Nincs szükség a "k,l,m páronként relatív prím" feltételre, ha az egységkockákat félig nyílt intervallumok szorzataként definiáljuk. Továbbá úgy látom, indukcióval hasonló képlet adható minden dimenzióban, és ez valószínűleg nem új eredmény. A háromdimenziós bizonyítást újraírom a rend kedvéért. A válasz
(kl+lm+mk+gcd(k,l)+gcd(l,m)+gcd(m,k)-4)/2.
A bizonyításhoz használni fogom az [n]={1,2,...,n} jelölést. Ha r és s pozitív egész, akkor az [r-1]x[s-1] halmazon az x/r+y/s<1 egyenlőtlenségnek ugyanannyi megoldása van, mint az x/r+y/s>1 egyenlőtlenségnek; ez következik az (x,y)->(r-x,s-y) involúcióból. Azt is könnyű meggondolni, hogy ugyanezen a halmazon az x/r+y/s=1 egyenlet megoldásszáma gcd(r,s)-1, tehát mindkét egyenlőtlenségnek
f(r,s) := ((r-1)(s-1)-gcd(r,s)+1)/2
megoldása van. Tekintsük most a téglatestünk egy egységkockáját, amit három darab balról zárt és jobbról nyílt intervallum szorzataként fogunk fel. Ennek csúcshalmaza {x-1,x}x{y-1,y}x{z-1,z} alakú, ahol (x,y,z) eleme [k]x[l]x[m]. A szóban forgó sík pontosan akkor metsz bele ebbe az egységkockába, ha
Tehát a kérdés az, hogy ennek az egyenlőtlenségnek hány megoldása van a [k]x[l]x[m] halmazon. Az egyenlőtlenség tagadását véve látjuk, hogy a megoldásszám
klm - #{(x,y,z) in [k]x[l]x[m]: x/k+y/l+z/m<=1} - #{(x,y,z) in [k]x[l]x[m]: (x-1)/k+(y-1)/l+(z-1)/m>1}.
Persze x/k+y/l+z/m<=1 esetén x<k, y<l, z<m, ezért a fenti kifejezés ugyanaz, mint
klm - #{(x,y,z) in [k-1]x[l-1]x[m-1]: x/k+y/l+z/m<=1} - #{(x,y,z) in [k]x[l]x[m]: (x-1)/k+(y-1)/l+(z-1)/m>1}.
Koncentráljunk most az (x-1)/k+(y-1)/l+(z-1)/m>1 megoldásszámára. Ebben az egyenlőtlenségben x, y, z közül legfeljebb egy lehet egyenlő 1-gyel. Ezért - és a fenti kétdimenziós számolás miatt - az olyan megoldások száma, ahol az x, y, z közül valamelyik egyenlő 1-gyel, éppen f(k,l)+f(l,m)+f(m,k). A többi megoldásban (x-1,y-1,z-1) egy pozitív egész számhármas, amit (x,y,z)-nek átnevezve végső soron azt kapjuk, hogy
#{(x,y,z) in [k]x[l]x[m]: (x-1)/k+(y-1)/l+(z-1)/m>1}
Most látom, hogy a kiindulási feltétel miatt a képletem egyszerűsíthető. Tehát még egyszer, összefoglalva: ha k,l,m páronként relatív prímek, akkor a válasz (kl+lm+mk-1)/2.
Ez a feladat egy haladóbb matematikai topikba való. Mindenesetre ha k,l,m páronként relatív prímek, akkor a válasz
(kl+lm+mk+gcd(k,l)+gcd(l,m)+gcd(m,k)-4)/2.
Az általános esethez lást az üzenet végén levő megjegyzést.
A bizonyításhoz használni fogom az [n]={1,2,...,n} jelölést. Ha r és s pozitív egész, akkor az [r-1]x[s-1] halmazon az x/r+y/s<1 egyenlőtlenségnek ugyanannyi megoldása van, mint az x/r+y/s>1 egyenlőtlenségnek; ez következik az (x,y)->(r-x,s-y) involúcióból. Azt is könnyű meggondolni, hogy ugyanezen a halmazon az x/r+y/s=1 egyenlet megoldásszáma gcd(r,s)-1, tehát mindkét egyenlőtlenségnek
f(r,s) := ((r-1)(s-1)-gcd(r,s)+1)/2
megoldása van. Tekintsük most a téglatestünk egy egységkockáját. Ennek csúcshalmaza {x-1,x}x{y-1,y}x{z-1,z} alakú, ahol (x,y,z) eleme [k]x[l]x[m]. A szóban forgó sík pontosan akkor metsz bele ebbe az egységkockába, ha
Tehát a kérdés az, hogy ennek az egyenlőtlenségnek hány megoldása van a [k]x[l]x[m] halmazon. A kiindulási feltétel miatt a bal és a jobb oldali összeg sosem 1, tehát a megoldásszám
klm - #{(x,y,z) in [k]x[l]x[m]: x/k+y/l+z/m<1} - #{(x,y,z) in [k]x[l]x[m]: (x-1)/k+(y-1)/l+(z-1)/m>1}.
Persze x/k+y/l+z/m<1 esetén x<k, y<l, z<m, ezért a fenti kifejezés ugyanaz, mint
klm - #{(x,y,z) in [k-1]x[l-1]x[m-1]: x/k+y/l+z/m<1} - #{(x,y,z) in [k]x[l]x[m]: (x-1)/k+(y-1)/l+(z-1)/m>1}.
Koncentráljunk most az (x-1)/k+(y-1)/l+(z-1)/m>1 megoldásszámára. Ebben az egyenlőtlenségben x, y, z közül legfeljebb egy lehet egyenlő 1-gyel. Ezért - és a fenti kétdimenziós számolás miatt - az olyan megoldások száma, ahol az x, y, z közül valamelyik egyenlő 1-gyel, éppen f(k,l)+f(l,m)+f(m,k). A többi megoldásban (x-1,y-1,z-1) egy pozitív egész számhármas, amit (x,y,z)-nek átnevezve végső soron azt kapjuk, hogy
#{(x,y,z) in [k]x[l]x[m]: (x-1)/k+(y-1)/l+(z-1)/m>1}
klm - #{(x,y,z) in [k-1]x[l-1]x[m-1]: x/k+y/l+z/m<1} - f(k,l) - f(l,m) - f(m,k) - #{(x,y,z) in [k-1]x[l-1]x[m-1]: x/k+y/l+z/m>1}.
Itt a két #{...} összege (k-1)(l-1)(m-1), tehát a végeredmény
klm - (k-1)(l-1)(m-1) - f(k,l) - f(l,m) - f(m,k).
Ez megegyezik azzal, amit az üzenet elején írtam. Ha k, l, m nem páronként relatív prím, akkor figyelembe kell venni az x/k+y/l+z/m=1 egyenlet megoldásait is a {0,1,...,k}x{0,1,...,l}x{0,1,...,m} halmazon.
Vurugya kérdezte Törzsasztal Logikai feladványokban pár hónapja:
k x l x m -es téglatestet rakok ki egységkockákból. Tekintsük azt a síkot, melyet e téglatest három csúcsa feszít ki. Hány egységkockába vág bele ez a sík?
(Kis magyarázkodás, ha a fenti esetleg nem tiszta: legyen ez a téglatest a térbeli derékszögű koordinátarendszerben, egyik csúcsa az origóban, innen induló élei az x,y,z tengelyeken, ebben az esetben pl. a (k,0,0),(0,l,0),(0,0,m) pontok által meghatározott síkkal vágunk.)
Született néhány részmegoldás, nekem meg az az érzésem, hogy a matematika nagy világában már rég megoldották, de nem találtam. Talán majd most itt...
Az biztos, hogy nem egy jól meghatározott feladat.
Lehet érvelni mindegyik modell mellett. Az egyik érv, hogy ha nem 7000 Ft/óra lenne, hanem 3500/fél óra, és az egyik fél órát hétfőn játsszák hárman, a másikat szerdán négyen, akkor fel sem merülne más, mint amit te írtál.
Egy variáció a második témára egy "all you can eat and drink" sör-virsli sátor. Belépő asztalonként és óránként 7000 Ft, egy asztalhoz max négyen ülhetnek és negyedóránként minden jelenlévő kap egy sört és egy virslit. Mondhatják, hogy fogyott 14 sör-virsli, akkor az 500 Ft / db, és kijön a félóránkénti ezres per kopf. (Ez így talán szemléletesebb, mint az előző hozzászólásban leírt, lényegileg hasonló érvem.)
Lehet azonban más megoldás is: azt is mondhatják, hogy a pályát négyen bérelték, és a csóka, aki csak fél órát volt ott, magára vessen, fizessen ő is annyit, mint a többiek, 7000/4-et. Ez bowling esetén talán fura, de ha mondjuk sípályára mennek, ahol akciósan 4 belépő együtt 7000 Ft, és egy órára érvényes, de valakinek fél óra után mennie kell, akkor a 7000/4 tűnik igazságosnak, hiszen mindenki külön csúszik, és esetleg nem is tudnak hárman arról, hogy a negyedik hamarabb távozott.
Mindegyik tekinthető igazságosnak szerintem, és biztos lehet még hasonló modelleket kreálni, aminek más a megoldása. Pont ezek miatt szerintem ez nem egy egyértelmű feladat, és mint ilyen nem tartozik a klasszikus matematika témakörébe. Mérnökként viszont izgalmasnak tartom, mert arra világít rá, hogy egy nem teljesen precízen meghatározott problémát hogyan modellezel.
Attól függ... Az egyik lehetséges számítási mód az az, amit leírtál. Ez azt tükrözi, hogy minél többen vannak a pályán, annál kevesebb tiszta játékidő jut egy emberre, így annál olcsóbb egy perc ottlét.
A másik lehetséges modell az, hogy aki kétszer annyi ideig volt ott, az fizessen kétszer annyit. Ehhez valami olyasmi lehet a magyarázat, hogy ott vagy a pályánál, jól érzed magad, drukkolsz a többieknek vagy a többiek ellen, időnként gurítasz is, és jól szórakozol a fél óra/óra teljes egészében, akkor is, amikor nem épp a te gurítasz. Ha nem vagytok túl sokan, ez is egy elfogadható megközelítés.
Az első fél órát hárman játszották, ezért erre az időre mindegyik 3500/3 forintot fizet. A második fél órát négyen játszották, ezért erre az időre mindegyik 3500/4 forintot fizet. Röviden: a második embernek van igaza.
Tegyük fel hogy hárman elmennek bowlingozni. A bowling óránként 7ezer forintba kerül. Hárman elkezdenek játszani. Pontosan fél óra után megérkezik egy barát játszani, így négyen folytatják a bowlingozást. A végén el szeretnék osztani a számlát. Az egyik ember szerint így kell számolni: 7000 = x + x + x + x/2 Ahol x 1 óra játékidőt jelent. Így 2000+2000+2000+1000 Ft-ot fizetnek a résztvevők.
a másik ember szerint 7000 = 3*1/6x + 4*1/8x alapján kell számolni, Így felfelé kerekítve 2042+2042+2042+875.
Nem számhalmazok, hiszen - ahogy mondtam - a ∞ és a -∞ nem szám.
azt a fogalomhalmazt értettem, amelynek elemei alef0, alef1, ...
Nincs olyan halmaz, aminek az összes alef (tehát az összes végtelen számosság) eleme. Ennek az az oka, hogy minden halmaznak van számossága, de minden kappa számossághoz megadható kappánál több végtelen számosság (vesszük a legfeljebb kappa számosságú alfa rendszámokat, majd a hozzájuk tartozó alef_alfa végtelen számosságokat).
A halmazelméletben azt mondjuk, hogy a rendszámok (és így a számosságok is) egy osztályt alkotnak (nem halmazt).
Igen, természetesen kreálhatók olyan halmazok, melyeknek elemei a véges számokon kívül a ∞ és a -∞ is, de ezek szerintem már nem számhalmazok (hanem pl. lehetséges határérték halmazok).
A "végtelenek halmaza" alatt azt a fogalomhalmazt értettem, amelynek elemei alef0, alef1, ... Ez matematikailag értelmesnek tűnik nekem, pl. lehet olyan feladat, melynek megoldását e halmaz, e halmaz részhalmazai adják.
A második bekezdésben "számosság" helyett mindenütt "rendszám" olvasandó. Sajnos túl gyorsan írtam.
A számosságok azok a rendszámok, amelyek nem ekvivalensek egy kisebb rendszámmal (tehát a rendszám bármelyik elemével). Pl. alef_0={0,1,2,...} egy számosság, mert egyrészt végtelen rendszám, másrészt a nála kisebb rendszámok (0,1,2,...) végesek. alef_1 a megszámlálható rendszámok halmaza, alef_2 a legfeljebb alef_1 számosságú rendszámok halmaza, stb. Általánosan, az alef-eket rekurzívan lehet definiálni a rendszámokon: ha alfa egy rendszám, akkor alef_alfa a legkisebb számosság, amely nagyobb az összes alef_beta-nál, ahol beta<alfa. Más szóval alef_alfa azon rendszámok halmaza, amelyek számossága vagy véges vagy alef_beta valamilyen beta<alfa rendszámra. Megmutatható, hogy az így kapott alef-ek pontosan a végtelen számosságok, tehát minden végtelen számosság alef_alfa, ahol alfa egy rendszám.
Ez így félreérthető. Helyesebb azt mondani, hogy a ∞ és a -∞ nem számok, hanem speciális szimbólumok, amiknek különféle jelentést lehet adni. Pl. a valós számokhoz hozzá lehet venni ezt a két szimbólumot azzal a megállapodással, hogy a kapott új halmaz legkisebb eleme a -∞, legnagyobb eleme a ∞.
Továbbá nincs olyan, hogy "a végtelenek halmaza". Van olyan, hogy végtelen halmaz, illetve ezen belül végtelen számosság. A véges számosságok a természetes számok (0,1,2,...), ezek halmaza pedig a legkisebb végtelen számosság (alef_0). Minden számosságot a nála kisebb számosságok alkotnak. Ez a véges számosságokra is igaz, pl. 5={0,1,2,3,4}. Lásd még https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number
