek, és nem igényelnek "a végtelenre tett feltevéseket".
Ezzel nem értettem egyet, de csak példákat mondtam; itt van azonban egy koncepcionális válasz, általános esetre.
Trakhtenbrot tétele (1950), hogy azok a first order formulák, amelyek minden véges modellen igazak, nem sorolhatók fel. Ez ugye nem így van végtelen esetben.
Mit jelent ez? Azt, hogy bármilyen gazdag Ax axiómarendszert (pl. ZFC-t) teszel is fel, mindig lesz olyan fi formula, amely
nem lesz igaz egyetlen véges modellen sem;
ezt Ax nem tudja igazolni.
Ha valahogyan mégis igazolni szeretnéd, nem tehetsz mást, mint új, kevéssé hihető kikötéseket teszel a ZFC-hez, de akkor megint lesz fi* formula, hogy..
Magyarán, van olyan igen természetes, véges modellelméleti probléma, amely nagyon nemkonstruktív, és a végtelenre tett bármilyen erős - de végesen leírható - kikötés sem lesz elég a megoldására.
Véleményem szerint a véges gráfok annyira általánosak, hogy gráfstruktúrákra is igaz a tétel (ezt igazolni kell - lehet véges modellelméleti struktúraosztály, hogy ez a probléma eldönthető rá ZFC-ben).
Végül az előbbiekből adódik, hogy a
"véges M modell|=fi"
alakú formulák között végtelen sok ZFC-független van, sőt, ZFC-t be lehet ágyazni maximális (teljes), konzisztens elméletbe, amelyben CSAK ilyen formulák vannak!
