"alapvető tétel például az unió halmazművelet kommutativitása"
A szokásos axiomatikus felépítésben az unió egy egyváltozós operáció. Konkrétan azt mondja, hogy minden X halmaz esetén létezik egy olyan Y halmaz, melynek egy u halmaz pontosan akkor eleme, ha u X valamely elemének eleme.
Ennek megfelelően ha két halmaz unióját akarod képeznni, mondjuk A,B halmazokét, akkor előszőr az ugynevezett páraxiómávak képezed először az {A,B} halmazt, majd erre alkalmazod az unió axiómát.
Azaz a szokásos unió művelete az axiómákból definiálható és kommutativitása bizonyítható.
"Viszont amikor egy elsőrendű nyelvnél a konjunkció kommutativitását bizonyítják, akkor felasználják az (igazsághalmazok közötti) unió művelet kommutativitását."
Nem muszáj használnod igazsághalmazokat, a levezetési szabályokból közvetlenül is igazolható.
Üdv mindenkinek! Nekem van egy kérdésem, azt hiszem, hogy metamatematikai jellegű. Lehet, hogy már sokan feltették, de nincs kedvem végigbogarászni a topikokat.
Szóval: a matematika (viszonylag elemi) felépítésénél alapvető tétel például az unió halmazművelet kommutativitása. Ennek a bizonyításánál felhasználjuk a konjunkció logikai művelet kommutativitását. Viszont amikor egy elsőrendű nyelvnél a konjunkció kommutativitását bizonyítják, akkor felasználják az (igazsághalmazok közötti) unió művelet kommutativitását. Ez szerintem olyan körbenforgás, amit a matematika nem engedhet meg magának.
Másrészt mondhatja valaki, hogy amikor a logikát axiomatizáljuk (pl.: Hilbert axiómák), akkor levezethető a konjunkció kommutativitása. Viszont ott is felhasználjuk a halmazelméletet, amikor pl. definiáljuk a bizonyítás fogalmát. Valaki tud erről bővebben mesélni?
Ma általában úgy idézik a tételt, hogy ilyen - akár megszámlálható - Peano-modell nem lehet eldönthető.
Félreértés ne essék: nem arról van szó, hogy a modell elmélete eldönthetetlen - ez ugyanis pontosan a Gödel-tétel. Hanem maga a modell.
Ennek pontos leírása (Peano-modellekre!) a belinkelt Wikipediában megvan. Azzal együtt, általában a modell eldönthető, ha minden eleme definíciója felsorolható, és azok a definíciók is, amelyek a modellben nem jelölnek elemet.
A modell felsorolható, ha elemei(nek definíciója) felsorolható. És végül felsorolhatatlan, ha nincs algoritmus erre.
Az eldönthető modellek elmélete a modellelmélet mára különvált, hatalmas ága. A Studies in Logic sorozat Ershov és mások által szerkesztett egyik kötete jó bevezető ebbe.
Úgy gondoltam, hogy ez a Tennenbaum-tétel következménye, de nem.
Tennenbaum tétele (1959) eredetileg azt mondja ki, hogy olyan Peano-modellben, ahol végtelenül nagy számok is vannak, nem lehet a két alapművelet rekurzív.
Ma általában úgy idézik a tételt, hogy ilyen - akár megszámlálható - Peano-modell nem lehet eldönthető.
Nagyon érdekes, hogy míg ZFC-modell (és NBG is) sok létezik, hogy minden halmaz benne pointwise definable, Peano-modell már korántsem, csak a sztenderd.
Ez a mondat véletlenül maradt benne. Úgy gondoltam, hogy ez a Tennenbaum-tétel következménye, de nem.
Az viszont biztos, hogy ha Peano-modell pointwise definable, és nemsztenderd, akkor általában nem fogjuk tudni, hogy két definíció közül melyik definiál nagyobb számot.
What is more, every countable model of ZFC has a class forcing extension that is pointwise definable. Indeed, for the main contribution of this article, every countable model of Godel-Bernays set theory has a pointwise definable extension, in which every set and class is first-order definable without parameters.
Azt szokták Paris-modellnek nevezni, amikor minden rendszám paraméter nélkül definiálható.
Nagyon érdekes, hogy míg ZFC-modell (és NBG is) sok létezik, hogy minden halmaz benne pointwise definable, Peano-modell már korántsem, csak a sztenderd.
Ez, azt hiszem, igaz végtelen sok nemsztenderd Peano-modellre is, hiszen azok a formulák a ZFC-modellben vannak, és annak eldöntése, hogy aritmetikai-e egy formula, lehetséges végesen.
A Cohen-Shepherdson-modell V=L-modell, és így minimális is. Ehhez képest nagy meglepetés, hogy osztályforszolással minden megszámlálható ZFC-modellnek van pointwise definable kiterjesztése.
Mivel a kiszámításelmélet és a modellelmélet kapcsolatával sokat foglalkoztam, a forszolást valamiféle orákulumnak fogtam néha fel. Bár nem fejtem ki pontosan, hogy miért, ez a vélekedésem lényegében (egy aspektusában) helyesnek bizonyult, mivel egy definiálhatatlan(!) halmaz M-ben paraméterek nélkül definiálható lesz az osztálygenerikus kiterjesztésben.
Ez a módszer valamiféle orákulum, hiszen ugyanaz a halmaz le sem írható M-ben, de véges formulával definiálható a class-extension-ben.
Ez azt is jelenti, hogy bár az X halmaz, és ami a létezéséből következik, teljesen kívül marad a lehetőségeinken a ground modellben, a generikus modellben kezelhető lesz, számolhatunk vele (ha egyébként a létezése valamiért szavatolt).
Hangsúlyozni kell, hogy még effektív paraméterek sem szükségesek. Bár omega_1 és hasonló paraméterek teljesen elegendőek és elfogadhatók lennének.
Az persze tévedés - és volt már, aki félreértette -, hogy a ZFC-modell továbbra sem lesz felsorolható. Azaz nincs algoritmus arra, hogy egy adott definíció inkonzisztens-e a kiterjesztésben. Máshogyan: a definíciók felsorolhatatlanok.
Az számomra nem világos, hogy ha van két definíció, és feltesszük, hogy mindkettő konzisztens, azaz konkrét halmazok tartoznak a definiált halmazba, akkor eldönthető-e mindig, hogy melyik halmaz rangja magasabb? Vagy hogy az egyik eleme-e a másiknak?
Ez a kérdés régebben (FOM) felmerült a Paris-modellek esetében is.
Az a sejtésem, hogy nem: például Tennenbaum tétele (1959.) alapján ez a nemsztenderd Peano-modelleknél sem dönthető el. Ott ugyanis, ha van egy végtelenül nagy számunk (definícióval adva), akkor csak nemeffektív művelettel tudunk < szerint rendezést adni a számokon, tehát kudarcot vallunk. Miért lenne más a helyzet a megszámlálható modell definícióinak felsorolásával?
Fontos még látni, hogy a jól ismert L, L[A], OD és HOD jelölések mennyivel gyengébb definiálási eljárások. HOD például az öröklődően rendszám-definiálható halmazok (ZFC-ben ZFC-modell) valódi osztálya, tehát a paraméter mindig lehet rendszám.
-----------
Végül nagyon lényeges kiszámításelméleti probléma, hogy egy adott generikus M[G] definícióinak Gödel-számainak felsorolása mennyire bonyolult.
Ez teljesen nyitott kérdés. Különösen, ha valahogyan összefüggésbe hozzuk a ground modellbeli osztály-részbenrendezés megadásával. Ekkor a különféle konzisztencia-bizonyítások bonyolultsága is lehetővé válna, ami azt jelentené, hogy ismernénk egy hierarchiát a megkapott konzisztens formulák között: mennyire "nehéz" elérni az igazolásukat.
Title: Pointwise Definable Models of Set Theory Authors: Joel David Hamkins, David Linetsky, Jonas Reitz Categories:math.LOLogic Comments: 23 pages MSC: 03E55
Abstract: A pointwise definable model is one in which every object is definable without parameters. In a model of set theory, this property strengthens V=HOD, but is not first-order expressible. Nevertheless, if ZFC is consistent, then there are continuum many pointwise definable models of ZFC. If there is a transitive model of ZFC, then there are continuum many pointwise definable transitive models of ZFC. What is more, every countable model of ZFC has a class forcing extension that is pointwise definable. Indeed, for the main contribution of this article, every countable model of Godel-Bernays set theory has a pointwise definable extension, in which every set and class is first-order definable without parameters. Owner: David Linetsky Version 1: Mon, 23 May 2011 19:53:44 GMT Version 2: Tue, 19 Jun 2012 03:45:04 GMT
(hacsak nem direkt szabályszerűen csinálja - és úgy csinálja, nem természeti törvények szerint teszi. Ezt tegyük is fel. Mr.Y is csak egy Turing-gép, mint én.)
Itt muszáj javítani. Az alkalmazott absztrakció olyan erős, hogy nehéz érvényeset mondani a matematikai logika és a fizikai Univerzum filozófiai kapcsolatáról. Pedig a cél itt ez volt.
Az itt leírt, és az idézet alapjául szolgáló filozófiai szöveg egy összefüggő spekulatív metafizika része. Kétségtelen, hogy bonyolult, de nincs is egészében kifejtve. A legcsekélyebb frusztrációt se érezze senki, ha nem érti: előbb ki kellene fejteni a filozófiai előfeltevéseit.
Ha mégis valaki fogódzót szeretne, gondoljon a régi Macintosh gépek Életjátékára (Game of Life), amelyet 1970-ben J. Conway fedezett fel. Mr.Y valahogyan úgy tekinthet ránk, mint mi az egyre stabilabb konfigurációkra ("lényekre") a játékban. Persze a dolog nem ilyen egyszerű.
A fenti idézet helyesen:
"hacsak nem direkt szabályszerűen csinálja - és úgy csinálja, természeti törvények szerint teszi. Ezt tegyük is fel. Mr.Y egy Turing-gép lehet, mint én, de mivel akár végtelenül sok eseményt akár számítást én nem érzékelek, Mr.X lehet végtelen Turing-gép, vagy ennél is erősebb számítási modell. Ez az adott világ szabályainak függvénye."
Az idézett hozzászólás egészében egy ontológia - mégpedig eseményontológia. Ha ugyanis nem gondoljuk az endurantizmust igaznak, az időt kívülről kellene definiálnunk a ZFC-modellben.
Világos, hogy ha ezt mondom, hogy "az űrhajó száguld a ZFC-modellben", azt úgy célszerű érteni, hogy egy x halmaz nem más, mint az űrhajó valahol való léte, vagy nem-léte, és minden egyéb természeti körülmény is x-nek, mint halmaznak, tulajdonsága.
Kérdés, hogy tranzitív modellek esetén, ha supM<sumM*, akkor számos M*-beli esemény számunkra transzcendens marad, vagy nem. Hiszen már supM sem rendszám nekünk, nem konvergálhat űrhajópálya hozzá.
Ez egy nagyon nehéz probléma, mert a szuperveniencia megoldatlan itt. Ha a világunk definíció szerint a mi M ZFC modellünkben lévő események részbenrendezése, akkor nyilván, Mr.Y (M*-ben) hozzáfér a világunkhoz, míg mi az övéhez sohasem. Ez egy reduktív elmélet, nincs szuperveniencia.
Ez nem túl szimpatikus ontológia (nekünk), és szerintem meg kell különböztetni két ontológiát: az egyikben definíciókat értünk és érzékelünk, a másikban halmazokat. Az Extenzionalitási Axióma alapján a halmazokat elemeik határozzák meg, azonban valójában a matematikában nem így van ez: a halmazokat definíciójuk határozza meg.
Ha most M*-beli y eseménnyel bővítem M-et, mint az mondtam is, világos, hogy egy M-beli x definíciója is változik. De maga x nem változik (az elemei ugyanazok). Ha csak a definíciók válnak episztemológiailag hozzáférhetővé, akkor valóban áttérhetünk Mr.Y M*-univerzumára.
Ha nem, akkor lényeges, hogy x szerkezete a mi számunkra mennyire hozzáférhető?
Például, ha ZF+V=L-modellben élünk, akkor az - feltehetjük - finomítható. Bizonyos halmazoknak így, ha át tudunk tekinteni, nem csak a definíciója, hanem a konkrét szerkezete (értsd: elemei) is áttekinthetők, még ha végtelenül sokan is vannak, és ekkor rájöhetünk, hogy világunk nem is V=L-modell.
Hogy melyik episztemológia a helyes, ilyen absztrakt tárgyalásban nem tűnik meghatározhatónak, fogalmam sincs. Az M valahogyan megkonstruálja a szubjektumot, azaz minket, eseményeken át. Hajlamos vagyok ezt egy szuperveniencia-jelenségként kezelni, de nem tudom, hogy ez a szuperveniencia invariáns-e egyetlen ZFC-modellben (azaz annak eseményontológiájára definiált, ahhoz esszenciálisan kötődő), vagy pedig egyre finomodó ZFC-részbenrendezéseken szuperveniál. És azt sem tudom, hogy a fizikai-technológiai felfedezések is M-re definiáltak, vagy éppen új eseményeket jelentenek, azaz egy finomabb M*-et.
A válasz inkább negatív lehet sajnos: M* eseményei annyira idegenek evolúciónktól (mivel nem vettek részt benne), hogy transzcendensek az M-élőlény számára (vagyis nekem).
Az, hogy "transzcendens", azt jelenti, hogy észre sem veszem. Persze az M*-beli fejlettebb lények szintén használják M eseményeit (hiszen M része M*).
De más törvényekként éljük meg az eseményről eseményre ugrást: hiszen a definíciók mások.
Nincs sok értelme arról sem beszélni, hogy egy M*-élőlény beavatkozik a mi M világunkba, hiszen az M*-élőlény ugyanúgy szuperveniál az M* modellen, mint mi az M-en. Nem avatkozhat be, hiszen az események nem tőle függnek, hanem eleve benne vannak M*-ben.
A kérdés csupán az lehet, hogy egy M-beli lény tudata tud-e úgy szuperveniálni az eseményeken, hogy kulturális-biológiai evolúciós hátteréül már M*-et tudjuk meghatározni?
Ebben a Multiverzum-elméletben a világegyetem olyan topológia, ahol zártnyíltak a ZFC-modellek (vagy sok közülük).
Ez egyébként önmagában, matematikai logikailag is érdekes probléma: egy topológia, ahol a bázishalmazok ZFC-modellek! Ebben az esetben, mivel egy M modell valódi osztály belülről, az M-sorozatok M lezárásához nem konvergálhatnak, azaz ebben az értelemben M zártnyílt.
De azért egy M-et majoráló M-ből, ahol supM rendszám M*-ben, már lehet sorozat supM-hez.
Feltehetjük, hogy a ZFC-modellek mindig legyenek tranzitívak.
Woodin különben forszolt ZFC-modellekkel - V-ben, végülis, ezek is csak ugyanolyan halmazok, mint a többi. Sőt: ha van egy tetszőleges H halmazunk, az struktúra a rajta igaz halmazelméleti formulákal.
Ez a gondolat nagyon sok mindenre használható (pl. stacionárius halmazok jellemzése), nem árt észben tartani. Sokszor választhatunk egy adott halmazelméleti problémánál H-t, hogy rajta fi igaz legyen.
A szerkezeti determináltság tisztázásához, ha az egyáltalán lehetséges, a lehetséges világok Kripke-szemantikájának analízise volna szükséges.
Persze egészen más volna a helyzet, ha nem kötne minket, hogy V-ről van szó. Ha csak ZFC-modellekről, akár valódi osztályokról volna szó, ez nem jelentene problémát: minden lehetséges világban van egy V, de ez csak egy ZFC-modell. A gond itt a self-reference: a modális logika maga is matematika, és interpretálható a halmazelméletben, azaz V-ben.
Ehhez a nem könnyű problémakörhöz szeretnék még egy utolsó gondolatot fűzni.
Mivel azt a topikot gondolataim összeszedésére használom, és afféle gyakorlásra, amit most muszáj (mármint muszáj lenne dolgoznom), hadd fűzzek még egy, az alábbihoz kapcsolódó, szerintem érdekes gondolatot.
Tegyük fel, hogy az Univerzum egy M ZFC-modell! Ebből rögtön az is következik, hogy az Univerzumnak nincs határa, mert M nem objektum, és ha egy űrhajó pályáját egy halmazokon konvergens sorozatként értelmezzük - márpedig csak ez értelmes -, akkor világos, hogy ha még V-ben is vagyunk, supM rendszám V-ben, supM sosem érhető el M-ből.
Ugyanis supM nem rendszám M-ben.
Mármost, ha valaki a Multiverzum-elméletben hisz, a dolog még érdekesebb. Lehet úgy, hogy V-ben vagyunk, és kész. De ha V-ben vagyunk, akkor a világunk teremtésekor az ontológia azt is meghatározta, hogy minden V-beli halmazt elérhetünk-e (pl. űrhajó pályájával), vagy nem.
Utóbbi eset már a Multiverzum-elmélet: vannak láthatatlan, azaz érzékelésünkkel (beleértve tudományos lehetőségeinket) is bizonyos halmazok, sőt, bizonyos konvergens pályák, amelyek számunkra transzcendensek.
Mit jelent ez? Azt, hogy technológiai korlátaink vannak, de abszolút értelemben, más lények számára ezek meghaladhatók. Nézzünk egy példát. A fenti M-ben élünk, amely egy M* ZFC-modell halmaza. Ha pedig az, akkor supM az M*-beli lények számára nem transzcendens, űrhajóval megközelíthető. Az M-beli lények azonban supM-ről csak hipotetikusan szerezhetnek tudomást.
Ha az Univerzum sok ilyen ZFC-modellből áll, amelyek akár egymásnak finomításai, akkor a bennük élő lények számára egészen más világok nyílnak meg, ráadásul nem kizárt, hogy a szerencsésebb lények számára az egész M világ vizsgálható, de nekem/nekünk már nem.
Ebben a Multiverzum-elméletben a világegyetem olyan topológia, ahol zártnyíltak a ZFC-modellek (vagy sok közülük).
Ez a téridő-paradoxonokra is hatással lehet. Egy M ugyanis Univerum, és nem tér, hanem téridő. Ezért, ha időparadoxonra (inkonzisztenciára) bukkanunk M-ben, lehet, hogy egy nálam szerencsésebb M*-beli lény számára ez nem is paradoxon. Természetesen, mások lehetnek a fizikai törvények is, de ez nem szükségszerű.
Vegyünk egy eseményontológiát, és gondoljunk bele, hogy mi is történik konkrétan! Én vagyok M-ben, és nem észlelem az X eseményt (ez halmaz). Egy M*-beli lény (Mr.Y) azonban igen, számára, mivel M* M finomítása, X tény (ami formulával jellemezhető).
Akkor viszont Mr.Y képes befolyásolni az én téridőmet anélkül, hogy arról én tudomást szereznék - hiszen X számomra nem létezik. Az én szemszögemből akár időutazást is végrehajthat, teremthet és megszüntethet dolgokat - és én képtelen vagyok felfogni, hogyan (hacsak nem direkt szabályszerűen csinálja - és úgy csinálja, nem természeti törvények szerint teszi. Ezt tegyük is fel. Mr.Y is csak egy Turing-gép, mint én.)
Akár Isten is létezhet így: ő V-ben él, én azonban csak egy M halmaz, vagy belső modellben.
A kérdés az, hogy ez elrendeltetett-e. Vagyis nekem lehet bejárásom Mr.Y világába (ZFC-modelljébe)? Ezt nem tudom, de nem valószínű. Ugyanis az én világomban én evolúciósan stabil úgy lehetek, hogy konstrukcióm következtében csak a számomra releváns, azaz M-tényeket (halmazokat, formulákat) kell figyelembe vennem.
Ha most M* hirtelen számomra adott lenne, akkor össze is omolhatnék (evolúciósan), hiszen M*-ben egészen más, vagy sokkal több halmaz és halmazok vannak, amelyek hatnának rám. Mr.Y úgy jár keresztül rajtam (és téridőmön), mintha levegő volnék, észlel engem, de én őt nem.
Sajnos, egyelőre úgy látom, hogy konstrukciómól fakadóan ez nem is változtatható meg, bár a dolog nem ilyen egyszerű. Ez valamiféle kontingens ténynek tűnik: kellő technológiai tudással talán M* bizonyos eseményei, halmazai, vagy akár az összes, elérhetővé válhat számomra, és ezzel az evolúció magasabb fokára juthatunk. Ez nem befolyásolná a létemet, hiszen ez lassú folyamat, lehet hozzá adaptálódni, ezért nem tesz evolúciósan instabillá.
Egy lehetséges válasz Mr.Y létezésében rejlik. Mr.Y-nak, mint mondtam, lehetősége van a világomba avatkozni. Ha ez így van, azt biztosan észlelni fogom. Akkor pedig, M* halmazaira, amelyeket Mr.Y használt, én magam hipotetikusan következtetni fogok, és így, ha nem is közvetlenül, de beépítem őket a saját világomba, a fizikai törvények leírásába. Mint a kvantumelméletben: nem észlelem a részecske határozatlanságát, valójában nem is tudom, mi történik, mikor a részecske szuperpozícióban, vagy meghatározatlan állapotban van.
De használom a tényt, és működik.
Ez azonban feltételezi, hogy Mr.Y - vagy bármi más M*-ből - hatással van M-re. Ha nem, akkor az Univerzumok között nincs átjárás.
Ha igen, akkor még az is lehet, hogy tényleg lehet utazni fénysebességnél gyorsabban - mert használok M*-beli igaz formulákat, azaz: természeti tényeket és törvényeket. Az evolúció talán ZFC-modellünk finomodása.
Azt sem látom, hogy a topológia szétesettsége miatt, ha supM<sumM*, akkor számos M*-beli esemény számunkra transzcendens marad, vagy nem. Hiszen már supM sem rendszám nekünk, nem konvergálhat űrhajópálya hozzá. Tehát nem tudom, hogy a finomodásnak mik a határai.
Ehhez a nem könnyű problémakörhöz szeretnék még egy utolsó gondolatot fűzni.
Az Univerzum elméletét, fizikai értelemben, általában nem ZFC-modellként határozzák meg.
Azért ez nem olyan egyszerű, mert a FOL igényel számos elemet a ZFC-ből, például a Boolean Prime Ideal tételt.
Ha ettől eltekintünk, és az Univerzum nem ZFC-modell, de azért valamilyen axiómarendszer modellje, akkor az immanens realista elsoszulott kérdését felteheti, mert akkor könnyen lehet, hogy nincs teljességi tételünk (a valódi Univerzumban!), és akkor valóban, olyan modellek létezhetnek elvileg - akár a matematika platóni, téridőn kívüli Univerzumában, ha az létezik, amelyek nem létezhetnek egyszerre a fizikaiban, kizárják egymás létezését.
Az immanens realista számára a modális platonizmus kérdése ekkor nagyon fontossá válik, hiszen a matematika egy része, amely éppen olyan, mint a többi, semmiféle ontológiai státusszal nem bír, míg más része meg igen. És erre nincs metafizikai magyarázat: ez esetleges, a világ kontingens ténye.
ZFC-modell-e az Univerzum, és ha nem, akkor olyan Ax axiómarendszeré, amely bír a teljességi tulajdonsággal (ez különben önmagában is érdekes: Ax definíció szerint lehetne logika, ha teljességi tétele van, azaz modelljeiben minden konzisztens axiómarendszernek van modellje)? Ha igen, az nagyon erős állítás, mert akkor az Univerzumban MINDEN konzisztens elméletnek van modellje, azaz fizikai reprezentációja (akkor mis lehet így, ha az Univerzum korlátos - egy fekete lyuk matematikája igen komplex). Ez azt jelenetné, hogy az Univerzum matematikailag annyira gazdag, amennyire csak logikailag lehetséges.
Ha viszont az Univerzum - ezzel szemben - nem ZFC-modell, akkor feltehető a kérdés, hogy ha szükség merül fel, mondjuk, egy fizikai elméletben a Replacement-re, vagy a topológia jólrendezésére, rendelkezésre állnak-e az axiómák?
Persze, ha egy konkrét topológiánk van, akkor azt szeretnénk jólrendezni, és akkor az nem az AC. De mégis fontos, hogy a meglévő struktúrákra igazak-e a ZFC axiómák.
Azok alapján, amit ma a tudományfilozófiából tudunk, az Univerzum elméletei aluldetermináltak, sőt, a logika és a szemantika (ontológia) is, és ezért azt az álláspontot foglaltam el, hogy az Univerzum valamilyen, de talán nem immanens realista értelemben, ZFC-modell.
Az egy másik, szintén értelmes kérdés, hogy az említett, téridőn kívüli platóni matematikai Univerzum ZFC-modell-e, és talán ez is, pusztán mert nincs jó okunk a tagadására.
Ha modalisták vagyunk, akkor mindkettő lehetősége (V|=CH, V|=~CH). Erre találták ki a modális logikát, annak szemantikáját.
Ez igaz, de azt azért látni kell, hogy ha a fenti lehetőségeket realitásként kezeljük, lemondunk a platonizmus egyik legfontosabb részéről, a transzcendentális metafizikáról, a hozzáférhetetlen tudásról.
V lényege ugyanis az, hogy elsoszulott kérdésének feltétele hamis, ha az Univerzum konzisztens.
Vagyis nem lehetséges, hogy
két dolog külön-külön létezhet, de egyszerre nem,
ilyen nincs a doktriner platonista számára. Az intuíciónak is megfelel, hogy V egyetlen struktúra, akkor pedig a metaelmélet alapján rajta CH vagy ~CH.
Pikáns tehát a helyzet: lehetünk modális platonisták, és akkor minden lehetséges világban van egy V, vagy abszolút platonisták, és akkor egyetlen V van. Melyik legyen? Ez nem könnyű probléma, most az utóbbit javasolnám, mert nincs érvem arra, hogy mi az a metafizikai ok, ami miatt eltér egy V a másiktól, éspedig kizárólag a lehetséges világ szerkezete miatt.
A szerkezeti determináltság tisztázásához, ha az egyáltalán lehetséges, a lehetséges világok Kripke-szemantikájának analízise volna szükséges.
Mindenesetre én egyelőre úgy hiszem, hogy a számok és az igazságaik nem függnek a fizikai dolgoktól.
Én nem azt mondtam, hogy függnek. Én azt mondtam, hogy a fizikai világra alkalmazva a PA fizikai elméletként kezelendő, ha evolúciós termék, és éppen úgy fizikai elmélet, mint a kvantummechanika.
Intuitív, hogy a sebességek összeadása milyen - aztán mégsem olyan. Intuitív, hogy két mamut és két mamut az négy mamut, ez működik is, de lehet éppen olyan ez, mint a sebességek összeadása.
Ha két dolog külön-külön létezhet, de egyszerre nem, akkor a Mindenség-be melyik tartozzon bele?
Ha modalisták vagyunk, akkor mindkettő lehetősége (V|=CH, V|=~CH). Erre találták ki a modális logikát, annak szemantikáját. Ha nem vagyunk modalisták, akkor olyan mindenséget kell találnunk, amelybe mindkettő belefér. Mondok egy példát: ZF+AC és ZF+~AC egymást kizárják, de mindkettőnek van halmazmodellje.
Én elképzelésemben V-ben csak halmazok vannak, amiket iteratív módon gyártunk korábbiakból.
Ugye, ez a Kumulatív Hierarchia. V-ben valóban csak halmazok vannak, és inkonzisztens objektumként, entitásként utalni az Univerzumra, azaz V-re. De nem arról van szó, hogy V kezdőszelet, hanem hogy V nincs is. Ahogyan mondtam, inkonzisztens a mindenség fogalma. Nem beszélhetsz róla ellentmondás nélkül.
Ezt az univerzális kvantorral, metaelméletben korrigálhatjuk (minden x x=x), és - nem ide való - vita tárgya, hogy ez a korrekció mennyire konzisztens. Az univerzális kvantor és a formula nem dolog, és nem is predikátum.
"A sebesség-összeadás szabálya sem úgy van, ahogyan igaznak látjuk, hanem a relativitáselmélet alapján, nem igaz?"
Hát én fizikát legutóbb gimiben tanultam, akkor sem relativitáselmélet-mélységben, így ehhez érdemben nem tudok hozzászólni.
"Pedig mennyire nyilvánvaló.
Hasonlóan, az obligát példánk, a kecskék összeszámolása az ősembernek is lehetne approximatívan sikeres, ha a PA nem igaz a világban. Egy kő meg egy kő bizony nem két kő, csak kb. 20 C-fokon, földi gravitációs körülmények között.."
Ez mindenesetre egy nagyon érdekes gondolat. Mindenesetre én egyelőre úgy hiszem, hogy a számok és az igazságaik nem függnek a fizikai dolgoktól.
"pusztán annyi: "minden, ami létezik" "
Ha két dolog külön-külön létezhet, de egyszerre nem, akkor a Mindenség-be melyik tartozzon bele?
Én elképzelésemben V-ben csak halmazok vannak, amiket iteratív módon gyártunk korábbiakból.
Lehet elemezni, hogy V micsoda. Hogy a "Mindenség" micsoda. De befejezett valami.
Máshogyan: transzfinit jellegű. Ez a vitánk ütközőpontja: Te a V-t nem transzfinit természetűnek érzed, hanem csak potenciálisan végtelennek. Akkor nem lehet persze az Univerzumra értelmesen utalni, a maga egészében.
A halmazelmélet szempontjából a Te álláspontod is védhető. A valódi osztály fogalma ugyanis nem transzfinit (V nem létező dolog a halmazelméletben), inkonzisztenciát okozna, ha az lenne (Russell-paradoxon). Ezért a halmazelméletben nincsenek is valódi osztályok. Helyettük univerzális kvantor van, "minden x F(x)" az egész V-re utal. Mégis lehet tehát konzisztensen V-t transzfinitnek érezni.
Jól írja le alatt nem azt értem, hogy minden "igaz" dolgot be tudunk látni vele, hanem csak, hogy amit belátunk az valóban "igaz".
Approximatívan igaz. A sebesség-összeadás szabálya sem úgy van, ahogyan igaznak látjuk, hanem a relativitáselmélet alapján, nem igaz? Pedig mennyire nyilvánvaló.
Hasonlóan, az obligát példánk, a kecskék összeszámolása az ősembernek is lehetne approximatívan sikeres, ha a PA nem igaz a világban. Egy kő meg egy kő bizony nem két kő, csak kb. 20 C-fokon, földi gravitációs körülmények között..
Igen, de nem minden nézet szerint van egy kitüntetett mindenség.
Ez ugyan igaz, de nem érted. A "minden" az minden. Olyan persze van, hogy "az én világom mindensége", és "másik világ mindensége", de akkor is van értelme az összes világot egyszerre venni, és azt nevezni a "Mindenségnek". Az én világomat, másikat, mindent, egyszerre.
Vegyünk egy fizikai példát, jó? Van az a kozmológiai modell, hogy vannak Univerzumok, és ezek között - talán - van átjárás (jó lenne, ha lenne), talán nincs. Ezt nevezzük Multiverzumnak. De ez csak szóhasználat. Valójában az összes Univerzumot vehetjük egy struktúraként, és akkor az lesz a Mindenség.
Igen ám, de onnan miért nem mész tovább?
Az "igazi" világ kezdőszeletei terminusnak még ha valamilyen értelemben értelmet is tudunk adni, az szerintem mindenképpen problémás, hogy meddig tartson a világ és miért pont addig.
A potenciális, és aktuális végtelen fogalmán akadsz fönn, utóbbit nem engeded meg.
Először, V nem azt jelenti, hogy korlátozom a ""minden"-ről szóló filozófiai gondolkodást. {x:x=x} értelmezése (hogy milyen jellegű struktúra, pl. ZFC-modell-e) sokféle lehet, a definíció jelentése pusztán annyi: "minden, ami létezik".
De aki ezt mondja, nem foglal állást abban, hogy mi létezik, és mi nem!
Ezt van aki úgy oldja meg magában, hogy fölülről nyitottnak képzeli, ami egy szimpatikus elképzelés, viszont a kvantorok értelmezése gondot okozhat.
Másodszor, ha nem ismered el, hogy van olyan logikai elemzés, amely a Mindenséget egyszerre tárgyalja, akkor nem lehet referálni (utalni) a Mindenségre. Ezt akkor alá kell támasztani a saját metafizikádban. Ez a potenciális végtelen régi koncepciója: V nem végleges Mindenség, hanem olyasmi, amit toldozni lehet, V* Mindenséggé. Nem értek ezzel egyet: a matematika időtlen, és ezért van értelme "minden matematikai létezőről" beszélni. De ha időben volna, akkor értelme volna időn kívüli álláspontból egyszerre utalni a jövőre is (a "minden" szó alatt).
Lehet elemezni, hogy V micsoda. Hogy a "Mindenség" micsoda. De befejezett valami. Rajta kívül nincs semmi, sőt, van, aki szerint értelmetlen arról beszélni, hogy van-e rajta kívül valami. V a létezés maga.
"A PA már ma sem jól írja le a valóságot, hiszen ahhoz pl. funkcionálanalízis, Lie-algebrák, differenciálgeometria, valamennyi ZFC kell."
Jól írja le alatt nem azt értem, hogy minden "igaz" dolgot be tudunk látni vele, hanem csak, hogy amit belátunk az valóban "igaz".
"De hát a "Mindenség" szó mindig a Mindenségre vonatkozik."
Igen, de nem minden nézet szerint van egy kitüntetett mindenség.
"hogy a V[G] generikus univerzumoknak V valódi része (ami, mint írtam, elég problematikus), akkor is veheted az összes V[G] struktúrát, és ez lesz egy Univerzum. Felteheted a kérdést, hogy milyen axiómákra zárt ez? ZFC-re zárt?"
Igen ám, de onnan miért nem mész tovább?
Az "igazi" világ kezdőszeletei terminusnak még ha valamilyen értelemben értelmet is tudunk adni, az szerintem mindenképpen problémás, hogy meddig tartson a világ és miért pont addig.
Ezt van aki úgy oldja meg magában, hogy fölülről nyitottnak képzeli, ami egy szimpatikus elképzelés, viszont a kvantorok értelmezése gondot okozhat.
Ha az ősemberes kecskés, mamutos példáid arra vonatkoznak, hogy ez az egyik legősibb legtermészetesebb rendszer abban egyetértünk. Hogy kellően nagy számokra már valamelyik axiómája "nem igaz" én ezt nem igazán tudom elképzelni, de persze minden lehet.
Először is, nem pontosan a kérdésedre válaszoltam.
Lehet, hogy nem tudod elképzelni, hogy PA kellően nagy számokra nem teljesül, de gondolj arra, hogy kellően bonyolult aritmetikai formula igazsága sem nyilvánvaló - és PA-tétel is van ilyen.
Ha Peano-ról kiderül, hogy inkonzisztens, vagy legalábbis a valóságot nem jól írja le, akkor mivel ZFC-ben is tételek PA tételei ZFC is inkonzisztens/nem valósghű lesz.
A világ, elvileg, lehet inkonzisztens.
Az intuitív igazság és a konzisztencia együtt sem kritériumai a valósághűségnek. A PA már ma sem jól írja le a valóságot, hiszen ahhoz pl. funkcionálanalízis, Lie-algebrák, differenciálgeometria, valamennyi ZFC kell.
Ha a PA inkonzisztens, attól még lehet evolúciósan sikeres; és akkor a ZFC is inkonzisztens, és szintén evolúciósan sikeres.
---------------
de úgy gondolom, hogy igazolni tudom (szándékom szerint publikációban, nyáron), hogy minden osztályrealista Univerzum interpretálható (a modell létezik, és definiálható) a ZFC V Univerzumában, megfelelő nagy számosság alatt.
Bár van értelme arról beszélni, hogy a különböző osztályrealista Univerzumok között bijekció lehet (pedig a definíciók jóval kifejezőbbnek tűnnek), én nem ezt akartam mondani.
A próbálkozás szándékom szerint arra irányulna, hogy ha V* egy osztályrealista elmélethez tartozik - vagy akár univerzális halmazelmélethez, akkor megfelelően nagy konzisztencia alatt V*-vel elemien ekvivalens halmaz-(vagy belső) modell definiálható a ZFC V Univerzumában. Az igény úgy merült fel, hogy a New Foundations elméletre szerettem volna legalább egzisztencia-bizonyítást adni, hogy egy modellje ZF(C)-modellben definiálható.
Konkrét definíciót nem akartam, mert az valószínűleg nagyon bonyolult.
Halmazmodell esetén az ember Vkappa alakra törekszik, de ez nem szükségszerű.
Valójában a V[G] generikus univerzumoknál sem kell új halmazokat posztulálni V-hez. Ennek magyarázatát most nem kísérlem meg.
Természetesen, ismert előttem, hogy a kanonikus nevek interpretáltja maga a ground modell, és M része M[G]. V=V[G] lehetséges azonban. Az alternatív forszolási technikát nem célszerű részletezni (csak mert olyan komplex). Egy analógia viszont talán helyes.
M ZFC+~Con(ZFC)-modellben, mint tudjuk, nem-sztenderd PA-modell a sztenderd. Azt, hogy ennek van egy kezdőszelete, amely PA-modell, definiálhatatlan, és a sztenderd modell, azt már M elmélete nem igazolhatja, mert különben Con(ZFC) tétel volna, sőt, az ezt kimondó állítást (hogy az M-sztenderd modellben vannak végtelenül nagy számok) hamisnak is igazolja.
Valami ilyesmi alapgondolat állt a forszolási technika V-re alkalmazott módosításában: G halmaz, de M elméletében nemcsak definiálhatatlan, de létezése inkonzisztens is (ahogyan az előző bekezdésbeli M-ben az, hogy az M-sztenderd PA-modellnek van valódi PA-modell K kezdőszelete). V[G]-hez egy "orákulumot" kell alkalmazni, amely G definícióját megváltoztatja, és ezáltal V[G] elméletében G halmaz.
Tehát a halmazok definíciójának megváltoztatásával a rekurzív formulákkal felírható teljes elmélete V-nek változik, maga V azonban ugyanaz maradhat (ezen a módon). Nem V változik tehát, hanem bizonyos definícióhalmazok lesznek kifejezhetők rekurzívan, és ezáltal V elméletét alakítjuk át egy másikká. Nem is helyes másik struktúráról beszélni, hanem inkább arról, hogy az effektív elmélete V-nek nem tükrözi V szerkezetét pontosan, de felválthatjuk másikkal.
Biztosak persze nem lehetünk ugyanis V[G]-ben pl. GCH és ~GCH is lehet igaz, a P poset-től függően. De ez éppen olyan probléma, mint hogy feltesszük V-ben ugyanezeket.
---------------
Ha egy igazi világban akarunk hinni, akkor ez így értelmes. Ha multiplatonisták vagyunk, akkor az adott világ mindensége.
De hát a "Mindenség" szó mindig a Mindenségre vonatkozik.
Vehetsz egy M ZFC-modellt (ez belülről valódi osztály), és veheted a V világot. Utóbbiban van az összes ZFC-modell. Egyet vitathatsz: hogy V zárt-e a ZFC-re. A multiplatonista legfeljebb azt mondhatja, hogy - valamilyen megfontolásból - metafizikailag hibás a Mindenségre utalni.
Például, ha azt gondolod, hogy a V[G] generikus univerzumoknak V valódi része (ami, mint írtam, elég problematikus), akkor is veheted az összes V[G] struktúrát, és ez lesz egy Univerzum. Felteheted a kérdést, hogy milyen axiómákra zárt ez? ZFC-re zárt?
"Az ősember sosem igazolt galaxis-hosszan. Neki a kecskéket kellett megszámolnia, és ezzel semmi gondja nem volt."
Ha az ősemberes kecskés, mamutos példáid arra vonatkoznak, hogy ez az egyik legősibb legtermészetesebb rendszer abban egyetértünk. Hogy kellően nagy számokra már valamelyik axiómája "nem igaz" én ezt nem igazán tudom elképzelni, de persze minden lehet.
"V definíció szerint a Mindenség"
Ha egy igazi világban akarunk hinni, akkor ez így értelmes. Ha multiplatonisták vagyunk, akkor az adott világ mindensége.
Ha Peano-ról kiderül, hogy inkonzisztens, vagy legalábbis a valóságot nem jól írja le, akkor mivel ZFC-ben is tételek PA tételei ZFC is inkonzisztens/nem valósghű lesz.
Gondolj az indirekt bizonyításokra. Akár több tucat oldalon keresztül is úgy igazolsz, mintha konzisztens elméletben lennél, és minden következtetés lehet intuitív. Hasonlóak a fizikai elméletek is, sőt, van is matematikailag inkonzisztens fizikai elmélet (renormálás).
Miért ne alakulhatott ki az evolúcióban sikeres matematika úgy, hogy galaxis-méretű igazolása van benne 0=1-nek? Az ősember sosem igazolt galaxis-hosszan. Neki a kecskéket kellett megszámolnia, és ezzel semmi gondja nem volt.
Bárhogy is alkotjuk meg V-t, a szokásos okok miatt nem lesz halmaz. De ha ezen V létezését már elhittük, akkor nincs akadálya egy olyan V'-t elképzelni, amiben az előző V csak egy kezdőszelet. Például a ZFC-hez tartozó V a ZFC+erősen elérhetetlen világában lehet egy kezdőszelet. Ilyen szempontból nyitott, befejezetlen a világ, nem tudjuk "milyen magasra kell mennünk" és persze nem is tudhatjuk.
Ez logikailag nem jó. Ha tudjuk, hogy V nem halmaz, akkor nem lehet (ZFC alatt) kezdőszelete egy V'-nek, mert ugyan V{erősen elérhetetlen} Universe-like, azaz ZFC-halmazmodell, de feltettük, hogy nem halmazmodellben vagyunk.
Azt, hogy halmazmodellben vagyunk-e, vagy V-ben, ZFC-modellben sosem fogod tudni (a világban élő számára ez hozzáférhetetlen). De ez most metafizika kérdése, hiszen megállapodtunk, hogy nem halmazmodellben vagyunk. Akkor pedig nagy számosságot sem tudsz értelmezni, amellyel V kezdőszelet. A nagy számosság V-ben lesz, és feltevésével csak annyit mondasz, hogy az Univerzumban van nagy számosság. De az Univerzum ugyanaz marad.
Azt kell megértened, hogy itt V definíció szerint a Mindenség. Ha azt mondod, hogy "a minden", azt nem egészítheted ki azzal, hogy "jó, de ez a struktúra a Mindenségen kívül létezik". Ez ellentmondás.
Ha Peano-ról kiderül, hogy inkonzisztens, vagy legalábbis a valóságot nem jól írja le, akkor mivel ZFC-ben is tételek PA tételei ZFC is inkonzisztens/nem valósghű lesz.
"A V nem lehet csak a kezdőszelete, vagy része egy nagyobb világnak."
Bárhogy is alkotjuk meg V-t, a szokásos okok miatt nem lesz halmaz. De ha ezen V létezését már elhittük, akkor nincs akadálya egy olyan V'-t elképzelni, amiben az előző V csak egy kezdőszelet. Például a ZFC-hez tartozó V a ZFC+erősen elérhetetlen világában lehet egy kezdőszelet. Ilyen szempontból nyitott, befejezetlen a világ, nem tudjuk "milyen magasra kell mennünk" és persze nem is tudhatjuk.
Persze itt muszáj utalni arra, hogy a matematikafilozófiákban ezt nem mindenki vallja. Ebből ugyanis az is következne, hogy maga a logika is evolúciós eredetű. Ha pedig az - akkor azok az intuíciók, amelyek a logikai szabályokra és az az aritmetikára vonatkoznak, elveszítik metafizikalag kitüntetett voltukat, ami nekünk azért baj, mert ezzel az abszolút igazságukat is.
Például, lehetséges, hogy egyszer egy ma kontingens (néha igaz, néha hamis) állításról tudni fogják, hogy valójában mindig igaz? Ez azért nagyon furcsa vélemény. Ha mégis igaz, akkor a logika éppen olyan tudomány, mint bármelyik másik.
Ez még rendben is volna, csakhogy ez logikai ellentmondás: az eddigi érvelésemet a logika szabályai szerint konstruáltam meg. Konklúzióként azonban pont ugyanezt a logikát kérdőjelezem meg, mint nem-abszolút, potenciálisan téves, tudományos elméletet!
És az evolúcióra, mint tudományos elméletre, annak igazságára, ugyanez vonatkozik.
Végső soron, semmilyen érvelésnek akkor nincs szilárd alapja.
Nehézség szerintem itt az, hogy a nagyon nagy végtelenekről tett erős feltevések "helyességéről" már sokkal kevésbé vannak természetes meggyőződései az embernek mint például a természetes számok alapigazságairól.
Erre még reagálok, jó? Most látom, hogy az előzőekben a saját kutatásaimról írtam - de pont olyan kérdéseket tettél fel.
A Peano valószínűleg evolúciós termék. Gyakorlatilag biztos, hogy ezért evidens. A Peano jó volt az ősembernek a kövek és gyümölcsök és kecskék megszámlálására, de az nem biztos, hogy a Peano igaz a (most: fizikai) Univerzumban (csak végtelen modelljei vannak). Még az sem biztos, hogy a Világegyetem elméletében interpretálható (erről több cikk is szól). Végtelen sok mamutot senki sem látott.
Sok kavics végül fekete lyuk, de ennek a dolognak a matematikájában (Einstein) a PA interpretálható (minden relativitáselmélet-modellben). Kimutatták, hogy a Speciális Relativitáselméletnek van axiómarendszere, amely eldönthető, és modelljeiben PA nem interpretálható. Lehet, hogy az Általános Relativitáselméletnek is van ilyen felépítése?
Ez ma nem ismert.
Ami engem illet, nagyon szeretném, ha a PA a Világegyetem matematikai modelljében interpretálható volna. Ha a PA intuitivitása azonban a szubjektumhoz, az episztemológiához kötődik, elképzelhetők olyan lények, akik számára a kvantummechanika a napi tapasztalás része, természetes dolog. Az ő számukra a matematika is sokkal bonyolultabb lehet (mint evidens evolúciós termék), és lehetnek nagy számosságok, amelyek nekik éppoly kézenfekvők, mint Neked a véges számok összeadása.
A matematika azonban kulturális-racionális evolúciós termék is, nemcsak biológiai. és akkor igazad van: lehet majd olyan tudományos evolúciós folyamat, amely egy nagy számosságot éppen olyan evidensnek éreztet majd a kutatókkal, mint ahogyan az Hatványhalmaz Axiómát Te vagy én érezzük.
De ez intellektuális, és nem episztemológiai evidencia lesz.
