Azért annyira erős ZFC, hogy lehessen benne bizonyítani formulák ZFC-függetlenségét. De szerintem megvan, hogy miért nem lehet definiálni a legkisebb ZFC-ben nem definiálható rendszámot. Mert a definiálhatóság nem egy eldönthető fogalom,csomó független definíció van. És így egy konkrét rendszám definiálhatósága is lehetZFC független. Vagy egy definíció is definiálhat több rendszámot is, pl. aleph0 es c közötti rendszámok számossága akármi lehet.
Rendszámokról csak axiomatikus keretek között beszélhetünk. Én úgy értettem a halandzsát, hogy az axiomatikus kereteken kívül (pl. a metanyelvben vagy a köznyelvben) nincs értelme a legkisebb ZFC-ben nem definiálható rendszámnak. A ZFC-n belül természetesen beszélhetsz erről a fogalomról, de a metanyelvi "ZFC-n belüli definiálhatóság" nem azonos annak ZFC-ben formalizált változatával. Általában is baj van egy axiómarendszerrel, ha annak kereteid feszegeted. A ZFC-t úgy kell felfogni, mint egy konkrét célokra felállított rendszert: hogy jól tudjunk analízist, topológiát, algebrát stb. csinálni Arra nem jó a ZFC, hogy az ellentmondásmentességét igazolja, vagy hogy megértse, mit tud definiálni és mit nem.
Beszélhetünk halmazmodellekről is. Ekkor a halmazelmélet keretében formálisan beszélhetünk az összes halmazok halmazáról is, vagyis axiomatikus keretek között beszélhetünk akár rendszámokról is. Tehát ezzel nem győztél meg, hogy a fogalom halandzsa.
Hadd fejtsem ki jobban. Egy konkrét "definiálható rendszám" értelmes fogalom a metanyelv szintjén is, azzal nincs baj. Egyike a sok lehetséges definíciónknak, fogalmunknak, szavunknak. A baj ott kezdődik, amikor a többi rendszám összességéről beszélünk naivan, és azok közül kiszemeljük a legkisebbet. Ennek ui. csak akkor van értelme, ha már tudunk beszélni a rendszámok összességéről, és tudjuk, hogy azok bármilyen nemüres halmazában van legkisebb. Ehhez már kell a ZFC vagy valami hasonló. Én nem tudok beszélni a rendszámokról "csak úgy", axiómák nélkül. A természetes szám fogalma más számomra, de csak azért, mert konkrétan tudok természetes számokat modellezni a való életben (kavicshalmaz stb.).
Szubjektív, hogy mi a bonyolult. De igen, egy gödeli mondatról van szó, pontosabban a példámban "minden n-re F(n)" egy gödeli mondat a példámban, feltéve hogy ZFC konzisztens és omega-konzisztens.
"metabizonyítás" adható arra
Szerintem metabizonyítások nem léteznek, legfeljebb "metaérvek", filozofikus érvek, vagy érzések. Minden bizonyítás axiómákat használ és persze formalizálható a ZFC-ben (akkor is, ha nem ZFC-beli bizonyításról van szó).
másrészt a meta ZFC-ben eldönthető
Nem ismerek "meta ZFC"-t.
Tehát a formula igazsága végeredményben ZFC1-ben nem eldönthető, és ZFC2-ben eldönthető.
Nem ismerek ZFC1-et meg ZFC2-t. Van a ZFC és kész.
ugye ZFC-ben akkor végülis megfogalmazható-e, és van-e értelme annak, hogy "a legkisebb, ZFC-ben nem definiálható rendszám"
Nem világos, mit értesz megfogalmazáson meg értelmen. Számomra "a legkisebb, ZFC-ben nem definiálható rendszám" nem létezik. Szerintem ez egy értelmetlen fogalom (halandzsa). Persze ha veszel egy másfajta halmazelméletet és ott definiálod a "rendszám" és a "ZFC-beli definiálhatóság" fogalmát, ott már értelme lehet ennek a fogalomnak. De persze ebben a másfajta halmazelméletben egészen mást fog jelenteni a rendszám, mint a ZFC-ben. Illetve a ZFC-ben is megcsinálhatod ezt, de csak egy furcsán definiálható rendszámot fogsz kapni, semmi többet.
És F az melyik állítás? Vagy bonyolult, mint pl. a gödeli mondatok?
Az eredeti kérdésem meg arra irányult, hogy "metabizonyítás" adható arra, hogy valamelyik formula hamis, de ekkor ez a bizonyítás formalizálható-e ZFC keretein belül. Mert ha igen, akkor van olyan formula, aminek az igazsága ZFC-ben nem eldönthető (mint ahogyan azt bizonyítani lehetett az érvelésben), másrészt a meta ZFC-ben eldönthető, hogy az a formula hamis (mint ahogyan azt bizonyítani lehet a metaérveléssel). Tehát a formula igazsága végeredményben ZFC1-ben nem eldönthető, és ZFC2-ben eldönthető.
Ugyanígy még engem érdekelne, hogy ugye ZFC-ben akkor végülis megfogalmazható-e, és van-e értelme annak, hogy "a legkisebb, ZFC-ben nem definiálható rendszám". Szerintem kicsit hasonló a két probléma.
meta ZFC-ről én nem tudok. A példámban bármely F(n) igazsága levezethető ZFC-ben. Persze itt a "bármely n" egy metanyelvi kifejezés és nem azonos a ZFC-beli megfelelőjével "minden n-re stb."
Nem is mondtam, hogy tétel lenne, csak hogy biztos van egy szigorú szintaktikai "levezetése" annak a bizonyos metaérvelésnek, mert ha nem lenne, akkor nem lenne igaz a Church tézis (ami ilyen szempontból egy naiv természetes nyelven megfogalmazott matematikai tételnek is tekinthető). De mivel nem tudom, hogy konkrétan hogy is néz ki formálisan egy ilyen "levezetés", ezért nem tudom, hogy ZFC-ben bizonyítható-e, vagy hogyan formalizálható. Erre kérdeztem rá, hogy lehet-e az állítás ZFC tétel. (csak elfelejtettem hirtelen, hogy melyik állítás, de az a metás behelyettesítős)
A Church-Turing tézis nem egy matematikai tétel, hanem egy gyakorlatias állítás arról, hogy mit értsünk algoritmuson. A bizonyítás, algoritmus stb. fogalmakat használhatod a metanyelvben, illetve formalizálhatod a ZFC-ben. Amint a ZFC-ben formalizálsz, kicsit megváltoztatod a dolgok köznapi vagy metanyelvi jelentését. Pl. van olyan F(n) számelméleti formula, hogy ZFC tudja bizonyítani F(0), F(1), F(2), stb. mindegyikét, de még sem tudja bizonyítani azt, hogy "minden n-re F(n)". Persze hozzáveheted a ZFC-hez azt, hogy "minden n-re F(n)", és akkor máris tudja bizonyítani. Ez mutatja, hogy a köznapi természetes szám fogalmát a ZFC nem tudja teljesen adekvátan visszaadni, de persze adott célra mindig bővíthetjük a ZFC-t. elsőszülött arról írt, hogy egy konkrét metanyelvi állítást hogy lehet jól formalizálni a ZFC egy bővített változatában.
Már csak azért, mert a Church-Turing tézis szerint minden algoritmus (érvelés?) modellezhető pl. Turing géppel. De akkor a metabizonyítás is modellezhető Turing géppel, ami viszont ZFC-ben bizonyítható. Vagy akkor most mi van?
Gondoltam egy számot, a 0;1 és 2 közül valamelyiket. Feltehetsz egy eldöntendő kérdést, amire igennel vagy nemmel válaszolhatok a legjobb tudásom szerint. Vajon melyik számra gondoltam?
Másik megoldás: Azt kérdezem, hogy :"Gondoltam egy számot 0.5 és 1.5 között. Ebből a számból az általad gondolt számot kivonva pozitív számot kapunk?"
Ez volt a kérdező megoldása. Ez már kielégíthet minden igényt.
Eszembejutott újra az a régebbi felvetésed, hogy ha egy Sigma_1 formuláról belátjuk, hogy eldönthetetlen ZFC-ben, akkor az "metabizonyítás" arra, hogy nem igaz. (pl konkrét Turing-gép megállása, páratlan tökéletes szám létezése stb)
Ha a ki akarod kerülni a sashimi által helytelenített metabizonyítás fogalmát, akkor szerintem lehet mondani pl a következőt:
Legyen phi tetszőleges Sigma_1 formula, tegyük fel, hogy ZFC bizonyítja, hogy phi eldönthetetlen. Ha phi igaz, akkor mivel Sigma_1 bizonyítható is ZFC-ben, sőt bizonyítható ZFC-ben, hogy bizonyítható ZFC-ben. Ekkor azonban az is bizonyítható ZFC-ben, hogy ZFC nem konzisztens.
Így például a ZFC+(ZFC omegakonzisztens) elmélet már bizonyítja phi-t.
A phi formula az azt mondja, hogy "minden x-re, ha x Gödel-száma egy formulának és T+phi bizonyítja, hogy x bizonyítható T+phi-ből, akkor x bizonyítható T+phi-ből"
Nem teljesen triviális, hogy hogyan kell csinálni ilyen formulát, hiszen önmagára hivatkozik. A fixpont lemmához hasonló trükkel ez kivitelezhető. A relatív konzisztenciát meg lényegében ingyen kapjuk, hiszen ha keletkezne ellentmondás, akkor T bizonyítaná, hogy van x formula, amit T+phi nem bizonyít, így speciálisan saját konzisztenciáját is bizonyítaná.
Ha nem nehéz és nem hosszú, akkor érdekel. Persze az ünnepek miatt nem ígérek gyors reakciót. Amúgy a dolog súlyát nem tudom megítélni, de tetszetős az állítás.
Igen, a konkrét technikai megoldások mindenütt kicsit mások.
nem tudom, hogy mi az, hogy Gödel-számozást megvalósító elmélet
Nem precíz a fenti, helyette azt szokták mondani, hogy olyan elmélet, amiben a Peano-aritmetika interpretálható. (Igazából PA-nál gyengébbet szokás mondani.)
Elegánsabb volna egy olyan bővítés ahol T'|--phi bizonyíthatósága esetén phi is bizonyítható, ezzel azonban van egy kis baj. Ha T konzisztens, de bizonyítja magáról, hogy nem az, akkor minden bővtése is ilyen, tehát nem marad konzisztens a fenti tulajdonságú bővítés után. Omega-konzisztens T-vel indulva ez a probléma nem állhat fenn.
Nem nekem szólt a kérdés, de engem érdekel. Mondjuk nem tudom, hogy mi az, hogy Gödel-számozást megvalósító elmélet. Én csak két magyar nyelvű könyvet tudok, amiben van ilyenről szó, (az ELTEs jegyzetet nem olvastam), de mindkettő különbözőképp definiálja.
Ha T konzisztens (Gödel-számozást megvalósító) elmélet, akkor van hozzá egy phi formula, hogy T':=T+phi elmélet is konzisztens és ha T' valamely psi formulára bizonyítja a T'|--(T'|--psi) formulát, akkor a T'|--psi formulát is.
Az motiválta a dolgot, hogy ne legyen olyan, hogy: ZFC bizonyítja, hogy ZFC bizonyítja, hogy ZFC bizonyítja...
Ezt rosszul írtam; egy nem-tranzitív osztálymodellben, amely nem tartalmaz minden rendszámot, ez lehet.
Másrészt akkor kappa abban a másik osztálymodellben már nem létezik, hiszen egy rendszám elemei rendszámok, és ha kappa elemei pont azok az M osztálymodellben, mint V-ben, akkor persze ugyanakkora, míg ha nem, akkor többé már nem létezik, hiszen egy halmazt az elemei determinálnak (extenzionalitás).
A pontatlanságokért önkritikát gyakorolok.
Egy hibát, végső soron, javítani szoktam, de ez akkor is nagyon nehezen követhetővé teszi az írásaimat. Itt a fórumon, sajnos, nem lehet utólag szerkeszteni.
Azért az is fontos, hogy ZFC-től lehet független a rendszám nagysága akkor is, ha alatta van minden V-beli rendszám. Például, az L (a konstruktív hierarchia) minden V-beli rendszámot tartalmaz, ennek ellenére ZFC-vel konzisztens, hogy az L-beli omega_1 a V-belivel egybeesik, de az is, hogy megszámlálható.
akkor nincs olyan ZFC-osztálymodell, amelyben kappa kisebb, mint V-ben, azaz Aleph-indexe kisebb.
Ezt rosszul írtam; egy nem-tranzitív osztálymodellben, amely nem tartalmaz minden rendszámot, ez lehet. V azonban minden lehetséges objektumot tartalmaz, kappa így, ezen a filozófiai módon lesz "igazi".
Egyébként pont ez az amit nem értek, hogy ha van egy végső V univerzum, akkor az miért osztály? Nem lehet, hogy mondjuk osztályok is az elemei?
De lehet; ilyen például a Morse-Kelley osztályelmélet, de a valódi osztályokat még tovább iterálhatjuk.
Ha V a végső univerzum, miért ne létezhetne {V}? Vagy {{{V}}}?
Az ún. univerzális halmazelméletekben az Univerzum halmaz, és ekkor általában {V} eleme V.
Ez kontraintuitív szerintem. Ráadásul ekkor vannak (mindig) kisebb osztályok, amelyek nem halmazok.
A minden matematikai létező feltevése nem vezet ellentmondásra?
Arra vezethet. Az elméletépítőnek azonban van egy lehetősége, éspedig korlátozni a létezést, vagy értelmezni azt. NBG-ben a kvantifikáció csak halmazokon hat, a Morse-Kelley-ben már nem, de valódi osztály nem lehet elem.
Hasonló a probléma V generikus bővítéseinél. Jech azt javasolja, hogy V[G]-V elemei legyenek "imagináriusok", bevezetve ezzel egy gyengébb, metafizikai létezésfogalmat, azért, hogy a mindenen kívül ne lehessen más.
A létezést V elméletének intuitív létezése is korlátozza. V-ben (és a valódi osztálymodellekben) vagy van elérhetetlen számosság, vagy nincs. És ha nincs, akkor csak olyasféle dolgok vannak, mint az elérhetetlen számosság, ti. azokban a ZFC-halmazmodellekben, amelyekben igaz a létezése - igazi elérhetetlen számosság nincs, hiába konzisztens esetleg.
Ez ellentmond a matematika gyakorlati metafizikájának, amely szerint a konzisztencia implikálja a létezést.
