Keresés

m-beli jav. M-beli

Már látom, hogy miért olyan M környezetet választottál, amire M = M^-1. Azért, mert akkor tetszőleges V-beli v és M-beli m elemmel v':=vm biztosan V-beli, ellenkező esetben ugyanis v=v'm^-1 sem az (hiszen U = H-V zárt egy m-beli elemmel való szorzásra nézve), ami nem lehet, mert v-t onnan választottuk.

vM^-1 ... része a V-nek.

De miért? És vM miért nem biztos, hogy az? Az, hogy része V-nek azt jelenti, hogy az elemei nem állnak elő véges sok M-beli elem szorzataként. Legyen m az M egy eleme. Azt állítod, hogy vm^-1 nem áll elő véges sok M-beli elem szorzataként (ha v sem), vm pedig esetleg előállhat, ha m^-1 nincs M-ben. Miért?

Az előző üzenetemet nem a 107-essel kapcsolatban értettem, ott ui. rendben volt amit mondtam. Ellenben ha az M = "H metszet N" halmazt kívánod használni, akkor az előző üzenetem releváns.

vM a v-nek egy környezete és része a V-nek

Ehelyett a következő igaz: vM^-1 a v-nek egy környezete és része a V-nek.

A 107-ben így bizonyítod V nyíltságát:

"Legyen v eleme V. Ekkor vM a v-nek egy környezete és része a V-nek."

Nem látom, hogy ebben felhasználnánk azt, hogy M^-1 nyílt. 

Azaz, várjunk csak: vM miért is része V-nek? Talán ehhez kell.

M helyett mindenütt N-t véve nem jó a bizonyítás?

De, úgy is működik a bizonyítás. Mindenesetre használni kell, hogy N és N^-1 nyílt (az első az U nyíltságához kell, a második pedig a V nyíltságához).

Múltkor ezzel nem volt problémám, de most nem látom, hogy hol használtad itt ki azt, hogy M zárt az invertálásra nézve. Tényleg szükség van erre? M helyett mindenütt N-t véve nem jó a bizonyítás?

Köszi!

Ahogy Tao is írja a 107-es üzenetbeli link alatt, az exponenciális függvény lokális homeomorfizmus, és mint ilyen nyílt leképezés (vö. Wikipedia).

az exponenciális függvény nyílt leképezés

Próbáltam utánanézni ennek, de nem találtam sehol ilyen állítást. Hogy lehet ezt belátni, vagy hol lehet utánanézni?

Nagyon pongyolán csak iránymutatásként: A csoport egy halmaz, melyben elemek vannak, és definiálva van rajtuk egy művelet, ez a csoportművelet. És ez az egész teljesíti a csoportaxiómákat, ezért csoport. Ezeket nézd meg mondjuk a wikin. Ezek között van pl., hogy van egy egységelem (nullelem nincs), akkor az inverz, stb... 

Segítsetek !

A csoportelmélet arról szól, hogy van 1 db művelet és több változó ? - de ha van több-néhány műveletem, és e műveleteket 1 db halmazba teszem, akkor e halmaz azonosítóját használhatom, mint művelet meghatározást . 

Tehát, a csoportelmélet tárgyalhat-e olyan műveletet, ami valamely más műveletek 1 db halmaza ?

Nahát, a gömbharmonikus függvények tényleg alapvetők a kvantummechanikában, de, hogy még a szamelmélettel is összefüggésbe hozhatók, azt nem gondoltam volna. Irigylem a tudásodat.

P.S. Egy link lemaradt: konvolúció csoportokon. A kommutatív konvolúció-algebrákat azért szeretjük, mert egyszerűbb a reprezentációelméletük (pl. sok mindent vissza lehet vezetni a klasszikus Fourier-transzformáltra).

a jele L²(KG/K)

Helyesen: a jele L²(K\G/K).

Egy csoportot jól lehet vizsgálni a reprezentációi segítségével. Ha G egy unimoduláris topologikus csoport (ide tartoznak a kompakt csoportok, így a véges csoportok is), akkor célszerű a csoport (jobb)hatását nézni az L²(G) Hilbert-téren, amely algebra is a konvolúcióra nézve. Fontos kérdés, hogy ez a Hilbert-tér hogyan bomlik fel a G irreducibilis Hilbert-tér reprezentációinak direkt integráljára (kompakt csoport esetében direkt összegére).

Legyen K egy maximális kompakt részcsoport a G-ben (ha ilyen van). Az L²(G) egy fontos zárt alterét alkotják azok a függvények, amelyek balról és jobbról is invariánsak a K-ra nézve. Ezek egy konvolúció-részalgebrát alkotnak, a jele L²(KG/K). Ez utóbbinak a harmonikusai a fizikában is nagyon fontosak, lásd itt. Az L²(KG/K)-t különféle (G,K) párok esetén Hecke-algebrának nevezzük, és a fentiekből világosnak kell lennie, hogy a reprezentációelméletben (globális analízisben, szimmetrikus terek elméletében, számelméletben stb.) nagyon fontosak. Ne csak Lie-csoportokra gondolj, mint pl. G=SL_n(C) és K=SU_n(C), hanem p-adikus csoportokra is mint pl. G=SL_n(Q_p) és K=SL_n(Z_p).

Ezt így már értem. De hol jelennek meg ilyen függvények, amiknek ráadásul még a konvolúciójuk is érdekes? És mi a jelentősége annak, ha az kommutatív?

Nem. n=8 hoz még nem.

De már az n=8 hoz is.

Úgy látom a Pauli-mátrixokat tartalmazó csoport az n=16 hoz tartozik. Ugye? 

Gondolkoztam bonyolultabb eseten, de nem találok.

Az állításom lényege nem az... (de ezt a témát átviszem a másik topikba.)

Már rámutattam arra, hogy az állításod miért nem következik a Landauból, illetve általában miért tarthatatlan (az állításod lényege, hogy két Hilbert-tér, melyet általános unitér transzformációk kötnek össze, nem "ekvivalensek"). Elfoglaltabb vagyok most annál, hogy feleslegesen magyarázzak, kivéve ha fizetsz érte.

Köszi.

Meg a b=-1 is egy nagyon egyszerű eset, amire korábban nem is gondoltam.

Neked sikerült belátnod a Hamilton-operátor időfüggőségi problémásságát? Minden könyvemet (majdem) átnyálaztam, és mindenhol olyan dolgok vannak, hogy az nem megy ki abból a kitranszformálható keretből, amit mondtam, illetve legfeljebb a kis perturbációkra engedhető meg, de ez utóbbi is csak elhanyagolások mellett. (Csak emlékeztetőül...) :) 

Pl  b=diag(-1,1)

    a=diag(1,-1)

> ... közös a sajátvektoraik halmaza. Tehát nem lehetnek különböző csoportelemek.

#Ez sem igaz. :/

A hasonlósági transzformációkkal kapcsolatban kérdezek:

Milyen egyszerű négyzetes mátrix példa van erre?

b =/= 1 mellett:

b^-1ab = a

megszorítottabb eset:

bab = a

Nyelvbotlás: x eleme esetén SL_n(R) --> x eleme SL_n(R) esetén

Akkor mondom egyszerűbben. Tekintsük az SL_n(R) csoporton azokat az f(x) függvényeket, amelyekre f(k₁xk₂)=f(x) teljesül minden k₁, k₂ eleme SO_n(R) és x eleme esetén SL_n(R). Ezek a függvények a konvolúcióra nézve zártak, és a meglepő állítás az, hogy a konvolúció kommutatív: f*g=g*f. Az (SL_n(R),SO_n(R)) helyett sok más párra igaz ez az állítás, lásd Gelfand-pár.