A váratlan akasztás paradoxonról (wiki://Unexpected_hanging_paradox) ki mit gondol? Nézegettem egy picit, de nem igazán jutottam használható eredményre, nem igazán vannak eszközeim hozzá (bizonyíthatóság, bizonyítás, bizonyítás és valóság kapcsolata egy nehéz elmélet).
Az egy napos esetet néztem, hogy: "Szülinapi bulid lesz pénteken, de úgy, hogy nem fogod tudni hogy szülinapi bulid lesz."
Az emberünk ha elfogadja a meghívóját igaznak, akkor ellentmondásra jut. Ha viszont nem fogadja el igaznak, akkor kiderül hogy igaz...
Vagy ezzel a logika egyáltalán nem is foglalkozik (Russel óta) -- tudjuk hogy a naív elmélet hibás, előfordulnak benne ilyenek, ez van?
. . .
Tud valaki ajánlani vonatkozó szakirodalmat amelyik tárgyalja az elméletek és a valóság kapcsolatát? Vagy ért hozzá valaki itt? Hogy mit jelent a valóságra nézve, hogy simán előfordulhat benne ez a szülinapi bulis ellentmondás, a Russell paradoxon (könyvvel és nem halmazzal megfogalmazva), a Curry paradoxon?
Vagy ezek a paradoxonok nem a világban csak a nyelvben / fogalomrendszerben fordulnak elő?
Igy van, és ugyanez vonatkozik a Riemann-sejtésre is. (Bár itt vannak finomságok, pl. a ZFC-ről érdemes feltenni, hogy konzisztens és omega-konzisztens.)
Ha nem igaz, akkor - legalábbis felületesen átgondolva - mintha nem lehetne gödeli. A gondolatmenet: ha nem igaz, akkor létezik legalább egy konkrét szám amire nem igaz. Azt meg elvileg meg is lehet találni, ha máshogy nem találgatással.
Egy gödeli állításról mindig ki lehet deríteni, hogy gödeli, tehát nem érdemes a bizonyításán, vagy cáfolatán fáradozni?
Nem. A legtöbb megoldatlan matematikai problémáról úgy gondoljuk, hogy eldönthető az adott axiómarendszerben (pl. a halmazelmélet szokásos ZFC-féle axiómarendszerében), de fennáll a "veszélye", hogy gödeli állításról van szó. Jelenleg pl. elvi módszert sem ismerünk arra, hogy kiderítsük, a Riemann-sejtés vagy a Goldbach-sejtés a ZFC-ben gödeli állítás-e vagy sem.
Segítséget kérnék a hozzáértőktől az alábbi kérdésben. Egy gödeli állításról mindig ki lehet deríteni, hogy gödeli, tehát nem érdemes a bizonyításán, vagy cáfolatán fáradozni? Onnan merült fel, hogy ha egy adott axiómarendszerben egy állításnál nem is lehetünk biztosak abban, hogy egyáltalán ő, vagy a negáltja levezethető, akkor legalább ezen helyzet fennállását le tudjuk-e tesztelni. Köszi!
Ettől persze még lehet lehet hogy használható a tétel, pl. olyan modell amelyben valamilyen megfeleltetéssel végtelenek is előfordulnak, de annyira áttételes így a kapcsolat, hogy konstruktív modell elképzelés nélkül aligha lehet értelmeset mondani.
Sziasztok! Tudtok olyan matematikai/pénzügyi modellt, amiben definiálni lehet a pénzügyi eszköz (financial asset) fogalmát?
Szeretném modellezni a pénzügyi eszközöket, ebben a modellben definiálni az arbitrázs fogalmát, és a nemteljességi tételhez hasonló állítást bizonyítani arbitrázsra, konkrétan valami olyasmi tételt, hogy eléggé kifejező pénzügyi modellben soha nem tudjuk bizonyítani az arbitrázsmentességet.
Szerintetek van értelme ilyen kutatásba fogni, vagy a nemteljességi tételnek ilyen "alkalmazása" nem használható semmire?
(Értsétek úgy, hogy nemteljesség sincsen másodrendű logikában, csak elsőrendűben, és ha a való életben magasabbrendű logikát alkalmaznak, akkor felesleges ilyeneket bizonyítani.)
Azért vezet ki a természetes számok halmazából, mert itt nem hagyományos összeadásról van szó. A hagyományos összeadás két szám összegét képezi. Ebből kiindulva definiálhatjuk három szám összegét, négy szám összegét, stb., és ezek egyike sem vezet ki a természetes számok halmazából. A végtelen összeget azonban nem így defináljuk, hanem mint a véges részletösszegek limeszét. Ennek folytán persze az is előfordulhat, hogy a végtelen összegnek nincs is értelme, mint pl. az 1-1+1-1+... esetében.
Természetesen lehet a végtelen összeget másként is definiálni. Egy lehetséges definíció, hogy minden végtelen összeg nulla, és akkor megszűnik az a probléma, amit mondtál. Persze ezzel a definícióval más problémák vannak.
Amúgy meg nincs abban semmi furcsa, hogy egy művelet kivezet a természetes számok halmazából. Pl. a kivonás is kivezet belőle.
<bevezetés a pgrogarmozáshoz tantárgy 1. előadásából merítve> Lassan eljuthatnánk oda, hogy definiáljuk, mi is az a sorozat. Különös tekintettel arra, hogy mi az üres, a véges, és a végtelen sorozat közötti különbség. Legyen adott egy nemüres A alaphalmaz (bármi lehet, egészek, valósak, számjegyek, stb). Ekkor egy {}->A leképezést üres sorozatnak nevezünk, és ε-nal jelölünk (igazából az üreshalmazzal azonos), valamely n pozitív egész esetén egy {1..n}->A leképezést véges sorozatnak nevezünk, egy N->A leképezést pedig végtelen sorozatnak nevezünk.
Az összes véges sorozat halmazát (az üreset is beleértve) jelölje most A*, az összes végtelen sorozat halmazát A∞, az előző kettő únióját A**
Milyen műveletek értelmezhetők sorozatokon? - hossz: lehet nulla, természetes szám, vagy a ∞ jel - indexelés: a sorozat i-edik eleme: αi = α(i) - egyenlőség: két sorozat egyenlő, ha értelmezési tartományuk azonos (Dα=Dβ), és annak minden elemén azonos az értékük (αi=βi) - összekapcsolás: ha α véges, β pedig tetszőleges, akkor értelmezhetjük az összekapcsoltjukat (jele: αβ), ennek formális definíciója házi feladat
Házi Feladat:
1. Milyen algebrai struktúrát alkotnak a véges sorozatok az összekapcsolás műveletével?
2. Ha A elemszáma véges, mennyi az n-hosszú sorozatok száma? És a legfeljebb n-hosszú sorozatok száma?
Az is furcsa, hogy természetes számokat adogatok össze (1+1+1+...), aztán egyszer csak kapok egy nem természetes számot. Az összeadás miért vezet ki a természetes számok halmazából?
Az előző felírásban (0|00|000|...) is csak az a probléma, hogy bizonyos hosszúságú számjegyek nem jelennek meg a felírásban, de ez a számosságát nem befolyásolja. Ha a legutóbbi definíciót veszem, akkor teljesen mindegy, hogy a három pont előtt milyen bontásban és sortörésben írom a nullákat.
Különbözik, hiszen az első felírásban végtelen sok véges sor van, a másodikban pedig egy darab végtelen sor. Továbbá a második felírásból (000...) nem derül ki, hogy az első felírásbeli sorok pontosan milyen hosszúak (1, majd 2, majd 3, stb.).
Végtelen sor alatt végtelen összeget szoktak érteni a matematikában.
Ez így van. De a tizedes törtek (pl. 3.1415926...), illetve a más számrendszerbeli törtek is végtelen sorként vannak definiálva, amely sorok minden esetben konvergensek.
Influence Device viszont használt egy új jelölést, ami definiálatlan: 000...
Ennek értelmezése viszont a levegőben lóg, és mint kiderült, többen többféle képen értelmeztük. Azt hiszem, emiatt nem is érdemes ezt a jelölést addig használni, amíg nincs rendesen definiálva.
Végtelen sok 1-es összege is létezik "aktualizálva". Egy végtelen összeget az analízisben a részletösszegeinek sorozatával azonosítunk. Tehát végtelen sok 1-es összege sorozatként megegyezik a természetes számok sorozatával. Ettől még az eredmény (amit végtelennel jelölünk) nem természetes szám, hasonlóan ahogy a természetes számok halmazát sem tekintjük természetes számnak. Az eredmény egy limesz.
A standard matekban a Sum[1...oo](1) -nek nincs eredménye.
Nem tudom, mit értesz ezen a szimbólumon. Mindenesetre a standard matekban végtelen sok 1-esnek van összege, és az végtelen. A végtelen itt egy szimbólum, amivel nemigen számolunk tovább, mert nemigen lehet továbbszámolni vele. Máskor a végtelennek konkrétabb jelentése van, pl. a Riemann-gömb egy pontja, és akkor tudunk vele számolni, pl. (3z-2)/(5z+1) értéke ebben a pontban 3/5.
A halmazelméletben a rendszámok és a számosságok között is van limesz fogalom, pl. a természetes számok limesze az omega, ami egy végtelen halmaz.
A nemstandard analízisben pedig van többféle végtelenül kicsiny és végtelenül nagy szám, amivel számolni is lehet.
Szóval nem értem a problémádat és hogy mennyiben mondanál újat a szokásos fogalmakhoz képest. Fején akarod találni a szöget, miközben nem tanultál rendesen matekot és nem is igazán érdekel.
A standard matekban a Sum[1...oo](1) -nek nincs eredménye. Azért, hogy konzisztens legyen például a standard természetes számok definíciójával.
Ez nekem pl. nagyon nem intuitív. Ha a gépem a végtelenségig írja a nullákat egymás után (000...) (ami bizonyos értelemben megfeleltethető a fenti szummának), az igenis létezik, és végtelen hosszú.
Felejtsd el ezt a teológiai maszlagot. A halmazelméletnek nincs semmi köze a valláshoz, és ezt légy szíves ne is hozd ide a Tudomány rovatba. Cantor ráérzett a matematikában nagyon hatékony halmaz fogalmára, és ebből lett később egy precíz és kerek elmélet, amit a legtöbb matematikus szeret vallási meggyőződésétől függetlenül, mert tényleg jól használható és jól összetartja a matematika egészét.
Akkor meg nem értem, mit jössz az intuícióval. A Te intuíciód az, hogy vannak végtelen számok is. A matematikában is vannak. Úgy hívják őket, hogy végtelen rendszámok, vagy végtelen számosságok, vagy nemstandard természetes számok stb. Tanuld meg ezeket a dolgokat rendesen, és akkor máris nem fogod olyan idegennek érezni a matematikát. A "természetes szám" fogalma foglalt, mint ahogy a "Budapest" elnevezés is, azon nem érdemes vitatkozni.
