Ilyesmivel vitatkozó társaságban vetettem fel, hogy az is lehetne logaritmus alap? ...onnan jött a kérdés, hogy miért pont az e van kitüntetve. (a 10 az világos)
Fura, hogy a természetes logaritmus kapcsán szóba jött az aranymetszés, ugyanis utóbbinál "isteni arányt" emlegetnek - ami eleve mesterséges, hiszen kreált.:)
"Arról van szó, hogy a sokféle logaritmus között az ln(x) a legtermészetesebb."
Abban igaza van pk1-nek, hogy nincs precízen definiálva a "természetesség mértéke", így lehet azt mondani, hogy "ez természetesebb, mint az", vagy hogy "ez a legtermészetesebb", és persze értjük azt is, hogy miért mondod ezt, de ez akkor sem egy egzakt dolog. Nem is baj amúgy.
A "természetes" szót köznapi értelemben használtam. Matematikusként az ln(x)-et nagyon természetes függvénynek tartom, ahogyan az egyenest vagy a kört nagyon természetes görbének.
A "barátságos számpár" egy műszó, ugyanúgy hívhatnánk "érdekes számpár"-nak vagy "meglepő számpár"-nak is. Ezeknek a jelzőknek nincs semmi jelentősége. A "tökéletes szám" elnevezés érthető az ókori görög matematika szemszögéből, de mára ennek sincs semmi jelentősége. A "természetes logaritmus" más kategória. Arról van szó, hogy a sokféle logaritmus között az ln(x) a legtermészetesebb. Hasonlóan, ahogyan az Rn-en a legtermészetesebb Haar-mérték a Lebesgue-mérték. Persze van olyan, hogy egy struktúrán két természetes mennyiség csak egy konstans szorzóban tér el egymástól: ilyenkor a konstans maga nagyon érdekes és természetes (pl. így lehet absztraktan származtatni a pi-t az egységkörből).
Ha ez definíció egy matekkönyvben, akkor természetesen elfogadom. De akkor máshol is alkalmazni kéne, mint pl. "a négyzet az természetes téglalap", stb. Itt bizony humanióra tette be a lábát a matematikába. Ennyi. Legközelebb a barátságos számok barátságosságát fogom kifogásolni. :o)
A természetes logaritmus (és inverze) semmivel sem természetesebb a többi logaritmusnál
De, sokkal természetesebb. Ahogyan a sin(x) is természetesebb a 7.683*sin(x)-nél.
bár bizonyos szempontokból kitüntetett függvények ezek
Igen, ezt értjük a természetesség alatt. Az se véletlen, hogy eix=cos(x)+isin(x), tehát a természetes szögfüggvények szorosan összefüggnek a természetes exponenciális függvénnyel.
Az exp(x) természetességét még jobban át lehet érezni, ha tágabb kontextusba helyezzük: link1, link2.
Azt jelenti, hogy több helyen előjön, több helyen jelen van, mint az aranymetszés száma.
Mondom gyakorlatiasabban: az e ismerete nélkül nem tudsz matematikus (vagy matematika tanári) diplomát szerezni, míg az aranymetszés számának ismerete nélkül igen. Az utóbbi is fontos szám, különösen a számelméletben, de nem olyan univerzális, mint az e (vagy a pi).
Sokszor, meglepő területeken előjön. Olyan dolgokban, amiről azt gondolnánk, semmi közös nincs bennük. És mégis, ugyanazok a konstansok megjelennek, e, pi. Pl. prímek, Euler képlet stb.
A természetes logaritmus (és inverze) semmivel sem természetesebb a többi logaritmusnál (ill. inverzénél), bár bizonyos szempontokból kitüntetett függvények ezek. A sin(x)-re sem mondjuk azt, hogy "természetes szinusz". A matematika egzakt, a nevezéktana és jelölésrendszere már nem.
A természetben rengeteg olyan folyamat van, ahol a megváltozás a mennyiséggel egyenesen arányos, melyet ezért valami ilyen jellegű egyenlőség ír le: df/dx = k*f(x), miközben f(0) = c, ez is oka lehet, hogy az e^x függvény lépten-nyomon felbukkan.
Az e-t szokás úgy definiálni, hogy az (1+1/n)n limesze, amint n tart a végtelenhez. Ez ekvivalens azzal, amit a 16665-ben mondtam az ln(1+h) viselkedéséről. Az aranymetszés száma érdekes, de az e még érdekesebb (vagy még univerzálisabb).
* ... Bármely a pozitív valós szám természetes logaritmusa definiálható az f(x)=1/x (x>0) függvény görbe alatti területeként (integráljaként) az [1,a] intervallumon. Ennek a definíciónak egyszerűsége vezet a “természetes” jelzőhöz. ...*
Igazából az e-t a logaritmuson keresztül fedezték fel. Tehát történetileg előbb volt az ln(x), mint az exp(x). Lásd itt.
A számológépek megjelenése előtt a logaritmustáblázatokat a mindennapi életben is használták, ezeket pedig nem volt könnyű elkészíteni. A természetes logaritmus azért kényelmes, mert kis h-ra az ln(1+h) jó közelítéssel h. Valójában ln(1+h)=h-h2/2+h3/3-h4/4+-..., ha -1<h<=1.
A kérdés inkább az, hogy miért jó az e^x. Mert az ln annak az inverze. Amúgy a kérdés jó. Az e^x pedig elég sok helyen előjön, mondjuk pl. ez az egyetlen függvény, aminek a deriváltja önmaga. Na jó, c*e^x.
542 v 543 amit helyesnek vélek. Feltehtőleg ünnepek is voltak meg egyéb dolgok miatt nem egyenletesen jöttek a részek, ezekkel nem számoltunk, tehát csak nagyjából kaptál ezzel választ.
De lehet hogy pk1 546-ja a jó. Nagyjából ugyanott van, az nem tudom hogy jön ki. Biztos választ ennyi információból nem fogsz kapni, csak becslést.
