Azért, mert bármely halmaz lehet csúcs, halmazból valódi osztálynyi sok van..
Ezt persze nem használjuk, és a csúcsokról csak azt mondjuk, hogy csúcsok. De ez, a halmazelmélezti értelmezés szerint ekvivalencia-osztállyal való munka: az "egyetlen csúcsból álló véges gráf" egy valódi osztály absztrakciója.
Rendben, engem igazándiból azért érdekelne most ez a Meinong, mert róla írtad, hogy ő az egyike azoknak akik szerint minden elképzelt dolog és lény valóságosan is létezik. Azért keltette fel az érdeklősédemet a hozzászólásaidnak ez a része mert nemrég olvastam éppen a kétréskísérlet Everett féle multivrzum értelmezést, és összecsengést érzek ezzel a hozzáállással. Szóval ez túl érdekes ahhoz, hogy elaprózzam a figyelmem más irányokra vagy ennek valós ill. vélt cáfolataira :D
Russell meg lehet, hogy kritizálja, de Russellnek is vannak olyan elképesztő dolgai, hogy az még ennél is durvábban hangzik: egyszer olvastam tőle a sokfej paradoxonról, miszerint legalább két fejem van, na az betett :DD
vehetjük intuitívan(!) az összes matematikai objektumot, azaz halmazt
Itt máris egy metafizikai állásfoglalás: azt állítottam, hogy az összes matematikai objektumok éppen az összes halmazok. Amikor V-t "világnak" hívjuk, persze ezt gondoljuk.
A halmazok világa az osztályrealista elméletekben is létezik (de keveredés van: pl. valódi osztály lehet paraméter, és kvantor alatt halmaz definíciójában).
Egyébként a valódi osztályok gyakoriak a matematikában. Például "minden csoport", "minden véges gráf" valódi osztályt alkotnak. Egy varietás is valódi osztály, egy axiomatizálható struktúraosztály is..
Azért mégis mondhatjuk, hogy úgy viselkedik, mint egy modell, ZFC valódi osztálymodellje. Sőt: pontos matematikai metaelméletet is rakhatunk V-re (a világra, Univerzumra), amelyben valamennyi modellelméletet csinálhatunk.
Title: Satisfaction relations for proper classes: Applications in logic and set theory Authors: Robert A. Van Wesep Categories:math.LOLogic MSC: 03B10, 03E40
Abstract: We develop the theory of partial satisfaction relations for structures that may be proper classes and define a satisfaction predicate appropriate to such structures. We indicate the utility of this theory as a framework for the development of the metatheory of first-order predicate logic and set theory, and we use it to prove that for any recursively enumerable extension T of ZF (Zermelo-Fraenkel set theory) there is a finitely axiomatizable extension T' of GB (von Neumann-Bernays-Gödel class theory) that is a conservative extension of T. We also prove a conservative extension result that justifies the use of this predicate to characterize ground models for forcing constructions.
Hm, lehet-e aspektusra következtetni? Legjobb, ha azt írom, hogy az struktúraosztályok, mint struktúrák vizsgálatának "lényeges modellelméleti aspektusai vannak".
Ezek az aspektusok vonatkozhatnak az osztály elemeire is - például gráfokra.
A Csirmaz-jegyzet mellé ajánlom Keisler-Chang klasszikus Model Theory-ját
nadamhu,
ezt a könyvet akkor is ajánlom, ha amúgy csak részeket akarsz olvasni belőle. A Hodges-könyvvel a a gond, hogy nincs bevezető része igazán. Azóta megjelent viszont Hodges "A Shorter Model Theory"-ja (1997), ami már - szerintem - felhasználóbarátabb.
A Chang-Keisler self-contained, és a matematikai alapjaid megvannak hozzá (amennyire fel tudtam mérni).
Csirmaz utolsó három fejezete a Church-Gödel-tételkör (kevés rekurzióelmélettel). Ez kiválóan meg van írva, de szintén nagyon jó a magyarul kiadott
Smullyan: Gödel nemteljességi tétele (TypoteX, két kiadás).
A logika harmadik nagy fejezete a rekurzióelmélet, ebben van valamennyi belőle - sajnos, a Gödel-tételek modellelméleti vonzataiból semmi. Neked, mint informatikusnak, különben szerintem rekurzióelméletet mindenképpen kellene tanulnod. Magyarul semmi nincs ebben a tárgyban komolyabb, de angolul
Rogers könyve az alap (Csirmaz Irodalomjegyzékében benne van a cím), eldöntheted, hogy mennyi érdekel belőle.
Nagyon köszönöm, most akkor neki is esek Meinong könyveinek.
Természetesen olvashatod Meinongot, és a kritikáit is, pl. Russellt. A Meinong-recepció története igazán érdekes. De azt javaslom, hogy először az ingyen hozzáférhető Huoranszki-könyvet olvasd el (Modern metafizika). Ha ez megvan, más irodalmat is adok, azóta van új magyar metafizika-tankönyv.
A Free Logic-ról először J. Hintikka írt (1959), több könyv is van - de angolul, nem tudom, hogyan lehetne beszerezni.
Szia, a standard LaTeX csomagnak resze a "dvi2pdf" parancs. Linux gepen ez mukodni fog parancssorbol, csakugy mint a "latex" vagy a "pdflatex". En Windows alatt regota MikTeX-et hasznalok (http://www.miktex.org/) egyutt a WinEdt-tel; az utobbiban kulon gomb van erre a parancsra (az ujabb MikTeX mar sajat szerkesztot hasznal, de a dolog biztos ugyanigy mukodik, illetve a "dvi2pdf" parancs maga is resze a MikTeX csomagnak). Egy masik lehetoseg a "dvi2ps" es a "ps2pdf" egymas utani alkalmazasa
Ha dvi->pdf konvertáláshoz értesz és megosztod velem, azt örömel veszem. Sokat kerestem és nem találtam. (A Csirmaz-jegyzetek a gsw+doPDF+PDFTools programokkal könnyedén egybefüggő pdf-é tehetők, azzal nem volt gondom.)
amelyet az osztályba véve egy új struktúrát kapunk
Tehát: a struktúraosztály maga is egy nagy struktúra. A modellelmélet nagy fejezetei, a kategóriaelméleti, toposzelméleti modellelmélet, másfelől az elemi, és absztrakt elemi osztályok elmélete ezzel foglalkozik.
Igen. De azért az is igaz, hogy a struktúraosztályban lévő struktúrák között különböző kapcsolatok léteznek, amelyet az osztályba véve egy új struktúrát kapunk (- és ha nem tekintünk kapcsolatot, az is egy egyszerű struktúra).
Például homomorfizmusokkal (nagy) kategóriát kapunk.
Vagy lehetne két struktúra között leképezés, ha az egyik részstruktúrája a másiknak, vagy izomorfak, vagy az egyik részt vesz a másik szerkezetében, mert mondjuk az utóbbi ultraszorzat, stb.
Az ilyen osztálystruktúrák vizsgálatakor is lényeges modellelméleti aspektusokra következtethetünk.
Célul tűztem ki, hogy középtávon betömködöm különféle a matematikai témák alapjaiban lévő tudásbéli hiányosságaimat. Matematikai logika és halmazelmélet témában a Csirmaz jegyzet egészét, és Thomas Jech: Set theory című művének első 170 oldalát (Basic set theory) tűztem ki magamnak alapos megtanulásra.
Nagyon örülök, hogy egy ilyen értelmes ember, mint Te, ezzel foglalkozik. Jech nem alapozó tankönyv, és ha észrevételed van, tedd itt közzé.
A Csirmaz-jegyzet mellé ajánlom Keisler-Chang klasszikus Model Theory-ját, vagy W. Hodges hasonló című könyvét. Utóbbi 772 oldal, Jech méltó párja:)
Halmazelméletben én még sajnos nem annyira érzem ezt, hogy van egy tőlünk függetlenül létező dolog, aminek néhány alapvető tulajdonságát kimondjuk axiómának, majd ezek segítségével bonyolultabb tulajdonságait próbáljuk kutatni.
Ha veszed az összes matematikai létezőt, közöttük milyen kapcsolatok létezzenek? Intuitívan, és a matematika műveléséhez.
Azt állítom, hogy ha rendesen végiggondolod, a ZF(C)-hez nagyon hasonló rendszert kapsz.
Ha egy halmaz egy rekurzívan definiálható része nem lenne halmaz, azaz nem kvantifikálhatnál felette (Szeparációs séma), ez az "objektum" nem lehetne paraméter (eleme másnak, neki nem lehetne eleme), ha nem volna kontinuum számosság az analízisben, ha egy halmaz minden része nem volna halmaz (Hatványhalmaz-axióma), akkor a matematikából nem sok maradna.
Bár, és ez is igaz, a másodrendű számelméletben is elfér a matematika; de az axiómák (pl. indukciók, komprehenziók, WKL0, stb) ott is hasonlók.
Azt még szeretném megkérdezni, hogy mi annak az irányzatnak a neve és kik azok pontosan, akik szerint tényleg létezik minden elképzelhető kitalált lény? Mert ha jól értettem, akkor ellenük fejlesztették ki ezt a "szabad logikát". Róluk is tudsz esetleg wikipedia linket adni, vagy könyvcímet?
Igen.
A jelenlegi analitikus filozófia egyik centrális kérdése a modalitás, a lehetséges és szükségszerű létezés. Az első lényeges filozófus (a legújabb korban) Meinong volt, aki szerint azok a dolgok, amelyek elgondolhatók, bizonyos létezéssel (ma mondjuk: ontológiai státusszal) bírnak, bár ez a létezés különbözik attól, hogy más dolgok aktuálisan, elgondolás nélkül léteznek. Az aktuális, tényleges létezés Meinongnál csupán a dolog esetleges tulajdonsága.
Felmerült, hogy mit jelent a lehetőség. Az, hogy mit jelent szükségszerűen, és lehetségesen létezni, egy klasszikus téma, a filozófiatörténeten átível. Itt most maradjunk a "lehetséges" fogalmánál. Az 1930-as években létrejött a modális logika, amely ezt próbálta szigorú keretek között tárgyalni.
Később a nagy Quine (1943 körül, azt hiszem) paradoxont talált a modális érvelésekben, és elkezdődött egy vita. 1959 után S. Kripke megalkotta a modális logika szemantikáját, amelyben lehetséges világoknak nevezett "modális modellek" voltak. A possible worlds szemantika azután sokaknak tetszett, ráadásul akkoriban keletkezett a kvantummechanika Everett-értelmezése (1958), amely párhuzamos világok létezését (állandó keletkezését) feltételezte. Kripke maga is adott értelmezést (1971 körül) a lehetőség és szükségszerűség fogalmára - ezt most hagyjuk, nagy irodalma van.
Azok, akik a lehetségest komolyan vették, sokan valamiféle "gyenge létezésnek" gondolták, tehát filozófiai értelemben fontosnak. David K. Lewis azután 1971-ben (majd 1986-ban) következetesen végigvitte a gondolatmenetet, és elméletét modális realizmusnak nevezte.
Az elképzelés egyik alátámasztása szerint (az én rekonstrukciómban; adok majd más irodalmat is!)
1. elfogadjuk, hogy a lehetséges létezés metafizikai státusszal bír;
2. ha dolgok metafizikai státusza között különbség van, az kifejthető;
3. az, hogy miért élünk az aktuális világban, és miért nem egy másikban, esetleges, azaz semmiféle magyarázat nem adható rá: azért, mert csak. A világ olyan amilyen, megnyilvánul, magyaráztatot adni arra, hogy miért ilyen, képtelenség;
4. tehát kifejthetetlen a különbség a lehetséges, és a létező világok metafizikai (ontológiai) státusza között;
5. tehát nincs különbség az aktuális világunk, és a lehetséges világok metafizikai státusza között;
6. tehát a lehetséges világok ugyanúgy léteznek, mint a konkrét, aktuális világunk.
Párhuzamos Univerzumok léteznek, minden világ, amely logikailag konzisztens.
Azt senki sem gondolta - bár gondolhatta volna -, hogy pusztán a Predikátumkalkulus Általad is idézett tétele elegendő minden lehetséges dolog létezéséhez. Azt gondolták, hogy a logika e része vagy csak a matematikán belül érvényes, ami vitatható, vagy ez a formula is csak lehetőséget fejez ki.
Vagy azt, hogy a Predikátumkalkulus hibás. Ekkor lehet jó a Free Logic.
Íme Huoranszki összefoglalása (én kissé elnagyoltnak érzem, de mindenkinek tetszik):
"Ezt nem tudjuk, de talán egyszer majd, ahogyan a pár-axiómát, vagy az Extenzionalitási Axiómát, sikerül eldönteni."
Halmazelméletben én még sajnos nem annyira érzem ezt, hogy van egy tőlünk függetlenül létező dolog, aminek néhány alapvető tulajdonságát kimondjuk axiómának, majd ezek segítségével bonyolultabb tulajdonságait próbáljuk kutatni.
A 25.-dik oldalon van egy mondat, ami el van írva:
"Például azokból a gráfokból álló struktúrák, melyek összefüggők, 3-kromatikusak, stb... nem axiomatizálhatók É típusú nyelv fölött."
helyesen:
Az összefüggő gráfok struktúraosztálya, a 3-kromatikus gráfok struktúraosztálya, stb... nem axiomatizálhatók É típusú nyelv fölött.
(hiszen maguk a gráfok a struktúrák)
(Ezeket nem azért írom, hogy a jegyzetet kritizáljam, ellenkezőleg, nagyon jónak tartom ezt a jegyzetet, élvezem olvasni, és örülök, hogy a szerző ingyen felrakta a netre.)
Minden fejezet külön .ps file, amit én egy gsview nevű programmal olvasok.
Célul tűztem ki, hogy középtávon betömködöm különféle a matematikai témák alapjaiban lévő tudásbéli hiányosságaimat. Matematikai logika és halmazelmélet témában a Csirmaz jegyzet egészét, és Thomas Jech: Set theory című művének első 170 oldalát (Basic set theory) tűztem ki magamnak alapos megtanulásra. (A Thomas Jech féle könyvet is sikerült letöltenem.) Előbbi nagy részét mondjuk már ismertem, utóbbiból viszont lehet, hogy kihúzok fejezeteket, mert abból még az első 170 oldal is viszonylag sok. (Viszont szeretem a tömör és precíz anyagokat, amin végig kell küzdenie magát az embernek (ha még kezelni tudom őket), a bő lére eresztett, nem precíz könyveket egyre nehezebben olvasom.)
Próbáld újra letölteni. Erről az oldalról egy 100-szor ekkora fájlt is le lehet tölteni ingyen, szóval valamit nem jól csinálsz. Természetesen a "wait to download" gombot kell megnyomni, és megvárni a 60 másodperc visszaszámlálást.
Nagyon köszönöm a részletes választ, elolvasok mindent alaposan. Azt még szeretném megkérdezni, hogy mi annak az irányzatnak a neve és kik azok pontosan, akik szerint tényleg létezik minden elképzelhető kitalált lény? Mert ha jól értettem, akkor ellenük fejlesztették ki ezt a "szabad logikát". Róluk is tudsz esetleg wikipedia linket adni, vagy könyvcímet?
Köszönöm, elolvasom amint le tudom tölteni, mert letöltés közben megszakadt az internetem és azt írja ki, hogy "Sorry, you have reached your daily download limit. Please try again tomorrow or acquire a premium membership." Esetleg ha másik linket tudnál adni, ahol nincs ilyen, annak nagyon örülnék.
hello Nautilius. Régóta olvasom és követem a hozzászólásaidat amiket nagyon érdekesnek találok és csak azért regisztráltam, hogy megkérdezzem
Kedves buffee,
megtisztelve érzem magam, amiért miattam regisztráltál, és a felmerülő kérdéseidre szívesen adok választ. Logikát ma jól a Műszaki Egyetemen (matematikus képzés), az ELTE TTK matematikus BSc és MSc szakán, és az ELTE Bölcsészkar Logika és Tudományfilozófia MA-szakán tanítanak.
Az itteni írásaim afféle anonim blogszövegek, saját magam hozom formába velük. Nem számítok rá, hacsak kérdésre nem válaszolok, hogy valaki ebből tanulni akar (szakmai szituációban más a helyzet, ott nagyságrendekkel jobban ügyelek a pontosságra, hibák elkerülésére). Ezért, ha valami felkelti a figyelemed, inkább kérdezd meg, akkor biztosan jó választ kapsz tőlem.
Mit jelent az pontosan matematikailag, hogy valami igaz V-ben?
elsoszulott, matematikai pontosság ugyan itt nem várható, csak majdnem. Ugyanis bizonyos filozófiai állásfoglalás kérdése, hogy mi a V világ, és létezik-e, és ha igen, milyen értelemben.
Szóval, vehetjük intuitívan(!) az összes matematikai objektumot, azaz halmazt. Definíciója is van ennek az osztálynak: V:={x:x=x}.
Mármost, feltesszük, hogy ZFC igaz ezen az összességen, amely nem halmaz, hanem valódi osztály.
Azért mégis mondhatjuk, hogy úgy viselkedik, mint egy modell, ZFC valódi osztálymodellje. Sőt: pontos matematikai metaelméletet is rakhatunk V-re (a világra, Univerzumra), amelyben valamennyi modellelméletet csinálhatunk. Így például mondhatjuk, hogy V-n, mint minden tisztességes modellen, minden halmazelméleti zárt formula igaz, vagy hamis.
Pontosan úgy, ahogyan a sztenderd PA-modellen is. Ebben az értelemben - néha így is írják - V|=CH (CH: kontinuumhipotézis), vagy V|=~CH. Ezt nem tudjuk, de talán egyszer majd, ahogyan a pár-axiómát, vagy az Extenzionalitási Axiómát, sikerül eldönteni.
írtál korábban valami üres elméletről, amiben tétel hogy minden x F(x) -> létezik x F(x) formula. Hol tudnék ennek bővebben utánajárni, hogy mi az az üres elmélet axiómarendszere? Szeretnék erről bővebben olvasni. Kik írtak és tanítanak erről?
Kedves buffee,
az üres elmélet olyan formulákból álló összesség, amelyek minden modellben igazak.
Ez azt jelenti, hogy ha vannak dolgok, (metamatikai) objektumok, akkor azokon bizonyos formulák biztosan igazak. (4172)-es hozzászólásomban felírtam egy axiómarendszerét ennek az üres elméletnek. De van még más axiómarendszere is, egy éppen a Gergő által említett Csirmaz-könyvben van.
Az elmélet (=formulahalmaz) azért "üres", mert ha matematikai objektumokról SEMMIT sem teszünk fel, ezek a formulák akkor is igazak lehetnek, mondhatni, "a semmiből is következnek"; más (ún. kontingens) formulákhoz azonban már tudás is kell ezekről a matematikai objektumokról. Az elmélet másik elnevezése: Predikátumkalkulus.
Valóban, az előbbi formula bizony tétel, és ez a filozófiai logika izgalmas része. Pl. kitalált lényekről szoktak beszélni ilyenkor: ha elképzelhető [a kitalált lény], mondják, akkor van modellje (mert mindennek van, ami nem ellentmondásos a matematikában), akkor pedig létezik! ((Az biztos, hogy minden matematikai strutúrában van objektum eszerint.))
Egy irányzat szerint tényleg létezik minden elképzelhető kitalált (ellentmondásmentes tulajdonságokkal bíró) lény, ahogyan Te, vagy én. Tehát a Világegyetemben van egy hely - logikailag igazoltuk, hogy van -, ahol konkrétan létezik!
Ezt nem szokták elfogadni, és ezért fejlesztették ki a szabad Logikát, Free Logic, amelyben ez nem igaz.
Részletesen erről a tautológiáról (=minden modellben igaz formuláról) itt olvashatsz:
Az (elsőrendű) üres elmélet eldönthetetlen: ha egy formula mindig igaz, azt levezetheted, ha soha, azt is (egy mindig igaz tagadása), de ha néha igaz, néha nem, azt egyetlen általános módszerrel nem tuod eldönteni.
Irodalmat kértél: a Csirmaz-jegyzet kezdetnek sok.
Helyette: Ferenczi Miklós: Matematikai logika. Könyvtárban van csak, sajnos.
Továbbá: Ruzsa Imre: Bevezetés a modern logikába. Osiris. Ez a legkönnyebb, de a legkevesebb is - viszont megismertet a formalizmussal.
Elméletnek adott típusú formulák következményeit nevezzük. Az üres halmaz következményeit nevezzük az üres elméletnek. Persze az üres elmélet sem "üres", hiszen van egy csomó logikai axióma (pl. x=x), amik benne vannak az elméletben.
Konkrétan a 38. oldal tetején vezeti be a t típusú elmélet fogalmát. Ha a Gammát az üres halmaznak választod ott, akkor kapod a t típusú üres elméletet. A jegyzetben később többször előjön az üres elmélet fogalma, de azért jegyezzük meg, hogy az üres elméletnek nincs semmi különlegessége attól eltekintve, hogy egyszerűnek látszik: ő egyike a sok lehetséges elméletnek, és általában cseppet sem egyszerű.
