ha a négyzetgyök függvény értelmezési tartománya definicio szerint a nem negativ valos számok (ahogy én tanultam) akkor ezen definicoi szerint nem létezik négyzetgyök -1 vagyis hibás a kifejezés.
Az érdemi részt NevemTeve és Gergő elmondták, én csak egy másik vonulatot említenék itt (nem is okvetlenül túl szakszerűen).
A négyzetgyökfüggvény általad említett definíciójában benne van, hogy az csak valós számokra értendő. Másik kérdés, hogy mivel középiskolában kizárólag valós számokkal dolgozunk, ez a részmondat rendszeresen elmarad, kikopik. Ilyenformán a helyzet nem egészen az, hogy "ezen definicoi szerint nem létezik négyzetgyök -1", hanem hogy ez a definíció nem vonatkozik arra.
Eleink csak pozitív egész számokat ("mennyiségek" = darabszámok) ismertek (sőt, legeleink ugye az "egy, kettő, sok" bűvöletében éltek), és a törtszámok bevezetése szentségtörésnek és őrültségnek hatott. De némi absztrakcióval a dolog felfogható volt, hiszen az egész számok osztása kénytelen-kelletlen ismert volt, és az egészekre ismert ab=c összefüggésből tudott módon következik a b=c/a, tehát definiáljuk úgy a b törtszámot, hogy arra teljesüljön ab=c. A törtszámok tehát, jóllehet egészeken végzett művelet eredményei, kivezetnek az egész számok köréből, de a régi műveletdefiníciók megtarthatók.
Hasonlóan születtek a negatív számok: a kivonás művelete esetenként olyan számokhoz vezet, amelyek nullánál kisebbek, ígyhát definiáljuk úgy a b negatív számot, hogy ha a+b=c, akkor b=c-a mindig teljesüljön. A negatív számok tehát, jóllehet adott esetben pozitív számokon végzett művelet eredményei, kivezetnek a pozitív számok köréből, de a régi műveletdefiníciók megtarthatók.
Az irracionális számok újabb szentségtörést jelentettek ... de definálható volt az is; a számegyenesen megvan a helyük, "érthetőek".
A nulla mint szám esete is leküzdhető volt (halkan jegyzem meg, hogy a római számok közt még nincs ott a nulla, szóval ez sem volt egy egyszerű történet).
A középiskolában valós számok hatványozásánál tanulunk "elvarázsolt" dolgokat, mint negatív, nulla, és törtkitevő ("hogyan lehet valamiből mínusz három és fél darabot összeszorozni?"), de az egész kitevőkre vonatkozó azonosságok, pl. abac=ab+c, (ab)c=abc ott is sugallják a definíció kiterjesztésének lehetőségét; a régi műveletdefiníciók megtarthatók (definiáljuk úgy az ap/q hatványt, hogy annak q-adik hatványa ap legyen stb).
Mindezekhez képest a komplex számok hatalmas ugrást jelentettek, mert a mindennapi tapasztalatok sorából sokkal inkább kilógnak; leginkább (én úgy gondolom) azért, mert például nagyság szerint nem lehet őket sorbarakni, amely felismerés a hétköznapi számfogalommal (legyen az negatív, tört, bármi, de valós szám) egyszerűen nem fér össze. (Így aztán persze a számegyenesen sem lehet őket ábrázolni). És mint látható, a korábbi, kizárólag valós számokon értelmezett összefüggések itt már nem is mindig vihetők egyértelműen tovább. A definíciókat úgy nem mindenhol tudjuk kiterjeszteni, hogy a függvények egyértékűek maradjanak.
(Röviden, Gergőt idézve: "Erre mondják, hogy c'est la vie")
ha a négyzetgyök függvény értelmezési tartománya definicio szerint a nem negativ valos számok (ahogy én tanultam) akkor ezen definicoi szerint nem létezik négyzetgyök -1 vagyis hibás a kifejezés
Az gondolom világos, hogy amit az iskolában tanítanak, az töredéke annak, ami a világban van. Sokféle négyzetgyökfüggvény van, és ezt próbáltam elmagyarázni. Van kétértékű négyzetgyökfüggvény, és van egyértékű is. Van olyan, ami csak bizonyos komplex számokra van definiálva, és van olyan is, ami az összes komplex számra. Az ember azt a variánst használja, ami hasznos neki. Persze mindig hangsúlyozni kell, hogy mit használunk éppen, milyen definíciókkal dolgozunk. Mondtam neked olyan definíciót, ami a pozitív számokra a szokásos pozitív négyzetgyököt adja, a (-1)-re pedig az i-t.
mindenesetre nekem eléggé furcsa és unintuitiv hogy i egész hatványai rendben vannak de vannak irrac. hatványai amik nem
Erre mondják, hogy c'est la vie. Mindenesetre ha megpróbálod definiálni a komplex hatványozást, akkor szembesülsz a nehézségekkel. Már a négyzetgyök esetén is szembesülsz ezzel. Például nem tudod a négyzetgyököt a komplex számokon folytonos függvényként definiálni. Egyszerűen nincs olyan f:C->C folytonos függvény, aminek a négyzete az identitás. Nem folytonos persze van, ráadásul nagyon sok van (egyet én is mondtam korábban). Lásd NevemTeve előző üzenetét is, ami nagyon releváns.
Megpróbálhatjuk polárkoordinátásan nézni a hatványozást: ha adott egy nemnulla a+bi komplex szám, az felfogható ρ*(cos(φ+2kπ)+i*sin(φ+2kπ))-ként is, ahol ρ=sqrt(a2+b2), φ=arctg2(b,a), és k tetszőleges egész szám. (Ebből a 2kπ részt (a periódust) figyelmen kívül is hagyhatnánk (hiszen a szögek csak "2π erejéig" egyértelműek, pl. 10°=370°=-350° stb), de majd mindjárt lesz jelentősége.)
Amikor egy ilyet x-edik hatványra emelünk (ahol x valós), akkor ρx*(cos((φ+2kπ)*x)+i*sin((φ+2kπ)*x) lesz belőle.
Namostan ha x egész szám, akkor a periódust továbbra is figyelmen kívül hagyhatjuk; ha viszont x törtrésze 1/2 (pl. x=1/2, x=-1/2 stb), akkor két különböző értéket kapunk; ha x törtrésze 1/n, akkor n különböző értéket kapunk.
Ha történetesen x törtrésze irracionális, akkor az x-edik hatványból megszámlálhatóan végtelen van, ugyanis a k1x=k2x egyenletnek nincs k1≠k2 egész megoldása (mivel x=1/(k1-k2) racionális lenne), tehát a kx értéket (és így a 2kπx értékek is) mind különböznek.
igen de a matematikában ahogy irtad minden a definiciotól függ
ha a négyzetgyök függvény értelmezési tartománya definicio szerint a nem negativ valos számok (ahogy én tanultam) akkor ezen definicoi szerint nem létezik négyzetgyök -1 vagyis hibás a kifejezés.
ha átdefiniáljuk a függvényt akkor igen
de ezek szerint akkor se mert nem egyértelmű.
mindenesetre nekem eléggé furcsa és unintuitiv hogy i egész hatványai rendben vannak de vannak irrac. hatványai amik nem .
annak idején én is csak nagyon felületes képzést kaptam komplex számokbol csak az alapokat, komplex konjugált, összeadás, szorzás, de hatványozás nem is volt
még azt sem tudom mit nem tudok :)
de már leéltem életem több mint felét, szóval nem nagyon lesz már rá szükségem csak a egyéni kiváncsiságom vezérel. (nem tudom a nevedbe a 73 mit jelent , ha a születési éved akkor nem vagyunk messze egymástol de én vagyok idősebb pár évvel)
Megállapodás kérdése, hogy mit nevezünk négyzetgyöknek.
A nemnulla komplex számok körében be lehet vezetni egy kétértékű függvény, amit gyakran négyzetgyökfüggvénynek nevezünk: a z négyzetgyöke az a két nemnulla komplex szám, aminek négyzete a z. Ezzel a konvencióval a -1 négyzetgyöke az i és a -i egyszerre.
Na most a z két négyzetgyöke közül ad hoc módon preferálhatjuk az egyiket: pl. ha z pozitív valós szám, akkor vesszük a pozitív négyzetgyököt, mint az iskolában; ha pedig z negatív valós szám vagy nem is valós szám, akkor vesszük azt a négyzetgyököt, aminek a képzetes része pozitív. Szóval a nemnulla komplex számoknak is van egyértékű négyzetgyöke, ha nagyon akarjuk, de az nem fogja kielégíteni a gyök(z)gyök(w) = gyök(zw) azonosságot, illetve nem lesz folytonos.
ami a logaritmust illeti van sok matematikus is aki az i-re azt mondja hogy az négyzetgyök minusz 1 de ez sem igaz mert a négyzetgyök függvény értelmezési tartománya a nemnegatív valos számok,
hát igen valoszinű mert amikor a logaritmust tanultuk nekünk sem mondták el ez mit jelent a komplex számok esetében hiszen nem is tanultunk a komlex számokról
A legtöbb gimnazista - érzésem szerint - a pozitív számok logaritmusának definícióját sem érti. Procedurálisan használja a szimbólumot, ami persze működik, mert korrekt tartalom van mögötte (amit a definíció rögzít).
hiszen gyök 2 az kettő az egykettediken tehát i a gyök 2-n az nem más mint i a négyzeten az egykettediken azaz -1 az egykettediken, azaz négyzetgyök -1 tehát i :) csak a hatványozás szabályait követve...
Nem a hatványozás szabályait követted. Ha két hatványozást egymás után elvégzel, akkor a hatványkitevők nem hatványozódnak, hanem szorzódnak. Tehát a négyzetre emelés követve az egykettedre emeléssel nem a gyök(2)-re emelést adja, hanem az egyre emelést, magyarán az identitást. Pont ezért van az, hogy az egykettedre emelés maga a négyzetgyök (a pozitív számok körében; a komplex számok körében a négyzetgyök és általában véve a nem egész kitevőjű hatvány trükkösebb a korábban jelzett problémák miatt).
hát igen valoszinű mert amikor a logaritmust tanultuk nekünk sem mondták el ez mit jelent a komplex számok esetében hiszen nem is tanultunk a komlex számokról
nekem az i a gyök kettediken is egyértelmű
hiszen gyök 2 az kettő az egykettediken tehát i a gyök 2-n az nem más mint i a négyzeten az egykettediken azaz -1 az egykettediken, azaz négyzetgyök -1 tehát i :) csak a hatványozás szabályait követve...
Igen, önszorgalomból tette, de az iskolában tanult metódust követte: mechanikusan manipulált szimbólumokat. Az iskolában megtanítják, hogy hogyan kell két törtet összeadni (gépiesen), de kevésbé tanítják meg, hogy mit jelent maga a tört, és miért úgy kell őket összeadni, ahogy tanítják. Ez az illető sose kérdezte meg magától, hogy mi is jelent az ln(i). Adottnak vette ennek a szimbólumnak az értelmét, és úgy dolgozott vele, mint a szokásos logaritmussal (ami pozitív számokra van értelmezve).
Egyébként ez kortól független probléma. A komplex függvénytan órámon ugyanilyen hibákat követnek el az (egyetemista) diákok. Azt gondolják, hogy a definíció egy úri huncutság. Nem kell definálni a logaritmust, elég ha le tudjuk írni, hogy ln(i).
de amit irsz érdekes mert ez alapján pl. i a gyök 2-ediken az nem egyértelmű míg i a négyzeten az -1
Igy van. Nincs i a gyök 2-ediken csak úgy önmagában. Ellenben ha a nemnulla komplex számoknak vesszük egy olyan M részhalmazát, amiben az origót nem lehet körüljárni, akkor az M-en lehet értelmezni egy folytonos ln(z) függvényt (aminek exponenciálisa a z), és ennek megfelelően lehet értelmezni a zgyök(2) függvényt is az egyök(2)ln(z) utasítással. Igazából ez az ln(z) komplex differenciálható is lesz, és a deriváltja 1/z, ahogy várjuk.
azt hiszem annak idején a fermat sejtés biuzonyitásánál is volt ilyen kavarodás mert hogy az egyértelmű primfelbontás a kompelx számok esetén nem egyértelmű
A komplex számok gyűrűjében az egyértelmű prímfelbontás fel sem merül, mert itt nincsenek prímek: minden nemnulla komplex szám osztja az 1-et, nevezetesen z*z-1=1. Ellenben ha K egy algebrai számtest (a racionális számok testének véges algebrai bővítése), akkor a K-beli algebrai egészek egy R Dedekind-gyűrűt alkotnak, ami azt jelenti, hogy az R-beli ideálokra teljesül az egyértelmű prímfelbontás. Viszont az R általában nem főideálgyűrű, tehát nem minden ideál kapható meg mint egy alkalmas elem többszöröseinek halmaza. Ez annyiból rossz hír, hogy az R-beli elemekre akkor és csak akkor teljesül az egyértelmű prímfelbontás, ha R főideálgyűrű.
A K osztályszáma azt méri, hogy az R mennyire van messze attól, hogy főideálgyűrű legyen, tehát hogy mennyire sérül az elemek szintjén az egyértelmű prímfelbontás. Kummer 1847-ben igazolta, hogy ha a p prím nem osztja a p. körosztási test osztályszámát, akkor a Fermat-sejtés igaz a p kitevőre. A 37 az első olyan prím, amire ez a tétel semmitmondó, mert a 37 osztja a 37. körosztási test osztályszámát. (A p. körosztási test a racionális számtest bővítése a p. egységgyökökkel.)
azt azért megjegyezném hogy az 'illető' 14 éves tehát ahhoz képest nem semmi a levezetés mégha hibás is.
A videoban aki előadja az egy matematikus és ő tudja, hogy rossz a levezetés csak mégis előadta mint érdekesség és mivel ilyen fiatal gyerek készitette
azt hiszem annak idején a fermat sejtés biuzonyitásánál is volt ilyen kavarodás mert hogy az egyértelmű primfelbontás a kompelx számok esetén nem egyértelmű
de amit irsz érdekes mert ez alapján pl. i a gyök 2-ediken az nem egyértelmű míg i a négyzeten az -1
A hiba ott van, hogy az illető feltételezi, a nemnulla komplex számoknak van (egyértelmű) természetes logaritmusa. Csakhogy nincs ilyen logaritmusfüggvény, mert a komplex számok körében az exponenciális függvény nem injektív. Pl. a bizonyítás elején szerepel az ln(i) jelölés, de nem világos, hogy ez mit jelent. A bizonyító úgy tesz, mintha az ln(i) a pi*i/2 lenne, de ugyanilyen erővel lehetne -3*pi*i/2 is, hiszen epi*i/2 és e-3*pi*i/2 egyaránt i. Hasonlóan, az illető feltételezi, hogy a nemnulla komplex számoknak van (egyértelmű) hatványa bármilyen valós kitervőre, de nincs ilyen hatványozás, hasonló okokból, amiért logaritmus sincs. Valójában csak az egész kitervőjű hatványozás egyértelmű (egyértékű) a nemnulla komplex számokon. Pl. ha az i-re úgy gondolunk, mint epi*i/2, akkor ie-re úgy kéne gondolnunk, mint ee*pi*i/2; ellenben ha az i-re úgy gondolunk, mint e-3*pi*i/2, akkor ie-re úgy kéne gondolnunk, mint e-3e*pi*i/2; a két végeredmény két teljesen különböző szám.
Az esetek 99.59%-ában x-ig több 4k+3 alakú prím van, mint 4k+1. Ezt bizonyos természetes sejtésekből (amiket a számelmélészek elfogadnak) vezette le Rubinstein és Sarnak 1994-ben. Bővebben lásd itt. Ha ennek "oka" érdekel, el kell olvasnod az eredeti cikket.
A Chowla-sejtés nagyon nehéz. Vezető matematikusok próbálkoztak vele (Erdős, Sarnak, Tao, stb.), de egyelőre nem sikerült bizonyítani. Azt is csak másfél éve tudjuk, hogy 4 egymás utáni Liouville-érték felveszi mind a 16 db +-1 kombinációt végtelen sokszor.
Hasonló a helyzet a pi(x) és a li(x) esetében, vegtelen sokszor az egyik, végtelen sokszor a másik nagyobb, de sokkal többször 'vezet' a li(x), sőt ahol mindkettőt ki tudjuk számolni (jelenleg kb 10^27-ig), mindig li(x) > pi(x), és úgy néz ki, hogy ez fenn is áll legalább 10^300-ig.
A Chowla-sejtés szerint a Liouville-függvény nem részrehajló egy bizonyos értelemben. Pl. ha 5 egymás melletti Liouville-értéket szorzunk össze, akkor a sejtés szerint átlagosan kb. ugyanannyiszor kapunk plusz 1-et, mint mínusz 1-et. Bizonyítani ezt - a matematika szabályai szerint - még senkinek se sikerült. Attól, hogy valami plauzíbilis és egyszerűen megfogalmazható, még nem lesz igaz vagy bizonyított.
Mondok egy példát. Egy nagy x-ig nézzük meg a prímek maradékait néggyel osztva (a 2-t leszámítva). Tudjuk (bizonyítottuk), hogy nagyjából a prímek fele ad 1 maradékot, és fele ad 3 maradékot. Tudjuk (bizonyítottuk), hogy az x-et növelve újra és újra helyet cserél a kétféle maradék előfordulási gyakorisága: néha az 1 maradék vezet, néha pedig a 3. Ezek után "világos", hogy az esetek kb. felében vezet az 1 maradék, a másik felében pedig a 3. Tehát ha véletlenszerűen veszel egy nagy x-et, akkor kb. 50% az esélye annak, hogy az 1 maradék fog vezetni, és ugyanennyi, hogy a 3 maradék fog vezetni. Meglepetés: ez nem igaz. A dolgok bonyolultabbak, mint amilyennek látszanak.
