Hacsek!
Ez most elég meggyőző érvelés volt.
Nem tudom, hogy az az én bajom-e, ha el tudok fogadni olyan nézeteket is, amik első pillantásra furcsának tűnnek.
Az, hogy "közötte van" a rendezéstől függ, és én el tudom fogadni, hogy egy halmazt sokféleképpen lehet rendezni. Biztos sok halmazról Te is el tudnád fogadni, csak ne ellenkezzenek az elméleteiddel.
GPF
Itt most kategorikusan kijelentem: nincs két szomszédos valós szám, mert még végtelen sokat közéjük tudok gyömöszölni (te lehet, hogy nem tudsz, de ez a te bajod).
Az az elmélet, ami ennek az ellenkezőjét állítja, f@szság. Éntőlem magától Einsteintől is származthat, akkor is.
Hacsek!
Megint mi az, hogy önmagában zárt halmaz, de nem folytonos?
Mikor nevezel egy számhalmazt folytonosnak? És önmagában zártnak?
Két racionális közé is tetszőlegesen sok racionálist tudsz begyömöszölni, ez tehát nem jó a folytonosság definíciójának.
Az előbb épp azt mondtam, hogy van olyan rendezés, ami szerint a valós számoknak vannak szomszédos elemei. Ezt itt most kategorikusan kijelentem. És azt is, hogy nincs köztük semmi. Ismétlem, nem a szokásos rendezéssel.
GPF!
Előhang: Egyikünk sem fogalmaz itt halálpontosan, de még ez a szerencse...
Az első gond a mihez képest: a racionális számok halmaza önmagában zárt halmaz, de nem folytonos. DE ha nem engeded, hogy a valós számok halmazához viszonyítsam, akkor nincsenek benne szakadások.
A másik: nem általában halmazt, hanem számhalmazt nevezek folytonosnak.
Ronda despotizmus, de a valós számok halmazát mindaddig folytonosnak fogom nevezni, amíg nem tudod megakadályozni vagy cáfolni, hogy két (általad) tetszőlegesen megválasztott elem közé én még végtelen sok elemet tudok begyömöszölni.
Nem hangzott még el ilyen kategorikusan, de ki kell jelenteni: a valós számok halmazának nincsenek szomszédos elemei, azaz nincs rá következő valós szám.
Nemhogy nem igaz, hogy "nincs közte semmi", hanem végtelen sok elem van "közöttük".
Ezt szólom. Uff.
Nem ezt kérdeztem, hanem azt, hogy ha csak a racionális számokat ismernénk, az folytonos lenne-e, a Te elképzeléseid szerint.
Azt ugye elismered, hogy a valós számok halmazánál is van bővebb halmaz?
Tehát az, hogy egy halmaz bővebb a másiknál, nincs összefüggésben a folytonossággal.
Egyébként azért kérdem ezeket, mert nem tudom, hogy mikor hívsz egy halmazt folytonosnak. Én nem ismerek ilyen fogalmat.
Függvények esetén van folytonosság, azt egy kicsit ismerem.
A másik kérdésem az volt, hogy az y=x fv. folytonos-e, ha az értelmezési tartománya a racionális számok halmaza.
Ez szerintem olyan fogalmakat használ, amik egyértelműek, úgyhogy várom ismét válaszaidat.
Ja, és még egy. Ahogy mi rendezzük általában a valós számokat, az csak egy az ezer közül.
A jólrendezhetőségi tétel szerint minden halmaz rendezhető úgy, hogy minden részhalmazának van legkisebb eleme. (pl. a természetes számok halmazára a szokásos rendezéssel ez elég egyértelműen igaz.) A valós számokra azt hiszem, még nem találtak ilyen rendezést, de létezik. (Ez a kiválasztási axiomából következik, amit persze lehet nem elfogadni, bár elég szemléletes)
Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen rendezés esetén meg lehet mondani, hogy egy valós szám után melyik következik. Közte nincs semmi.
Ehhez mit szólsz?
(Ui. lehet, hogy pontatlan voltam, de a lényeg igaz.)
Kérdésedre: a valós számok halmaza nagyobb számkör, mint a racionálisaké, ezért a racionális számok nem fedhetik le szakadások nélkül a valós számok folytonos halmazát.
Nekem nem tűnik abszurdnak az, hogy 0 kiterjedésű pontok végtelen sokasága már nem 0 kiterjedésű. Persze pontosan definiálni kell a kiterjedés fogalmát.
Szívesen hallom az ellentmondásokat.
GPF
Bocs, Lalo, de miért kell újfajta bevezetéseket kitalálni? Vannak erre bevett axiomarendszerek, azok közül is van ami elég szemléletes. Nem emlékszem pontosan a Peano félére, de a Te első kettőd eléggé hasonlít rá, de a többi nem az.
Egyébként nem hiszem, hogy így eredményre tudunk jutni, ennél mélyebb, filozófiaibb már a vita.
Bocs.
GPF
Mit szólnál a természetes számsor leírásának következő módjához:
1. A számsor 1-gyel kezdődik.
2. A számsor minden számához van egy közvetlenül rákövetkező.
3. A számsorban nincs ismétlődés.
4. Minden számhoz eljuthatunk számlálással.
A kérdésben az én álláspontom eltér az iskolaitól. Ugyanis aszerint a számegyenes különféle, de nulla kiterjedésű pontok végtelen sokaságából állna. Ez viszont ABSZURDUM. Ugyanis nulla kiterjedésű objektumok bármilyen sokasága sem vezethet nem-nulla kiterjedésűhöz. Ha ezt logikailag mégis megengedjük, akkor azzal bebiztosítjuk a különféle ellentmondások végeláthatatlan sokaságát is. Vagyis az a véleményem, hogy nulla méretű pontokból nem lehet eredeztetni vonalat, vonalakból felületet, felületekből térfogatot, stb. A kiterjedés ugyanúgy nem származtatható a nem-kiterjedésből, ahogyan a mozgás sem származtatható a tökéletes nyugalomból. Ehelyett éppen fordítva kell eljárnunk, azaz a nyugalmat kell a mozgás speciális (és közelítő) eseteként felfognunk, a nem-kiterjedést pedig a kiterjedésének. Gyakorlatilag ugyanazt az utat megismételve, amit annak idején a pont, az egyenes, stb. fogalmainak megalkotásakor már egyszer megjártunk, csak ezúttal nem menni el addig az elvonatkoztatásban. Ahogyan a halmazelméleti számosság fogalom is visszatérés egy ősibb, fizikaibb, gyakorlatibb síkra, ugyanúgy a kiterjedéssel kapcsolatos fogalmainkat is közelítenünk kell a fizikai valósághoz, vagyis alapvető mennyiségekként olyanokat kell bevezetnünk, amelyek eleve bírnak a bennünket érdeklő kiterjedésekkel. Pl. intervallumokból már állhat egy teszőleges vonal (pl. számegyenes), mert van kiterjedésük, ugyanakkor általuk a pontok fogalmához is el lehet jutni (határátmenettel). Általuk tehát igazabb matematikához juthatunk (lásd disztribúcióelmélet).
Üzenetedből úgy látom, hogy az intervallumokat Te az irracionális számok révén próbálod meg rácsempészni a számegyenesre (:-))). Abban egyetértünk, hogy a számegyenes kiterjedését az intervallumok adják, és a racionális számok csak mazsolák rajta. De szerintem nemcsak a racionális számok mazsolák, hanem mazsolák az irracionális számok is, a nem algebrai irracionális számokkal együtt.
A határérték fogalmában az az izgalmas, hogy intervallumok sorozatával operálván alkalmassá válik arra, hogy központi figurája legyen a kiterjedt és a nem-kiterjedt dolgok matematikájának. De van vele kapcsolatban egy fontos dolog, ami általában elsikkad: a határérték nem egy "szám", hanem egy dinamikus folyamat. A kettő ugyanúgy különbözik, mint a találat és a lövés. A határérték a lövés, ami néha betalál egy számra.
Én úgy látom, hogy most már az egyetlen érved a számosságok közti különbség.
Kérdéseidre:
1. Mi az a szakadási pont a valós számok rendszerében?
2. Mi a Te modelled?
Egyébként nagyon sok modellt lehet adni a valós számhalmazra, mint ahogy még a másik témában utaltam is rá, ezek közül pár:
1. Cauchy féle (vagy korlátos, monoton) racionális elemű sorozatok ekvivalencia osztályai. (ELTE volt Anal II tanszék)
2. Dedekind féle racionális számhalmazok. (Algebra)
3. A sík egy egyenesének pontjai.
4. Axiomatikus leírás. (Jó, ez nem modell)
És még van biztos ezer mód.
Ha érdekes, valamelyiket részletesebben is kifejtem, bár ezeknek utána lehet nézni.
Még egy kérdés.
Ha csak a racionális számokat ismernénk, az nem lenne folytonos?
Vagy y=x fv. amit a racionális számokon értelmezünk az folytonos?
Mindenben igazad van. Én egy adott rendszert gondoltam. Tudom, hogy pl. a valós számok axiomarendszere levezethető a halmazelméletiekből. Nem igazán erről szólt a hozzászólásom. Azt hiszem, nincs köztünk vita.
GPF
Ha a halmazelméleti felépítést választjuk (tőszámok). De kiindulhatunk a megszámlálásból, a sorszámokból is (Peano axiomarendszere), ahol bizony az 1 az első természetes szám.
Ismeritek a vonatkozó viccet? A matematikus kétségbeesetten számolgatja átszálláskor a bőröndjei: "Nulla, egy, kettő, három - hová lett a negyedik?"
Kedves Lalo!
Remélem, hogy a természetes számok után zárójelbe tett egész számokat nem gondoltad komolyan, mert a természetes számok halmaza 0-val kezdődik és nem eggyel! (0,1,2,3,4,5...)
Legyen két (axiomatikus) alapfogalom: az egység (jele legyen 1), és a kiindulópont (jele legyen 0). Az egység többszörösei (sorozatos összeadással és kivonással) ugyancsak legyenek egész számok.
A kapott halmaz elemeiről legyen eldönthető a kisebb-egyenlő-nagyobb reláció.
(És már sokkal előbbre ugorva jegyezzük meg: hogy a természetes számok alapvető sajátossága az egyértelmű prímtényezős felosztás, de ez itt most még tényleg korai)
Az a gyanúm, hogy sokunk fejében vannak nem teljesen tisztázott, félreérthető, vagy félig megértett nézetek. Itt az idő rendberakni ezt a szénaboglyát, hiszen mindenki világosán látja, hogy nem tudunk egymással szót érteni.
Elsőként építsük fel a valós számkört!
Induljunk ki az egész számokból! Mit tudunk velük kapcsolatban mindenki számára elfogadhatóan rögzíteni?
Kedves DcsabaS!
Köszönöm! Onnan kaptam segítséget, ahonnan nem vártam. Annak idején a Magyarulezben soxor álltunk egy oldalon, mégis vitatkoztunk.
Kíváncsi volnék azonban a kérdésben az érdemi véleményedre:
Te elfogadod-e (ténynek, axiómának, tételnek vagy bárminek), hogy a valós számok halmaza folytonos, mégpedig mint a pontszerű racionális számok és a közöttük lévő irracionálisszám-intervallumok összessége.
Írod:
"Az axiomáknak az egyik tulajdonsága, hogy nem lehet őket levezetni más axiomákból..."
Nem tudom, hogy ezt miért gondolod így (hacsak nem az iskolai tanulmányaid miatt (:-))) ), de az, hogy mit tekintünk axiómának és mit levezetendő tételnek, az bizony választás kérdése. Ezért bár egy adott logikai rendszerben nem vezetjük le máshonnan az axiómának választott dolgokat, más rendszerekben azok még simán lehetnek levezetett és bizonyított tételek.
Jól visszaköszön ez ott is, hogy vajon a folytonosságot, vagy pedig a határértéket választjuk-e alapfogalomnak. Neked a folytonosság tűnik jobb választásnak, nekem viszont a határérték. Éspedig azért, mert a folytonosság hétköznapi értelmezése olyasmiket is folytonosnak lát/gondol/hisz, amelyek a precíz gondolkodás tükrében nem azok. Így ha nem akarjuk már a kiindulásul vett fogalmat is másféle értelemmel ellátni, mint ami az emberek számára természetesnek tűnik, akkor másik kiindulópontot célszerű választanunk. A határérték fogalmához nem kötődik hétköznapi jelentés, ezért azt lehetséges elegendő pontossággal és egyértelműséggel megfogalmazni, majd pedig ebből levezetni egyebeket.
Egyetértünk (?) abban, hogy axiómát nem kell magyarázni.
Így elsőre az a fő kérdésem továbbra is:
Te hogyan definiálnád a valós számhalmazt?
Na most a részletkérdésekről:
Való igaz, nem szeretem a TETSZŐLEGESEN kicsi kifejezést, gimnazista gügyögésnek érzem. Összemossa azt a fontos tényt, hogy a VÉGTELEN fogalma egyaránt megjelenik a minden határon túl nagy és kicsi jelenségekben. Ezért használom (ha megengeded) a "végtelenül kicsi" kifejezést.
A te 9' pontod igaz, de nem cáfolja az én 9. és 10. pontomat.
A te 9' pontodból levezethető (képzeletbeli 10') állításoddal szemben az én 10. állításom azért helytálló, mert nem a racionális, hanem az irracionális számok kontinuum-számosságúak.
(Most már tényleg kíváncsi volnék a te eredeti feladatod megoldására, mert azt gondolom, hogy ha az nem az én axiómám szerinti valós számhalmazt vesz alapul, akkor nem is függvény, azaz EGYÉRTELMŰ megfeleltetés.)
A véleménykülönbségünk tényleg szemléletbeli, és ez éppen a "végtelenül kicsi" általad nem elfogadásából származik.
Az én állaspontom az, hogy a "végtelen kicsi" távolságnak éppen az lehet a legnagyszerűbb tulajdonsága, hogy mégis végtelen sok elem pakolható bele.
Ezek valóban tudatfeletti (hogy ne mondjam irracionális) dolgok.
Ha nem fogadod el a konklúziómat, hát nem. De ekkor ismételten arra kérlek, hogy:
1. Mutass legalább egy szakadási pontot a valós számok rendszerében!
vagy
2. Adj az enyémnél jobb modellt a valós számhalmaz felépítésére!
Az axiomáknak az egyik tulajdonsága, hogy nem lehet őket levezetni más axiomákból.
Axiomákban csak alapfogalmak szerepelnek, amelyeket nem magyarázunk meg.
A Te axiomád, miszerint a valós számok folytonosan helyezkednek el, tartalmaz min. egy olyan fogalmat (folytonos) amit definiálni szoktak, más, egyszerűbb tulajdonságokra vezetnek vissza. Pl. két szám különbségére, vagy távolságára.
Ezért nem fogadom el ezt az axiomát.
A felsorolt 10 állításod közül az első 9-cel kevés bajom van, azért ezeket leírom:
6. pontban nem értem azt a kifejezést, hogy pontszerűen.
7. pontban a végtelenül közel van, helyett a tetszőlegesen közel jobban értelmezhető számomra. Nem értem, mit jelent a végtelenül közel. Mennyi két végtelenül közel levő szám különbsége?
A 9. ponthoz hasonlóan tennék még egy megjegyzést, legyen ez:
9'. Két tetszőleges különböző irracionális szám közé végtelen sok racionális szám helyezhető el.
(ezt elhiszed?)
A 10. pontot pedig szintén nem értem. Ilyesmi az én 9' pontom alapján az irracionális számpárokra is igaz kellene, hogy legyen.
Így a konklúzióval természetesen nem értek egyet. Nem lehet két olyan irracionális számot mutatni, ami közt ne lenne racionális, így NINCS irracionális intervallum.
Nagyon igazad van, talán csak az utolsó előtti megjegyzéseddel vitatkoznék.
Szerintem a folytonosság "egyszerűbb, szemléletesebb" fogalom, mint a határérték, ezért egy fordított definíció lenne indokolt. (Én legalábbis úgy tanultam, de logikusnak is tűnik.)
Amit itt írsz, az fv-ek folytonossága és határértéke. Ennek van értelme, sokkal több, mint egy számhalmaz folytonosságának.
Írod:
"A pásztor a természetes számok nélkül is ellenőrizni tudja, hogy hiánytalan-e a nyája. Amikor kiengedi őket a karámból mindegyiknél betesz egy kavicsot egy köcsögbe, amikor visszajönnek, akkor meg kiveszi. Ha nem marad kavics, akkor OK."
A halmazelméleti számlálási módszer pont azért felel meg inkább a "kavicsos" módszernek, hogy ne kelljenek hozzá természetes számok, így aztán szélesebb körben használható, beleértve a természetes számok generálását is!
A halmazelmélet megjelenése előtt, a véges mennyiségekkel való foglalkozás tapasztalatainak alapján az emberek (a matematikusok is!) általában úgy hitték, hogy a végtelen sorozatoknak is a végükre lehet járni, ezért logikailag nem kifogásolható, ha úgy hasonlítjuk össze két sokaság elemeinek a számát, ha előbb megszámoljuk az egyiket, majd a másikat, azután összehasonlítjuk az eredményül kapott számokat. Ezzel a módszerrel csak az a baj, hogy egyáltalán nem biztos, hogy az egyszer elkezdett számlálás valaha is befejezhető, ha pedig nem, akkor korrekt összehasonlítást sem tehetünk a végén! Ad hoc ötletektől vezéreltetve persze kinevezhetjük az egyik sokaságot nagyobbnak, de kiderült, hogy ez meg mindenféle ellentmondásokra vezet. Ilyen ellentmondásokra elsőként Zenon figyelt fel (vagy legalábbis róla tudjuk elsőként, hogy felfigyelt), de pl. Archimedes is beléjük ütközött, amiért is azokat az eredményeit, amelyeket tulajdonképpen integrálszámítással kapott meg, utólag minden esetben geometriailag is bizonyította, hogy kizárja a tévedés lehetőségét. Ezt a módszerét később Newton is alkalmazta az ún. infinitezimális számítás megalkotásakor, azaz ő is tudta, hogy a végtelen mennyiségek használatával elég könnyen lehet ellentmondó, téves eredményre jutni, ezért a végeredményt szükséges másképp is (általában geometriailag) bebizonyítani. A "végtelen" ellentmondásmentesnek tekintett kezelése az "epszilon-delta" apparátus (Cauchy és mások) kifejleszéséhez köthető (bár ezügyben igazából még a halmazelmélet is csak a nyitányt jelenti). A matematikai értelemben vett folytonosságon azt értjük, hogy a helyettesítési érték egyenlő a határértékkel, vagyis hogy a helyettesítési értékeket meghatározzák a közvetlen környezetek helyettesítési értékei. Ez tulajdonképpen az egyik legalapvetőbb fizikai elv is, ami ha nem lenne, egyebek mellett logika sem lenne.
Még ez sem igaz, a természetben egyáltalán nincs matematika. Ha Isten egyáltalán teremtett valamit, akkor ez az egyenlő-különböző meg az igaz-hamis ellentétpárok, esetleg a halmaz fogalma.
Egy példa. A pásztor a természetes számok nélkül is ellenőrizni tudja, hogy hiánytalan-e a nyája. Amikor kiengedi őket a karámból mindegyiknél betesz egy kavicsot egy köcsögbe, amikor visszajönnek, akkor meg kiveszi. Ha nem marad kavics, akkor OK.
Namármost. A matematika emberi alkotás, célja általában a természet megértése, leírása, sokszor pedig -legalábbis az adot pillanatban- öncélúnak tekinthető játék, szellemi kaland. Utóbbira példa a Bool algebra, ami valamikor a múlt században születetett a formális logika leírására, ma pedig a számítástechnika alapja.
Ha a matematika emberi alkotás, akkor axioma renszerei is azok. Ezek közül egyeseknek nincs semmilyen gyakorlati haszna, mások többé-kevésbé használhatók. Hogy mennyire, azt az alaklmazás korlátai szabják meg. (Lásd Euklideszi és a Bólyai geometria)
Szerintem ezek egyáltalán nem axiómák, legalábbis ebben a formájukban. Olyan sok mindent mondasz a valós számokkal kapcsolatban, hogy a közös alap megkeresése érdekében szeretnélek megkérni, hogy menjünk egy kicsit még hátrább. Mit szólnál a természetes számokhoz? (1,2,3,...) Mit jelenthetünk ki ezekről biztosan, amit mindenki elfogad?
Egyébként is, ugye, Isten megteremtette az egész számokat, s minden más emberi alkotás. :)
Nos, a válaszaim a saját állításaimra (nem értem különben, miért kell általam egyébként AXIÓMÁNAK nevezett tényeket magyaráznom, hiszen az axióma éppen arra való, hogy kiindulásként fogadjuk el indoklás nélkül)
1. A valós számok halmaza intervallum.
2. Két valós számról eldönthető, hogy melyik a kisebb vagy nagyobb, hacsk nem egyenlőek.
3. A valós számok racionális vagy irracionális számok lehetnek.
4. Racionális szám nem egyenlő irracionális számmal.
5. A racionális számok megszámlálhatóan végtelen sokaságúak, hiszen pl. megadható olyan (végtelen) sorozat, amelyből egyetlen racionális szám sem hiányzik.
6. Az 5. pontból következően a racionális számok pontszerűen helyezkednek el a valós számok nagyság szerinti elrendezésében.
7. A racionális számok egymáshoz végtelenül (minden határon túl) közel vannak, mert pl. két racionális szám számtani közepe is racionális szám.
8. Az irracionális számok (amelyek megszámlálhatatlanul végtelen számosságúak) a 4. pont alapján különböznek a racionálisoktól, ezért csak azok között helyezkedhetnek el.
9. Két tetszőleges különböző racionális szám közé végtelen sok irracionális szám helyezhető el.
10. A 9. pont egymáshoz végtelenül (minden határon túl) közel álló racionális számpárra is igaz.
Konklúzió: A valós számok halmaza a pontszerű racionális számokból és a közöttük elhelyekedő irracionálisszám-intervallumokból áll össze, melyek együtt minden valós számot tartalmaznak, hiány és szakadás nélkül.
