A tengerparton állsz. Egy óra és egy 3 méteres mérőszalag van a kezedben. Hogyan méred meg a Föld sugarát, ha semmilyen más adat és eszköz nem áll rendelkezésedre?
Az MH probléma azzal keletkezik-e, hogy úgy mutatnak meg egy üres fiókot, hogy tudják hol a nem üres vagy már azzal is, hogy tudja a megmutató, hogy amit épp megmutat az biztos üres, de ő nem feltétlen ismeri a kulcs helyét.
Érzésem szerint ezen utóbbi feltétel már elég ehhez.
>Azt is érdemes megérteni, hogy ha nem te választottad ki a 8 fiókot, ami éppenséggel véletlenül üres, hanem más, aki tudta, hol a kulcs, és direkt üreseket nyitott
---
És ha valaki a fiókok egy részéről tudja, de csak azokról, hogy azokban nincs a kulcs és arról nyilatkozik a próbálkozásunk alatt (előtte vagy közben vagy utána jelen esetben a 9. fiók előtt), akkor mennyiben változik a valószínűség a 9. fiók esetében?
2. Legyen a1,a2,a3 a háromszög három oldala; c1,c2,c3 a megfelelő szögek; r1,r2,r3 a három Malfatti-kör sugara; d1,d2,d3 az egyes csúcsokból a legközelebbi Malfatti-körhöz húzott érintők távolsága; r a beírt kör sugara; s a félkerület; t a terület. Ekkor
Az utóbbiak általam ismert bizonyítása szintén számolásigényes, megtalálható:
Lob-Richmond: On the Solutions of Malfatti's Problem for a Triangle, Proc. London Math. Soc. (1930), 287-304.
4. Lehet közvetlenül szögeket és területeket is számolni a Malfatti körök középpontjai, az érintési pontok és a csúcsok között. Ezzel numerikusan talán gyorsabban célba érünk, de bonyolultabb képleteket kapunk (legalábbis elsőre).
Egy reggelen Angéla és összes családtagja egyforma mennyiségű tejeskávét ivott meg. A kávé és tej mennyisége csészéről csészére más és más volt, de sohasem nulla. Angéla az összes tej negyedét és az összes kávé hatodrészét itt meg. Hány tagú a család?
Egymillió emberből 500.000 fiú 1% --> 5.000, ebből 10% (500) szereti a lányokat, ivararány pont fele-fele tehát 250 valamint 500.000 lány 10% ---> 50.00, a fele 25.000 szereti a rózsaszín pólós fiúkat. Józan paraszti ésszel a 250 rózsaszín pólós fiú aki szereti a lányokat mind talál magának egyet abból a 25.00 lányból aki szereti a rózsaszín pólós fiúkat, tehát 250 hetero-pár lehetséges. Nem tudom, hogy ez elegáns megoldás-e?
"A lányok 90%-a nem szereti a rózsaszín pólós fiúkat. A rózsaszín pólós fiúk 90%-a nem szereti a lányokat!"
akkor most a feladat:
ha a fiúk 1%-a hord rózsaszín pólót, és az ivararány pont fele-fele, egymillió emberből hány hetero-pár jön össze, melyek egyik tagja rózsaszín pólós fiú?
Ezt ötöltem még ki gondolkodnivalónak, aki még mindig az 50%-ban hinne: legyen most 10% az otthon esélye, 90% a mh -- azon belül mind a 9 fiók egyforma vsz. Így ugye tkp. 10% az otthon, és 10% minden fiók az egész valószínűségi mezőben (FELTÉVE, hogy a mh-en van, akkor 1/9 minden fiók, de ez globálisan 9/10*1/9 = 1/10).
Na most, ugye az a gondolatmenet, hogy 10%, hogy otthon van, 90%, ha a mh-en, és ez nem változna attól, hogy 8 fiókot kinyitunk, oda vezet, hogy ekkor ugye 90% "koncentrálódna" a 9. fiókra. Tehát ez a gondolatmenet most nem 50-50%-ra, hanem 90-10%-ra vezet a 9. fiók javára, igaz?. (Ez igaz is, ha direkt olyan fiókot nyit nekünk ki a mindenttudó játékvezető, amiben TUDJA, hogy nincs a kulcs. De ha mi nyitogattuk, és nem találtuk a kulcsot, akkor lehetett volna ott, ezzel már eseteket zárunk ki). Tehát aki az eredeti valószínűségekkel 1/2-re esküszik, most 9/10-re kellene esküdnie ezekkel a valószínűségekkel.
Igen ám, de innen csak egy lépés, hogy meglássuk, így ez azzal ekvivalens, hogy 10 tök egyforma fiók van: a 10. fiók felel meg az otthonnak. Az meg mégse járja, hogy 10 fiókból kinyitok 8-at, nem találom benne a kulcsot, és akkor azt gondolom, hogy akkor inkább a 9.-ben van, mint a 10.-ben, azon logika mentén, hogy "a 10.-ben 10% eséllyel volt, ez nem változott semmit, tehát ha nem ott van 10% eséllyel, akkor muszáj, hogy a 9.-ben legyen 90% eséllyel". Hiszen ha kinyitottunk 8 fiókot, és nem volt benne, akkor a maradék kettőben egyformán esélyes kell, hogy legyen. De ha vetélkedő van, és kiválasztom a 10-eset, majd Monty Hall kinyit 8-at a többiből tudva, hogy melyikek üresek, és megkérdezi, akarok-e váltani a másik megmaradt csukott fiókra, akkor tök más a helyzet, akkor tényleg nagyon érdemes inkább váltani. Látszólag hasonlít a kettő, hiszen 8 fiók van nyitva, de nem ugyanúgy nyíltak ki...
Szerintem ott a titok nyitja annak, aki 1/2-re eskuszik, hogy _mielott_ elkezdi keresni a kulcsot, akkor igaz az, hogy ugyanolyan esellyel van otthon mint a munkahelyen. Miutan 8 fiokot kinyitott ES nincs meg a kulcs, ez mar nem igaz a kizart esetek miatt, igy nem lehet ujra elorancigalni a kiindulasi adatot.
Peldaul ha az a kerdes, hogy 9 ermefeldobasbol mi a valoszinubb, hogy nulla vagy egy iras lesz, akkor nyilvan az egy; ellenben ha 8 fej mar kijott, akkor bizony 50-50%, megvaltozik a valoszinuseg annak ellenere, hogy a 8 fej mindegyikhez kell.
Elóször ezzel összezavartál. De lerajzoltam 3-3 fiókkal. 6 eset, hogy melyikben lehet a külcs és mindig az első a még meg nem nézett fiók. Ekkor a 2. és 3. eset a megmutogatós verzióban nem is lehetséges, mivel ezeknél ott a kulcs. Így marad az 1. eset, s mint egyedüli munkahelyi változat, erre jut a munkahely 1/2 valószínűség.
az csak "virtuális" elképzelés, otthon 9x valószínűbben van, mint bármely fiókban. Ezt elképzelheted úgy is, hogy otthon is van 9 fiók, és a 9 munkahelyi és 9 otthoni fiókokban teljesen egyforma (1/18) valószínűséggel van a kulcs, de az minket most hidegen hagy, hogy az otthoni fiókok közül melyikben van (ha otthon van).
Az a kérdés, hogy az így elképzelt 18 egyforma valószínűségi elemi esemény (amit most már dobókockával is szimulálhatunk) közül melyikben lehetünk. Ha kizártunk ebből 8-at (márpedig, ha én nyitogattam ki a fiókokat, és nem volt ott a kulcs, bár lehetett volna, akkor bizony kizárunk 8-at), akkor 10 esemény marad, amiből 1 az, amikor a kulcs a mh-en ki nem nyitott fiókjában van, ez az 1/10
Ha viszont a játékvezető nyit fiókokat, akkor nem zárunk ki semmit (mert mindig ki tud nyitni valamilyen 8-at), akkor 18 eseményből 9 van, amikor a kulcs a játékvezető által ki nem nyitott fiókban van, ami 9/18= 1/2.
A MH változatot én úgy képzelem el, hogy az ajtókat 2 részre osztom. Egy, amit kiválasztottam és a másikban a többi. N ajtó esetén a kiválasztott 1 ajtó mögötti nyeremény valószínűsége 1/N, így a másik csoportban az össz ajtóra (N-1)/N-t kell egyenletesen szétosztanom. Amint egy ajtót kinyitanak, ami mögött nincs nyeremény, a többi valószínűségének nőnie kell, mivel kevesebb ajtóra oszlik szét a fenti valószínűség. Ha K a kinyitott ajtók száma, akkor a másik csoport bármelyik ajtaja mögötti valószínűség (N-1)/[N(N-1-K)].
A kezdeti feltétel valóban az volt, hogy vagy otthon vagy a munkahelyen hagytam. Kocsmában nem hagyhattam, mert nem voltam sörözni, moziban sem hagyhattam mert ott sem voltam, meg máshol sem voltam, tehát csak otthon vagy a munkaheyen lehet. Miért következik ebből, hogy otthon is lehet 9 helyen? Ráadásul azt is tudom, hogy a munkahelyen a 9 fiók közül 8-ban bitosan nincs mert azokat már valamiért megnéztem mikor ott voltam és nem volt bennük kulcs! Akkor most vagy a 9. fiókban van a munkahelyen vagy otthon...
Tehát a fiókos probléma úgy analóg az MH-val, hogy ugye vagy otthon van a kulcsod, vagy a munkahelyeden (a munkahely is mh mint a Monty Hall :-) ). ez ugye 50-50%. Na most ha én tudom, hol a kulcs, de te nem, és én (mint a játékvezető) kinyitok 8 olyan fiókot, amiben nincs a kulcs (és ezt mindig megtehetem), akkor ott állsz 8 nyitott fiókkal, de ebben az esetben mégis 50-50% marad az esély. Mitől is változott volna meg? Én csak abban segítettem, hogy megmondtam, hogy ha a mh-eden van, AKKOR melyik fiókban találod meg.
Mindkét esetben ott álsz a mh-eden 8 nyitott fiókkal, csak nem mindegy, hogy nyíltak azok a fiókok ki.
OK, én nem erre az analógiára gondoltam a MH-val (vagyis nem arra, hogy én kijelölök valamit, aztán nyitogat a játékvezető). Hanem arra, hogy a 8 fiók (vagy a MH-ban a ki nem választott ablak) hogy nyílt ki, mert ez a paradoxon kulcsa.
A kezdeti feltétel az volt, hogy 1/2 otthon, 1/2 munkahely. Ha a munkahelyen 9 fiók van, akkor az egyenlő valószínűségek miatt elvileg otthon is 9 fióknak kellene lennie. Mert ha csak egy fiók lenne, akkor 9/10 munkahely és 1/10 otthon lenne. A 8 kinyitás után 1 fiók a munkahelyen és 9 fiók otthon.
Minden fiók kinyitásával, amit én nyitottam ki, és amiben lehetett volna a kulcs, csökkent a valószínűsége, hogy a munkahelyemen van a kulcs. Szemben azzal, amikor más nyitja ki a fiókokat, méghozzá direkt olyat, amiben biztos nincs, az semmit nem változtat a valószónűségeken (semmi információt nem közöl, tudtam, hogy van üres fiók, és hogy egy ilyet fog kinyitni, ettől nem lettem okosabb) -- ez a Monty Hall változat.
A MH problémában is az a kérdés, hogy nyílnak azok az ajtók. Ha a játékvezető nyitja ki a 98-at, minden kiinduló esetben ezt megteheti úgy, hogy üres legyen mind a 98. Vagyis, mind a 100 kiinduló esetben ezt meg tudja tenni. Ezzel így valójában azt mondja meg, hogy ha nem az általam eredetileg választott ajtó mögött van a nyeremény (amire továbbra is 1% az esély, nem szűkítettük le a lehetséges 100 kiinduló alaphelyzetet), akkor hol van, vagyis valóban megmondja, hogy abban a 99%-ban, ahol elsőre nem jól böktem, hol van a nyeremény. Na de ha én nyitogatom az ajtókat, nem tudva, hol van a nyeremény, és úgy alakul, hogy98 mögött nem találok semmit, ez már nem minden kiinduló esetben fordul elő, sőt, az esetek többségében (98%-ában) nem így lesz, hanem a 98 ajtó nyitogatása közben egyszercsak beleszaladok a nyereménybe. Ha mégsem ez történt (ami igen ritka), akkor a MARADÉK lehetséges esetek között (ami 2 eset) egész más helyzet áll elő: itt 50-50% az esély.
Ha jól látom a dolgot, akkor itt a MP-féle játék esetében a 9 fiók közül én az utolsó, még meg nem nézett fiókra mutatok előszőr. Ekkor 1/18 a valószínűség. A műsorvezető a fiókok kinyitogatásával csökkenti a még ismeretlen tartalmú fiókok számát, s ezzel a mutatott fiók valószínűségét növeli jelen esetbe 1/10 valószínűségre. A fiókok kinyitogatásával más lett a megválaszolandó kérdés.
Ezt a tényt figyelembe vetted? ---> "...a munkahelyemen már 8 fiókban megnéztem, de egyikben sem volt." Mivel ezt már tudom, marad a lehetőség, hogy otthon vagy a munkahelyen a 9. fiókban van. M-H variáció akkor lenne érvényes, ha azelőtti valószínűséget számolnánk, mielőtt a nyolc fiókot kinyitották a munkahelyen.
Visszatérve a M-H gondolatmenetre: ne három ajtó legyen, hanem legyen 100 ajtó és egy mögött van a nyeremény. Ekkor ugye annak a valószínűge, hogy amögött az ajtó mögött van a nyeremény amire rámutatok 1% Ha most a maradék 99 ajtó közül 98-at kinyitnak és egyik mögött sincs a nyeremény akkor 99%, hogy amögött az ajtó mögött van amelyik nem lett kinyitva! Gondolom eddig egyértelmű.
Namost: ha azután kell egy ajtóra rámutatnunk miután a 98 ajtót kinyitották és marad két ajtó akkor miért nem 50% lesz az esélye annak, hogy az egyik ajtó mögött van a nyeremény?
Azt is érdemes megérteni, hogy ha nem te választottad ki a 8 fiókot, ami éppenséggel véletlenül üres, hanem más, aki tudta, hol a kulcs, és direkt üreseket nyitott (ez ugye a Monty Hall-féle felállás), szóval hogy az miért más. A kettő közti különbség fontos, de nem nyilvánvaló elsőre és intuitíve, ez okozza a "paradoxont" a kétféle eredmény között.