Asszem az én álláspontom is világos az előző posztomból: az érzékelés az agyban történik. Egy asztal érzékelése nem sokban különbözik a természetes számok halmazának érzékeléséről. Ezek absztrakciók, gondolatok.
Szerintem meg feleslegesen vezetsz be új fogalmakat. Intuitíve tudjuk, mi az, hogy n hosszú jelsorozat, meg milyen a végtelen hosszú jelsorozat. Abban is egyetértünk, hogy sosem fogunk látni végtelen sok papírra írt jelet egymás mellett. Vagy nem?
A ZFC ábécéje megszámlálható, tehát csak megszámlálható sok objektum definiálható benne
De ha ilyen gyakorlatiasan fogjuk fel a dolgot, akkor:
1. Úgy gondolod, hogy van végtelen nagy papír az univerzumban, amelyre felírhatod a természetes számok definícióit. Olyat még nem láttam.
2. Úgy gondolod, hogy nincs az univerzumban végtelen nagy papír. Ekkor viszont az összes természetes szám definiálásához használt végtelen nagy papír csak egy absztrahált, "kitalált" fogalom. De akkor már miért ne lehetne absztrahálni végtelenül vékony papírt? Ilyenből egymásra rakok kontinuum sokat, és bármely valós számot felírunk egy-egy lapra. Ekkor az összes valós számot definiáltuk.
Szóval a gyakorlatias álláspont sem tartható, mert akkor pl. nem definiálható olyan szám, amely definíciójához több jel kell, mint ahány atom van az univerzumban. Az absztrahált sem, mert akkor végülis a valós számokat is definiálni tudjuk. Egyébként amikor leírsz egy számot, akkor már bővítetted ZFC-t egy konstansjellel, szal akkor már te sem ZFC-ben érvelsz... ha ennyire pontosak akarunk lenni.
Az állítás az, hogy a mondatod ZFC-ben nem formalizálható. Ez triviális: ha lenne formális definíció ZFC-ben a legkisebb ZFC-ben nem definiálható rendszámra, akkor az a rendszám mégis definiálható lenne a ZFC-ben, ellentmondás.
Amíg nem mozgunk közös platformon, addig nem is érdemes bármiről "vitázni" vagy bármit próbálni magyarázni. A metanyelven tudjuk, hogy mi az a formula, igazság, megnevezhetőség stb. De miután leírtuk ZFC-t, ott is definiáljuk pl. a formula fogalmát. Tudjuk, hogy a belső rendszerbeli formula a metanyelven nem formula lesz, hanem egy term, de ettől még a metanyelven is hívhatjuk formulának. Ugyanez van a definiálhatósággal is. Az nem az ős metanyelvi definiálhatóság, de mégis modellezi az eredeti definiálhatóságot, és nevezhetjük, sőt nevezzük is annak. Sőt, ha fellapozol egy logikakönyvet, akkor ott találkozol olyan fogalmakkal, mint pl. kontinuum számosságú nyelv. Ez (amint a válaszaidből, levezetésedből kitűnik) szerinted nem lehet a metanyelv, de akkor valamely (mondjuk) ZFC-ben definiált nyelv. De mi mégis nyelvnek hívjuk, bizonyítunk benne stb. A nagy metamatematikai tételek ilyen nyelven vannak leírva. Te azt mondod, hogy ZFC-nek megszámlálható sok formulája van, de mi van, ha kontinuum sok változó van. Ilyenekbe nem akarsz belegondolni, nem tudom, miért, de mind1, nem is várható el olyantól, akinek nem az a szakterülete, és aki velejéig platonista.
A többire (mondjuk most) nem is válaszolnék, egyrészt mert fáradt vagyok, másrészt meg mert úgy látom, h túl sokat kötözködsz, mert nyilván én fogalmaztam rosszul, amikor tudásról beszéltem a számokkal kapcsolatban. De ha a hitednek megfelelően képzelsz el dolgokat (márpedig miért ne lenne így, hiszen x nemegy. x-et nem tudod elképzelni, pedig végeredményben az is egy hit), akkor a számleíró nemzedékek véges sok számot írnak csak le. Az pedig nem mond semmit a végtelen sok számról. (Most akkor tovább is lehetne menni, hogy a diákokkal szemben elvárás a végtelennel kapcsolatos intuíció, de a tanár is elég "érdekes" példát hoz fel a végtelenre).
nah amugy písz, nem akarok kötözködni... nagyon :D
Akkor ajánlom még egyszer olvasásra az előző posztomat, ahol példát hoztam fel: nem fogunk egy végtelen hosszú papíron végtelen sok jelet látni.
Asszem az én álláspontom is világos az előző posztomból: az érzékelés az agyban történik. Egy asztal érzékelése nem sokban különbözik a természetes számok halmazának érzékeléséről. Ezek absztrakciók, gondolatok.
Egyrész érdekelne az állításod bizonyítása.
A ZFC ábécéje megszámlálható, tehát csak megszámlálható sok objektum definiálható benne. Másrészt a valós számok halmaza nem megszámlálható, ezt még maga Cantor bizonyította 140 éve. Persze kibővítheted a ZFC-t egy csomó konstansjellel, de az már nem a ZFC lesz. Az általad emlegetett filozófiai okok miatt nehéz megszabadulni a megszámlálható ábécétől, a végén mindig ilyennel érvelünk. Tehát felépíthetsz a ZFC-n belül egy másik halmazelméletet, de a ZFC-nek továbbra is csak megszámlálható az ábécéje.
Másrészt annak az indoklása is érdekelne, hogy miért nem formalizálható a mondatom.
Az állítás az, hogy a mondatod ZFC-ben nem formalizálható. Ez triviális: ha lenne formális definíció ZFC-ben a legkisebb ZFC-ben nem definiálható rendszámra, akkor az a rendszám mégis definiálható lenne a ZFC-ben, ellentmondás.
Vagy ha ez nem tetszik, akkor mondjuk van ZFC-nek megszámlálható modellje, akkor viszont a valós számok halmaza is megszámlálható, és talán minden valós szám megnevezhető.
Jó, de azt tudnod kell, hogy a modellbeli valós számok cseppet sem a valós számok lesznek. A valós számoknak van egy definíciója a ZFC-ben, és egy konkrét modellbeli interpretáció az teljesen más. Itt az van, hogy a modell nem helyettesíti "a világot". A formalizálás nem elég, az intuíciótól nem lehet megszabadulni a matematikában.
De a kihalás nincs szerinted ellentmondásban az elképzeléseddel?
A kihalás ellentmondásban van az elképzelésemmel. Csakhogy én el tudom képzelni azt is, hogy kihaljunk, és azt is, hogy nem.
Mellesleg én is "el tudom képzelni", hogy x nem egyenlő x-szel, de ezzel nem mondtam semmit.
Ezt én nem tudom elképzelni, mert ellentmond annak a logikai axiómának, hogy x egyenlő x-szel. Az emberiség kihalása tudtommal nem eldöntött kérdés a tudományban.
Ha esetleg nem ment, akkor lehet, hogy nem is a természetes számok halmazát képzelted el, hanem valami mást.
Valamit elképzelni és valamiről mindent tudni, az két teljesen különböző dolog. Például az amőba játékot könnyű elképzelni (megjegyezni, megtanulni, játszani), de eldönteni, hogy a játékban van-e valakinek nyerő stratégiája (és ha igen, akkor kinek), már nehezebb feladat.
Amúgy a későbbi válaszodra: nem volt szó számelméletről, nem tudom, miért kevered bele.
A számelmélet a természetes számok tudománya. Amit a természetes számokról tudunk, azt számelméletnek hívjuk.
nekem egy konkrét problémám van, majd leírom
Neked az a problémád, hogy úgy gondolod, egy teljesen formális logikai megalapozás nélkül a matematika értelmetlen vagy legalábbis ingatag lábakon áll. Csakhogy ez nem igaz, és ezt mindenki tudja, aki műveli a matematikát. Ha a matematika ingatag lábakon áll, akkor pl. az amőbajáték is ingatag lábakon áll. Na most ezzel bárki tud vitatkozni, aki már amőbázott életében.
Az emberiség eddig még sosem halt ki, ebből fakadóan botorság volna kihalása valószínűségét 1-nek venni. Hacsak nem tévedek...
Ha eltekintünk az esetleges modalitásoktól, akkor az állításod: Ha nem tévedsz, akkor X, ahol X az Az emberiség eddig még sosem halt ki, ebből fakadóan botorság volna kihalása valószínűségét 1-nek venni. mondat. Ez ugyanaz, mint a: Ha igaz, amit mondasz, akkor X.
Tegyük fel, hogy igaz, amit mondasz. Ekkor Ha igaz, amit mondasz, akkor X. Az előző két állításból modus ponenssel kapjuk, hogy X. Vagyis azt kapjuk, hogy ha igaz, amit mondasz, akkor X. De ez éppen a mondatod, úgyhogy mindenben igazad van;)
Akkor ajánlom még egyszer olvasásra az előző posztomat, ahol példát hoztam fel: nem fogunk egy végtelen hosszú papíron végtelen sok jelet látni. De sztem ez egy másik topic témája kellene hogy legyen.
A ZFC egyetlen modelljében sem nevezhető meg az összes valós szám, hiszen a ZFC-ben tétel, hogy több valós szám van, mint megnevezhető szám. Ami a ZFC-ben tétel, az a ZFC összes modelljében igaz (és viszont). A te metanyelvi mondatod a ZFC-ben nem formalizálható. Ha formalizálod, nem azt kapod, amit szeretnél.
Egyrész érdekelne az állításod bizonyítása. Másrészt annak az indoklása is érdekelne, hogy miért nem formalizálható a mondatom. Harmadrészt egy példa: Adott ZFC, ZFC-ben definiálsz egy levezetési rendszert (mondjuk a Hilbert félét), a szematikai igazságfogalmat (struktúra stb.), és megadod a ZFC-t nyelvét (meg az axiómákat), a definiált nyelvet kibővíted a <ci>i valós konstansjelekkel. Az így kapott ZFC'-ben definiálhatod a valós számokat (jelben: R'), de mielőtt még ezt megtennéd, hozzáveszed ZFC'-höz a "Bármely R'-beli x elemhez létezik olyan i eleme R, hogy ci=x". Ez miért ne lenne formalizálható? És az új (mondjuk) ZFC"-ben az összes valós szám megnevezhető ZFC'-ben. Vagy ha ez nem tetszik, akkor mondjuk van ZFC-nek megszámlálható modellje, akkor viszont a valós számok halmaza is megszámlálható, és talán minden valós szám megnevezhető.
Nem. Szerintem az emberiség ki fog halni, illetve folyamatosan alakul genetikailag. Annyit mondtam, hogy "el tudom képzelni". Ahogyan a természetes számokat is el tudom képzelni, még jó. A számelmélet a szakmám.
De a kihalás nincs szerinted ellentmondásban az elképzeléseddel? Magyarán hogy minden természetes számot leírnak? Mellesleg én is "el tudom képzelni", hogy x nem egyenlő x-szel, de ezzel nem mondtam semmit. És valóban el tudod képzelni a természetes számokat? Biztos? Akkor egy pillanatra képzeld már magad elé. Megvan? Most faktorizálnád nekem Bill Gates banszámlakódját? Köszi. Ha esetleg nem ment, akkor lehet, hogy nem is a természetes számok halmazát képzelted el, hanem valami mást. Amúgy a későbbi válaszodra: nem volt szó számelméletről, nem tudom, miért kevered bele.
Ez olyan, mintha egy nagyszerű költő esetében gondolkoznál a csecsemőkori gügyögésen, ami az alapja volt az ő beszédének és végső soron a költészetének. A lényeg az, hogy a matematika jól működik, a matematikusoknak nincs problémájuk az alapokkal.
Nem, nem olyan, szerintem a költőket meg a többieket kihagyhatjuk, nekem egy konkrét problémám van, majd leírom (nagy vonalakban már le is írtam). Most fáradt vagyok ehhez.
És a számelmélészeknek persze, hogy nincs bajuk, nem is az ő dolguk logikával foglalkozni.
Szerencsére a számelmélet él és virul: a természetes számokról egyre többet tudunk. Ehhez nem szükséges, hogy előttünk legyen papíron az összes szám, a vizsgálat módszere más. Ahogyan a biológusnak se kell látnia az összes mókust, hogy a mókusokról megállapítást tegyen, a csillagásznak se kell látnia az összes csillagot, stb.
Én a kijelentésemet úgy értettem, hogy az érzékeinkkel sosem fogunk (matematikai) végtelent tapasztalni.
Nem tudom, hogy mit értesz ez alatt. Az én felfogásomban az érzékelés is a gondolat egy formája. Amikor egy asztalra nézel, fogalmad sincs, mit látsz, csak összekapcsolod az "asztal" fogalmával, ami a fejedben létezik. A valóságban elektromágneses hullámokat érzékelsz (amik elektromos impulzusokat keltenek az idegrostokon), meg ki tudja még mit, ebből absztrahálod az asztal fogalmát.
valamelyikben meg megnevezhető az összes valós szám
A ZFC egyetlen modelljében sem nevezhető meg az összes valós szám, hiszen a ZFC-ben tétel, hogy több valós szám van, mint megnevezhető szám. Ami a ZFC-ben tétel, az a ZFC összes modelljében igaz (és viszont). A te metanyelvi mondatod a ZFC-ben nem formalizálható. Ha formalizálod, nem azt kapod, amit szeretnél.
Jó, és akkor szerinted az emberiség sosem hal ki.
Nem. Szerintem az emberiség ki fog halni, illetve folyamatosan alakul genetikailag. Annyit mondtam, hogy "el tudom képzelni". Ahogyan a természetes számokat is el tudom képzelni, még jó. A számelmélet a szakmám.
de az alap mindig naiv marad
Ez olyan, mintha egy nagyszerű költő esetében gondolkoznál a csecsemőkori gügyögésen, ami az alapja volt az ő beszédének és végső soron a költészetének. A lényeg az, hogy a matematika jól működik, a matematikusoknak nincs problémájuk az alapokkal.
Az emberiség eddig még sosem halt ki, ebből fakadóan botorság volna kihalása valószínűségét 1-nek venni.
Valóban.
Viszont. Merengjünk el az idők végeztéig számokat író matematikusokon. Szerintem egyikük sem fog közelebb jutni a természetes számok halmazához, mint mondjuk az első, hiszen mindegyik csak véges sok számot lát és ahhoz véges sokat ír. De az viszont azt jelenti, hogy ha feltesszük, hogy eljutunk a természetes számok halmazához, akkor az csak az idők végeztén lehetséges (tekintve, hogy pl.: omega+1 rendtípusú módon nem követhetik egymást a matekosok), ami azt jelenti, hogy az univerzumnak akkor vége lesz. Akkor viszont nem lesz senki, aki többet tudhatna a természetes számokról. Tehát tökmindegy hogy mi van, semmi többet nem fogunk tudni a természetes számokról.
A természetes számok halmaza (vagy mondjuk a lehetséges formulák halmaza) számodra nem végtelen?
De, végtelen. Én a kijelentésemet úgy értettem, hogy az érzékeinkkel sosem fogunk (matematikai) végtelent tapasztalni. Legfeljebb valami gondolati konstrukcióra mondjuk, hogy végtelen, és azt valahogy tudjuk kezelni a mi véges eszközeinkkel, de (szerintem) sosem fogunk papíron végtelen sok jelet látni, sosem fogunk végtelen ideig élni stb.
Mint matematikus, én mindent a ZFC-be ágyazva értek. Tehát definíció alatt is mindig ZFC-beli definíciót értek.
Mint matematikus, akkor hallhattál arról, hogy ZFC-ben "modellezhető" ZFC, és akkor te ZFC-ben definiálható halmazon mit értesz? (Én úgy értettem, hogy formalizálható az állítás, hogy valamilyen "meta" ZFC egy formulája.) Egyébként (mint tudod) többféle axiómarendszere van a halmazelméletnek, lehet, hogy valamelyikből következik CH, valamelyikben meg megnevezhető az összes valós szám, stb.
Én nyugodtan el tudom képzelni, hogy létrejöjjön egy "számíró közösség", ami sorra írja le a természetes számokat, generációról generációra hagyva a munkát, hogy előbb-utóbb minden természetes szám sorra kerüljön.
Jó, és akkor szerinted az emberiség sosem hal ki. Fő az optimizmus. Ez nekem körülbelül olyan, mintha azt mondanád, hogy elképzelted a természetes számok halmazát.
Szerintem már pusztán egy intuitív képből is születhet jó definíció.
Nyilván lehetne sok példát hozni. De. Én csak arra a konkrét példára gondoltam, csak valszeg. rosszul fogalmaztam. Az a gondom, hogy a formalizálásnál egyre mélyebben és többször leírhatjuk ugyanazt, de az alap mindig naiv marad.
A természetes számok halmaza (vagy mondjuk a lehetséges formulák halmaza) számodra nem végtelen?
Ez egy értelmes metanyelvi állítás, és szerintem formalizálható is.
Mint matematikus, én mindent a ZFC-be ágyazva értek. Tehát definíció alatt is mindig ZFC-beli definíciót értek. Sorry.
mert sosem fogunk végtelen sok kifejezést papírra írni
Én nyugodtan el tudom képzelni, hogy létrejöjjön egy "számíró közösség", ami sorra írja le a természetes számokat, generációról generációra hagyva a munkát, hogy előbb-utóbb minden természetes szám sorra kerüljön. Egy matematikus számára egyébként nem okoz gondot a végtelen halmaz fogalma. Akinek gondot okoz, az nem lesz matematikus.
és bármilyen formalizáció a naiv elméletre épül
Szerintem már pusztán egy intuitív képből is születhet jó definíció. Ilyen lehetett Kummer ideális szám fogalma, amit később Dedekind a precíz gyűrűelméleti ideálfogalomként formalizált.
Amit írtam CH-val kapcsolatban az teljesen intuitív, és mint ilyen (már számomra is) irreleváns, mert sosem fogok találkozni végtelen halmazokkal. Az, hogy éppen ZFC-ben így van vagy úgy, az az axiómarendszer kérdése, mint ahogy írtad. De akkor már hagy kötözködjek, mert miért ne lehetne a definíció fogalmának olyan kiterjesztése, amelyben minden valós szám megnevezhető. (Pl.: vegyük az összes definíciót, ami halmazt definiál. Ezután vegyük azt a legkisebb rendszámot, amit nem definiáltunk. Ez egy értelmes metanyelvi állítás, és szerintem formalizálható is. Ekkor definiáltunk egy újabb halmazt, amit a halazelméleten belül nem tudtunk definiálni. Miért ne lehetne valamilyen módszerrel az összes valós számot definiálni?) Másrészt ha definíción mondjuk metanyelvi megnevezhetőséget értesz, akkor már az összes természetes szám sem nevezhető meg, mert sosem fogunk végtelen sok kifejezést papírra írni.
Az intuíció persze megelőzi a formalizálást. Szerintem mindig intuitíve matematizálunk, és bármilyen formalizáció a naiv elméletre épül, a naiv elmélet szüséges is hozzá, és éppen annyira egyértelmű, mint a naiv elmélet. Egy példán keresztül: amikor definiáljuk az elsőrendű nyelv Hilbert féle axiómáit, akkor nagyon "precízen" meghatározzuk a matematika nyelvét, vagy hogy mikor írhatjuk, hogy A->B. Viszont ehhez kell egy metanyelv, mégpedig amelyiken definiáljuk a formulákat, a levezetést. Ezen a metanyelven intuitívan használjuk magát az elsőrendű nyelvet, és a következtetést is. De akkor ha mondjuk a naiv következtetés nem szabatos, akkor a metanyelvi definícióink sem lesznek azok.
A CH-val kapcsolatos elképzeléseddel több probléma van. Először is, a legtöbb halmazt nem tudod definiálni (tehát nem tudsz róla beszélni), mert csak megszámlálható sok definíció létezik a halmazelméletben. Másodszor, még ha tudsz is egy halmazt definiálni, annak számossága az axiómák függvénye, hiszen a definícióból és az axiómákból kell a következtetést levonni. Ha nincs egyértelmű következtetés, akkor nincs egyértelmű számosság sem. Pl. a ZFC-ben értelmes definíció az, hogy a "legkisebb nem megszámlálható számosság". Ez a halmaz sokféle lehet (és sokféle is!) a ZFC különböző modelljeiben, hiszen más modellben mást jelent a definíció. A ZFC-ben mint elméletben egyetlen halmazról beszélünk, de a ZFC különböző modelljeiben ez többféle halmazt eredményez. A platonista szemlélet szerint a sokféle modell között van egy "igazi".
Annyi bizonyos, hogy az axiomatizálás sosem légből kapott, hanem megelőzi azt egy megismerési folyamat. A számokat és a geometriát azután axiomatizálták, hogy már sokat vizsgálták "őket", és ugyanígy történt a halmazokkal is. Kiindulunk egy intuitív képből, ami alapján vizsgálódunk, majd precízebbé tesszük a vizsgálatot egyezményes formában, aztán az így szerzett ismeretek mentén tovább fejlődik az intuíciónk, és így tovább. Elképzelhető, hogy a későbbi generációknak sokkal konkrétabb képe lesz a halmazokról, mint a jelenleginek. Ennek alapja lehet több ismeret a halmazelméletben, vagy új halmazelméleti axiómák, amikben megegyezünk, vagy esetleg egy másik elmélet, amiben a halmazok konkrétabb jelentést kapnak (mint pl. a számok is definiálhatók konkrét halmazokként).
A platonista nézet szerint a számok és úgy általában a matematikai objektumok az emberi gondolkodától függetlenül is valamilyen értelelemben léteznek. Ezt a nézetet bizonyos mértékig alátámasztja a mateknak a műszaki illetve természettudományokban való sikeres alkalmazhatósága.
Ennek megfelelően olyan axiómákkal akar dolgozni a platonista, amik a vizsgált terület objektumaira valóban "igazak".
Platonista számára az, hogy mondjuk a "3n+1"-sejtés eldönthetetlen valamely axiómarendszerben, az csak azt jelenti, hogy ezek az axiómák ezt nem határozzák meg egyértelműen; viszont emellett hiszi, hogy az "igazi" természetes számokra a sejtés vagy igaz vagy nem.
"Egyébként CH függetlensége nekem is fejtörést okozott"
CH függetlensége csak annyit jelent, hogy ha van olyan "világ", amiben a ZFC axiómái teljesülnek, akkor olyan világok is vannak melyekre ZFC+CH, illetve ZFC+~CH teljesül. Ez pedig mutatja, hogy ZFC-ből formálisan nem lehet levezetni se CH-t se ~CH-t.
Halmazelmélészek közül pl Woodin hisz abban, hogy van "True model of ZFC" ahol mindenre van "igazi" válasz, más nagy kutatók másképp gondolják.
Egyébként CH függetlensége nekem is fejtörést okozott, mert ha van egy halmaz (a valós számok halmaza), akkor elvileg (ha elég ügyesek vagyunk) bármelyik részhalmazáról el tudjuk dönteni, hogy az milyen számosságú nem? De ha nem tudjuk eldönteni, akkor is objektíven annak is van egy "nagysága". Szal nem vágom.
Azt, hogy például a Riemann-sejtésnek akkor is van platonista szemszögből objektív igazságértéke ha ZFC-független azt értem, sőt ezzel egyetértek. Viszont, hogy az olyan eldönthetetlen problémáknak mint például a CH hogyan lehet objektív igazságértéke azt már sokkal kevésbé látom.
De bármilyen precízen fogalmazol és érvelsz, ha visszafejted, akkor mindig oda lyukadsz ki, hogy papírra írsz egy jelsorozatot.
Igen, és ide lyukadnak ki a költők, zeneszerzők, fizikusok, de még a filozófusok is. Ez az emberi kommunikáció egy formája.
A formalista hozzáállással nem tudod megmagyarázni, hogy miért pont azokat az axiómákat használjuk vagy azokat a kérdéseket tartjuk fontosnak, amiket. Ugyanígy nem tudod megmagyarázni, hogy egy érvelést vagy tételt miért tartunk elegánsnak vagy szépnek. A jelsorozatok fontosak a matematika művelésében, de nem ez a dolog lényege. A dolog lényege a gondolat és érzés, az emberi tapasztalat, ami a jelsorozat mögött áll.
Nagyszerű tételek születtek azelőtt is, hogy a formalizálás magas szintű igénye megszületett volna, egyszerűen csak nagyszerű matematikusok kellettek hozzá.
"A matematika nem a jelsorozatok tudománya, hanem a precíz fogalmaké és érveléseké."
De bármilyen precízen fogalmazol és érvelsz, ha visszafejted, akkor mindig oda lyukadsz ki, hogy papírra írsz egy jelsorozatot. (Persze lehet idealizálni valamilyen felfogható jelsorozattal.)
És amikor kilyukadunk ott, hogy papírra írt jelsorozat, akkor azt még meg kell dobni egy papírra írt (vagy szóban elmondott) metanyelvvel, ahol intuitíve használod pl.: a "ha...akkor" szókapcsolatot. Én még mindig nem vagyok benne biztos, hogy a matematikát körkörösen építjük fel, és nem önhivatkozóan, de legalább a halmazelmélet-logika körbehivatkozásának feloldását nagyjából értem.
Persze ez a matematika általam ismert sztenderd felépítésére vonatkozik, gondolom itt nincsenek megrögzött intuicionisták meg platonisták. Ha vannak, szívesen meghallgatom, hogy ők hogy építik fel a matematikát.
Egyébként most, hogy ez a kérdés tisztázódni látszik számomra, úgy tűnik, mintha a matematika ugyanolyan tapasztalati tudomány lenne, mint pl a fizika. A matematika a papírra írható jelsorozatok tudománya. Csak a matekban nincs akkora jelentősége a kísérletezésnek.
Azóta kaptam felvilágosítást a témáról, neve is van: Tyúk-tojás probléma. De van feloldása is, mégpedig egy ún.: Ős Meta Elmélet, amely nyelve a magyar nyelv egy kis szelete, axiómái pedig a Gödel-Bernays halmazelmélet axiómái. Van is egy jegyzetem, ha érdekel valakit, elküldöm szívesen (biztos neten is fent van, csak lusta vagyok megkeresni... Andréka Hajnal és Németi István közös 2008-as munkája). Valóban nem nagyon redukálják tovább a dolgokat. Egyébként kire gondoltál aki ilyenekkel foglalkozik?
Jegyzetet konkrétan nem tudok, de vannak logikusok-filozófusok akik sokat foglalkoznak többek közt ezzel is, ők biztos tudnak mondani sok érdekeset erről.
Mindenesetre az én javaslatomban a "fizikai" szinten csak a nyelv, formula, ZFC axióma, levezetés az amire szükséged van, ennél sokkal jobban redukálni a dolgokat szerintem nem nagyon lehet.
Utána fölépíted a halmazelméletet, utána pedig a halmazelméletre alapozva a logikát újra, immárom szemantikával, aztán az összes többi területet.
Szintaktika felépítéséhez szerintem nem kell halmazelmélet. Formulaindukció, egyértelmű olvashatóság meg ezek sem.
Ami kell: halmazelmélet nyelve, formula fogalma, ZFC axiómák, levezetés fogalma.
Ha a fenti fogalmakban megegyeztünk, akkor meggyőződésem, hogy egy teljesen formalizált papírra leírt bizonyításról meg tudjuk mondani objektíven, hogy bizonyítása-e ZFC-ből egy phi formulának.
Erre támaszkodva felépíthetjük a halmazelméletet és benne a matekot ideértve a logikát is.
Magyarán azt akartam kinyekeregni, hogy mire gondoltál azzal, hogy a szintaktikát felépítjük halmazelmélet nélkül? Nekem ez lehetetlennek tűnik (bocs a dupla duplapostért).
Igen, de amikor felépítjük a szintaktikát, már ott (szerintem) elég erős halmazelméletet használunk. Pl.: felhasználjuk a számokat: függvényjelek változószáma; a teljes indukciót (más néven formulaindukciót pl.: amikor a formulák egyértelmű dekódolását bizonyítjuk), vagy termek, formulák definiálásakor, ha nem használjuk a teljes indukciót, akkor is naiv halmazelméleti tételeket használunk (generált halmaz). Ugyanígy a függvényeket használjuk, és mondjuk (lehet hogy nincs igazam) de itt is ugyanúgy felhasználjuk a konjunkció kommutativitását, csak épp azt mondjuk, hogy A és B az ugyanaz, mint B és A. Ja és amúgy a karaktersorozat alapfogalom, vagy van köze a sorozatokhoz?
Egyébként konkrét felépítést tudz mutatni?
Mondjuk a postomat végigolvasva elég kötöszködőnek tűnök, de nekem a matematika bármilyen fajta felépítése, amit valaha is láttam ellentmondani látszik a matematikai kutatás módszerének (alapfogalom, axióma, tetel stb.). Érdekes, hogy ha mondjuk a gimnazista azt mondja felelésnél (persze a helyzet nem életszerű), hogy a természetes szám az egy olyan természetes szám, amely... Itt a tanár megállítja, hogy hülyeséget beszélsz fiam. Viszont a matematika alapjai mintha ilyen meggondolásokon alapulnának (a halmaz az egy olyan halmaz, amely...).
"Viszont ott is felhasználjuk a halmazelméletet, amikor pl. definiáljuk a bizonyítás fogalmát. Valaki tud erről bővebben mesélni?"
Ez nekem is sok gondot okozott. Hiszen például az elsőrendű logika felépítésében az igazság definíciójához kellenek a halmazok, viszont a halmazokhoz kellenek a halmazelmélet elsőrendű nyelven írt axiómái.
A megoldás szerintem:
Az elsőrendű logika szintaktikai részét fölépítjük (mi a formula, mi a levezetés, mi a bizonyítás) halmazelmélet nélkül. Ez lényegében véges karaktersorozatok adott szabályok szerinti manipulálásának szabálygyűjteménye.
A halmazokról lévő intuíciónkat megpróbáljuk a fenti nyelv keretein belül minnél pontosabban formalizálni. Jelenleg a leginkább széles körben elfogadott ilyen formalizálás a ZFC halmazelmélet.
A halmazokkal modellezzük a matematika szinte tetszőleges területét, beleértve a halmazelméletet és a logikát is. Így előfordul, hogy egy állítást nem bebizonyítunk ZFC-ből, hanem például csak azt tudjuk bebeizonyítani, hogy létezik bizonyítása ZFC-ből, de esetleg nem tudjuk meg, hogy pontosan mi.
(Utolsó pontként reménykedünk, hogy az intuiciónk formalizálása ellentmondásmentes rendszert hozott létre, sőt abban is reménykedünk, hogy úgynevezett omega-konzisztens is ez a rendszer)
