Szép csendben bevallom, hogy elvileg ezzel az itt-tel 'tönkreb@sztad' az estémet. Ti. nem hagyott nyugodni, pedig lett volna mit tennem mást. De ma reggelre megadta magát.
1. Észrevettük, hogy ez a két alakzat csúcsokban megegyezik, de mégsem egyformák:
Egymás mellé téve már igaz is rájuk, hogy a csúcsok szimmetrikusak, de maga az alakzat nem. Csak nem poliominó, nem teljes oldalakkal érintkeznek a négyzetek. Ezért összefüggővé kellett tenni, úgy hogy a csúcsok megmaradjanak.
2. Ez látszik itt, zölddel az összekötő elemek:
Ez az alakzat már jó is lenne, tud mindent, amit megkívánt a feladat.
De észrevettük, hogy össze lehet nyomni, túl széles.
3. Összenyomva:
4. És ha még egy egységgel összenyomjuk, akkor a felső összeköttetésre már nem is lesz szükség. És kialakul a végső alakzat:
Szóval jelenleg ez a legkevesebb négyzetből álló ismert megoldás. Ez 17 négyzetből áll. 14-es, 15-ös nincs a programom szerint. Még kevesebb négyzetből állót nem tartom valószínűnek (lehet, hogy ez ki is jönne a nagyobb esetekből.) A 16 négyzetből álló megoldás létezése még nyitott kérdés.
Kicsit pongyola voltam, nem határoztam meg, hogy milyen szimmetriá(k)ra gondolok. De mondjuk, hogy csak a tengelyes a lényeg. Így jónak tekintem a középpontosan szimmetrikus megoldásod.
Azt azért elmondanám, hogy a teammunka előtt én már sokat foglalkoztam a feladattal. Megvan nekem az összes 14, 15 négyzetből álló alakzat. Ez kb 4.5 millió darab. Írtam egy programot, ami ezeken leellenőrzi ezt a tulajdonságot, de nem talált jó 14 vagy 15-ominót. Így már kezdtem azt hinni, hogy nem lesz megoldás...
És még egy kis előzmény. Van egy (szerintem) zseniális játék. 3 darabos puzzle és kemény erőpróba. Itt írtam róla. Valaki erre is írt programot és talált olyan "megoldást", ami pont azt tudja, hogy a csúcsok tengelyesen szimmetrikusak, de az alakzat nem. Erre elkezdtem gondolkodni, hogy poliominókkal lehet-e hasonlót kitalálni.
Több emberes ötleteléssel mégis sikerült találnunk megoldást:
Ha nem követelnénk meg, hogy teljes oldalak érintkezzenek, hanem elég lenne csúcsbeli érintkezés, akkor lenne még kevesebb négyzetből álló megoldás is. A fenti ábrából el lehetne hagyni jópár négyzetet.
Vegulis mindegy, mert a lyukat kihasznalva is tok ugyanabba a problemaba utkoztem. Ez egy baromi nagy megkotes, hohgy csak 90 vagy 270 van. Meg ferde (45 fok) tengelynel se latom, hogy hol lehetne atverni a rendszert:)
Ettol me'g lehet, vagy esetleg jobban kene bizonygatni hogy nem is lehetseges, csak mivel mas dolgom van, igy en ezt most feladtam.
Azóta én is láttam a wikin, hogy a lyukast is annak tekintik. Az eddigi tapasztalatomban nem találkoztam vele; igaz, hogy a kirakós (packing) dolgok érdekelnek és ott eleve nem 'játszik' lyukas elem.
Az én értelmezésemben (és szerintem ez az általánosan elfogadott) lehet lyuk benne és lehet a lyuk körül csak egy pontban érintkező két négyzet. Vagyis a 3*3-as minusz közepe és sarka az egy jó poliominó.
Onogur felvetésére is reagálva, az már nem szokott megengedett lenni, hogy csak csúcsban legyen összefüggő, de ehhez a feladványhoz most most akár megengedhetjük ezt is!
Megpróbálom leírni, de majd egy matekos pontosítja.
Páros számú pont csak akkor lehet szimmetrikus helyzetben, ha a szimmetriatengelyen páros számú pont található (párosnak tekintve a nullát is). Konvex idom csúcspontjai közül nem lehet 3 olyan pontot kiválasztani, hogy azon belül megtalálható legyen az idom bármely másik pontja. Négy szimmetrikusan elhelyezkedő pont esetén vagy nem tartalmaz a tengely pontokat, ekkor az összekötés szimmetrikus vagy elfajult; vagy kettőt tartalmaz. Most vegyük az egyik tengelyen található pontot és a másik kettőt, ezek egy egyenlő szárú háromszöget alkotnak, melynek (egyik) szimmetriatengelyén található a negyedik pont is. Ez a negyedik pont morfológiailag 3 helyen lehet. Az átfogó külső oldalán (1), a háromszögön belül (2), vagy a 'csúcsponton túl' (3).
Nem szimmetrikus összekötést úgy tudunk elérni, hogy a két, tengelyen lévő pontot közvetlenül kötöm össze. Így az egyik tengelypontból az egyik külsős pontot kötöm össze, míg a másikból a másikat.
(1) esetben elfajult négyszöget kapunk, mivel a két összekötés metszi egymást. (2) esetén aszimmetrikus az összekötés, de nem konvex. (3) esetén a csúcspont kerül a másik 3 pont háromszögébe és így ez is konvex lesz. Több eset nem létezik.
Na akkor ezt az erintkezest tisztazzuk... mert a wiki oldal szerint van lyukas polinomio, ugy is hogy a lyuk egy ilyen erintkezesbol van (7-es lyukas letezesebol gondolom), mindossze az alakzat osszefuggeset nem ez az erintkezes adja. Szoval az mint sikidom megfelelne, ha a 3x3-asbol a kozepet es az egyik sarkot kidobom?
(Ha nem, akkor eleg valoszinu hogy nem lehet ileyn polinomio, egyszeruen abbol a szemleletbol, hogy keressuk az elso pontot a tengely valamely szamozasa menten, amelyiknel az alakzat mar nem szimmetrikusan folytatodik. Ekkor ellentetes iranyra kell valtania - mivel _van_ csucspont, csak nem ugyanaz, akkor az a 90 es a 270 lehet csak -, de akkor a tuloldalon nem szelso hanem belso pont lesz, ami itt a kov. sarok lesz... nem tudom mennyire ertheto, meg ezzel me'g nem igazoltam csak gyanitom, hogy korbezaras nelkul nem johet ossze.)
A kevesebb az egy szab. haromszog + a sulypontjatol kulonbozo P pont az egyik oldalfelezon ugy osszekotve, hogy az egyik oldal az a felezo egy szakasza legyen?
Sztem a G betudnel az utolso ketto kulso pontja egy egyenesre esik, nem lesz a polinomio csucsa, cserebe a belso oldalon az utolso konkav csucs meg az elejen lesz egy oldalkozepi pont.
Sztem ott vagytok egymassal felreertesben, hogy a polinomio csucsai nem az o"t alkoto negyzetek csucsainak osszessege, hanem maganak a burkologorbenek. Igy a peldad ugyan nem szimmetrikus, de a - relevans - csucsok sem azok, hiszen a beugro resz konkav csucsainak tukorkepe (mind1, melyik iranyban nezed) nem lesz csucspontja a teljes polinomionak.
Vagy persze az is lehet, hogy en ertettem felre valamit, nekem ez jott le.
Vagy egy kisebb, s talán ilyesmire gondolhattál. Az alábbi koordinátákra illesztünk a középpontjuknál fogva egy-egy egységnégyzetet: 0,0; 0,2; 0,3; 1,0; 1,1; 1,2; 1,3
Ez (a te ötleted) alapján az általam elképzelt idom így épül fel egységnégyzetekből: Lerakok egy négyzetet, majd egyet jobbra, jobbra, föl, föl, föl, balra, balra, le. Ez egy horgot, C, vagy inkább G betűt ábrázol.
Igen, a pontok szimmetrikusak, de az idom nem. Grat ZOH ill. PDF.
>Ha egységnégyzeteket teljes oldaluknál összeerősítünk, akkor kapjuk a poliominókat.
---
Azt is kössük ki, hogy két négyzet csak csúcsban nem érintkezhet. Azaz két négyzet csak úgy érintkezhet, ha két csúcspontjuk is közös. Olyan eset nem tartozik ide, ha csak egy csúcs érintkezik.
