Csináltam neked egy belső pontos példát is. Tekintsd az alábbi egyenlőtlenségekkel definiált homogén tömör kockát: -1 <= x <= 5; -1 <= y <=5; -2<= z <= 4. Ennek a kockának a (0,0,0) origó belső pontja. Az origóban az eredő gravitációs gyorsulást az
int (x,y,z)/(x2+y2+z2)3/2 dx dy dz
hármasintegrál adja meg, ahol x, y, z a fenti intervallumokon fut végig. Az integrál értéke közelítőleg
g = (7.54855556, 7.54855556, 3.02924447).
Ezzel szemben a tömegközéppont helyvektora (az origóból)
k = (2, 2, 1).
Tehát az origóbeli gravitációs gyorsulás vektora nem a tömegközéppont felé mutat, hiszen a 7.54855556 nem duplája a 3.02924447-nek.
Nézd meg a 1259. hsz.-ben hogyan hoztam ki 1054 m nagyságú gömböt, ahol m a proton tömege.
Neked van meg Rees könyve, és mégsem érted? Olvasd el legalább Reestől, és írd le a saját szavaiddal, hadd okuljunk belőle. Tényleg örülnék, ha te is leírnád részletesen, hogyan értelmezed Rees sorait.
kb. tizennyolcszor fejtettük már ki neked, hogy vektorokat nem úgy kellene összeadni, hogy a nagyságukat összeadod. Sajnos az első tizennyolc alkalommal sem értettél belőle semmit, így elég kicsi az esély, hogy most felfogod.
Ez a példád most pedig nem a tömör testet modellezi.
De maradjunk egy kicsit ennél a példánál. SR tett fel hasonlót. A húzóerő ébredésének bizonyítására jó a példa.
Tegyünk két egyenlő nagyságú M tömeget az A és B pontokra, a köztük levő távolság d legyen. Tegyünk a két tömeg közé d/2 távolságra egy kicsi 0,1M tömeget.
Erőegyensúly van a kicsi tömeg nem fog elmozdulni. Mégis húzóerő ébred a kicsi tömegben. Ezt könnyű bizonyítani.
Vágjuk középen ketté a kicsi tömeget. A két kis féldarab szét fog válni a nagytömegek irányába. Ez bizonyítja, hogy húzófeszültség ébredt a kicsi tömegben, amikor még egyben volt.
Látható, hogy nem szentségtörés gravitációnál húzófeszültségről beszélni.
Emlékeztetlek, hogy ezt a vitát te provokáltad ki,
Én pedig arra emlékeztetlek, hogy ezt te mondtad:
Most tegyünk a hidrogénatomunk köré még több hidrogénatomot, szimmetrikusan, gömbalakban. Mindegyik új hidrogénatom gravitáló ereje hozzáadódik a tér egy-egy pontjának gravitációjához. Az első hidrogénatomunk a középen van, ahol kijelöltük a nulla potenciálú helyet, ott a legnagyobb az összeg, a középponttól kifelé csökken. Tehát csökken a gravitációs potenciál. A gömb legszélén a legkisebb, mert a gömbön kívül nincsenek hidrogénatomok.
Valamiért nagy-nagy sunyításba menekülsz mindig, ha emlékezetedbe idézem.
Elmondtam, hogy ha az E-ben nem párhuzamos a vektor, akkor az E egy kellően kicsiny környezetében sem. Egy ilyen környezetében találsz belső pontot. De ha nagyon akarod, kiszámolom egy konkrét belső pontban is a g vektort.
Az előző példámhoz persze kell egy kicsit integrálni, de egyszerűbben is meggyőzheted magad arról, hogy butaságot beszélsz. Pl. tekints egy egységnyi hosszú AB szakaszt, aminek A végébe egységnyi tömeget helyezel, B végébe pedig kétszer annyi tömeget. Ennek a rendszernek a tömegközéppontja az AB szakasznak a B-hez közelebbi harmadolópontja, jelölje ezt K. Na most te valami olyasmit gondolsz, hogy K-ban nulla az A és a B eredő gravitációja. Ez persze nem igaz, hiszen a K-ban az A-ból származó gravitációs gyorsulás nagysága (2/3)-2=9/4, míg a B-ből származó gravitációs gyorsulás nagysága 2.(1/3)-2=18, tehát ez a két gyorsulás nem egyenlíti ki egymást, K-ban 18-9/4=63/4 nagyságú gravitációs gyorsulás van a B irányába.
Egy tömör, üreg nélküli testben a nehézségi gyorsulás vektorának hatásvonala a test egy tetszőlegesen adott pontján és a test tömegközéppontján keresztül menő egyenes
Ez tévedés, a gravitációs erő általában nem a tömegközéppont felé mutat. Mondok egy ellenpéldát. Tekintsük azt a négyzet alapú gúlát, aminek csúcsai:
Képzeljük el, hogy ez a gúla egy homogén anyagú tömör test. Az E csúcsbeli eredő gravitációs gyorsulás
gE= (0.222895, 0.22895, -0.523599).
A gúla tömegközéppontjának koordinátái K=(3/8,3/8,1/4), tehát az E-ből a K-ba mutató vektor
EK = (3/8, 3/8, -3/4).
Ez a vektor nem párhuzamos a fenti gE vektorral (hiszen 0.222895 nem fele a 0.523599-nek), vagyis a jelen példában az E-beli eredő gravitációs gyorsulás iránya nem egyezik meg a tömegközéppont E-beli irányával. Persze mondhatod, hogy az E nincs a test belsejében, de az eredő gravitációs vektor itt folytonos, vagyis az E-t kicserélheted egy közeli belső pontra, és ekkor a fenti gE és EK vektorokhoz (tetszőlegesen) közeli új vektorokat fogsz kapni, amik továbbra sem párhuzamosak.
A K-beli eredő gravitációs gyorsulást lusta voltam kiszámolni, de biztos lehetsz benne, hogy az sem nulla, mint gondolod.
Sajnos elég sok rossz szokásom van. Az egyik, hogy a pöffeszkedő, öntelt ostobaságot ritkán hagyom szó nélkül.
Te viszont az a pojáca vagy, aki szintén nem tud focizni, de mindenáron ő akar lenni a csapatkapitány. És nem érted, miért csapkodja a térdeit a röhögéstől mndenki, amikor látja a mutatványodat.
A kohézió a példád és a newtoni fizika között az, hogy a gravitációs erőtörvény egy 0,1R sugarú gömbön belüli üregben is érvényes. Ebből viszont megint egy nagy büdös nulla jön ki, feltéve hogy megtanultad már a vektorokat összeadni.
Elég tudnunk, hogy a tömegközépponton áthalad a vektor.
Egy heterogén összetételű testben is ugyanígy keresztül halad a g vektor, csak azzal az eltéréssel, hogy g értéke változni fog. Az égitest magjának tömegsűrűsége mindig a legnagyobb. Ilyen esetben g értékének maximuma van, valahol a tömeg sugara mentén, vagyis a tömeg belsejében nagyobb g értéke, mint a felszínen.
A Föld esetében ez a maximum kb. 2800 km sugarú körön van és g=10,3 majd ettől kezdve a középpont felé haladva csökken g értéke, és a Földközéppontban g=0.
A Nap tömegsűrűsége is növekszik a belseje felé haladva, pl. 0,3R sugarú gömbön belül van a Nap tömegének a fele. A Napon belül is hasonlóan maximumot mutat g értéke.
Namost mi a helyzet, ha egy égitest legbelső része mondjuk 0,1R sugarú gömbön belül üreges lenne. Ez képtelenségnek látszik, de a papír és a matematika mindent kibír. Az 1749. alapján én úgy látom, hogy a gyorsulás a tömegközépponttól kifelé mutat. A példa egyszerű, a test szimmetrikus. Könnyen átlátható a kétoldali gravitációs erő különbözősége. Próbáld ezt a példát cáfolni Newton Principiája nélkül.
Vagy teremts kohéziót a Principia és példám között.
ez egzakt módon csak homogén tömör gömbökre igaz. általános alakú testre csak közelítő megoldás, ami az alaktól és a távolságoktól függő hibával terhelt. ráadásul az is általános, hogy forgatónyomaték is képződik, nemcsak egyszerű erő.
Egy tömör, üreg nélküli testben a nehézségi gyorsulás vektorának hatásvonala a test egy tetszőlegesen adott pontján és a test tömegközéppontján keresztül menő egyenes, a vektor értelme pedig az adott ponttól a középpont felé mutat.
Nem tudod egyszerűen definiálni a nehézségi gyorsulás irányát
Dehogynem. Az általa kifeszített egydimenziós altér, ez az irány a definíció szerint. Egyszerű és nagyszerű. Tudod, a vektor az egy matematikai fogalom. Nem kell hozzá tudni a fizikát.
De mint mondtam, nagyon jól tudom, hogy kell kiszámolni egy T testből eredő gravitációs erőt egy p pontban: integrálni kell a T-n az s(r)(r-p)/|r-p|3vektort, ahol s(r) a T sűrűségét jelöli az r pontban.
Na ha már itt tartunk, oldd meg nekünk az alábbi feladatot. Egy 1 méter oldalhosszú négyzet egyik oldalára 1 kg-os homogén rudat helyezünk. A középpontjába egy pontszerű 1 kg-os testet helyezünk. Mekkora a gravitációs erő a rúd és a pontszerű test között? A G értéke legyen 6.67428 x 10-11 m3 kg-1 s-2.
