Lehet, de ez szerintem nem triviális. Ha nem távolságtartó a leképezés, akkor a geodetikusokat nem kell geodetikusba (egyenesbe) vinnie (ha viszont az, akkor a geodetikus definíciójából látszik, hogy igen). Görbe vonalakkal pedig meg lehet rajzolni négy darab 120 fokos szögű valamit.
Most látom, hogy távolságtartó térkép tényleg nem létezhet, hiszen annak egyrészt geidetikust egyenesbe kéne vinnie, tehát a földgömb hosszúsági köreit is, viszont két szomszédos hosszúsági kör az egyenlítőből kiindulva mindkét irányban közeledik egymáshoz, ilyen egyenespárt viszont nem lehet a síkban rajzolni.
Egyébként ezt az egész távolságtartó/szögtartó/területtartó dolgot azért mondtam, mert a minap az egyik rádióban egy találós kérdést adtak fel, hogy milyen típusú térképek léteznek, és erre ez volt a nyerő válasz. Most akkor hogy van ez?
Úgy látszik, ezt senki nem olvasta el, de jól is tette, mert jó nagy marhaságokat sikerült beleírnom. Szóval annyi igaz, hogy a görbült tér ... nyújtás, szakítás és összeragasztás nélkül nem formálható eukludeszivé, de az már nem, hogy az ilyen leképezést neveznék homeomorfnak. A homeomorfizmus folytonos, és kölcsönösen egyértelmű leképezést jelent, tehát szakítás és összerahasztás tényleg nem lehet benne, de nyújtás természetesen igen.
Valószínűleg távolságtartó leképezést kellett volna mondanom helyette, és persze akkor az sem igaz, hogy létezik távolságtartó térkép. Most már abban sem vagyok biztos, hogy szögtartó létezik. Területtartó az biztos, több féle is.
Akkkor én egy nagyon pontos hasonlatot mondok. A newtoni mechanika Lagrange-féle megfogalmazása pontosan olyan, mint az ált. rel. (még a matematikai eszköztáruk is azonos): A mechanikai rendszer úgy mozog, hogy a fázistérben leírt fázisgörbére számolt "hatás" minimális legyen (legkisebb hatás elve). A hatás ugyanolyan dolog, mint az ívhossz: egy függvénynek, jelen esetben a Lagrange-függvénynek a görbe menti integrálja. A Lagrenge függvény a rendszer kinetikus és potenciális energiájának a különbsége. Mind a kinetikus, mind pedig a potenciális energia (így a Lagrange-függvény is) a a rendszert leíró koordinátáktól és sebességtől függ.
A rendszer koordinátáit és sebességeit ilyen módon meghatározó Lagrange-függvény tehát a rendszert leíró koordinátáktól és sebességtől függ.
Igen, az említett esetekben a hőmérséklet helyfüggésének kialakulásában szerepe van pl. a gravitációnak, ez megint egy külső szereplő, tehát a kör nem zárt, mint az ált.rel. esetében.
Igen, de itt is van egy külső, független tényező, a gravitációs tér. Ha egy üres (newtoni) térbe beteszel két tömegpontot, el tudod kezdeni a számítást, még ha a végén rekurzív is lesz a programod. Én viszont nem látom, hogyan megy ez az ált-rel.ben. Addig nincs is értelme térről beszélni, míg oda nem teszem a két tömegpontot. Addig a távolságukat sem tudom, míg nem ismerem a tér szerkezetét és görbületét. Azt meg addig nem tudom meg, amíg ki nem számolom. Szóval én úgy látom ebben az esetben el sem tudom kezdeni a számítást. Az viszont tény, hogy még soha sem próbálkoztam ált-rel. egyenletek megoldásával, lehet, hogy rosszul látom a kérdést. És az is lehet, hogy a világ éppen ilyen, és saját maga húzza ki saját magát a semmiből, és ezért más nem is lehet, mint önhivatkozó...
"A példa majdnem jó, jó akkor lesz, ha megmondod, hogyan függ a hőmérséklet a helytől?"
Mivel írtam példaképpen a merülőforralót meg a hűtőgépet, nem értem hogy mit nem értesz...
Nem értem, hogy mi a baj azzal, hogy a dolgok 'kölcsönösen függenek' egymástól, illetve hogy a modellekben az ok-okozat grás nem körmentes.
A Newtoni mechanika is ilyen. (Ha nem így lenne nem vezetnének a progblémák diffegyenletekre...)
Egyszer írtam bolygók mozgását szimuláló programot:
A gravitációs erők függtek a bolygók elhelyezkedésétől és a tömegüktől. A gyorsulások a tömegektöl és az erőktől. A sebességek a gyorsulásoktól, az elhelyezkedések a sebességektől, goto eleje.
Ha már a fizikai mennyiségek kölcsönös összefüggése is a szemléleted ellen való, akkor persze nem csoda, hogy a relativitáselméletet nehezen fogadja el a szemléleted.
A példa majdnem jó, jó akkor lesz, ha megmondod, hogyan függ a hőmérséklet a helytől? Valamint, én úgy tudom, a hőmérséklet az maga a sebesség. Minél gyorsabban mozognak egy gáz részecskéi, annál nagyobb a hőmérséklet. A kettő tehát ugyanaz... (vagy legalábbis arányos egymással). Sőt, egy részecske hőmérsékletéről nem is nagyon van értelme beszélni, így az analógia nem pontos...
A példa érdekes, de az a gond vele, hogy van benne egy külső tényező, a gravitáció. Így az egymásrahatási lánc nem zárt, mint amilyen az ált.rel.-ben (és ahogy leírtam).
Egyébként arra gondoltam, hogy az ált-rel. egyenleteinek megoldásakor azért jönnek elő a táguló és összeomló megoldások, mert az egész egy merő önhivatkozás, emiatt nem is jöhet ki belőle más, mint a két szélsőséges "katasztrófa-helyzet". Persze ennek bizonyítása túl megy a képességeimen, előbb ki kellene fejlesztenem az önhivatkozó rendszerek elméletét... :-)
Természetesen a végén a 'maximális' és 'minimális' jelzőket pont fordítva írtam.
Helyesen:
Euklídeszi térben csak minimális hossz létezik, Minkowski-ban csak maximális . Hogy az ált. rel. Riemann-terében lehet-e mindkettő, vagy ott is csak a maximális , azt nem tudom, de ha van valaki, aki otthon van a témában, az remélem, elárulja nekünk. S
A fogalmak, amelyek a görbült téridő fogalmának pontos megértéséhez szükségesek, és egymásra épülnek (a teljesség igénye nélkül):
halmaz
környezet
nyílt halmaz
Hausdorff-tér
differenciélható sokaság
deriváció
görbe
érintő
vektortér
lineáris forma
skalárszorzat
norma
euklideszi tér
duális tér
érintőrér
koérintőtér
vektormező
multilineáris forma
tenzor
tenzormező
külső deriválás
párhuzamos eltolás
kovariáns deriválás
metrikus alaptenzor
ívhossz
Riemann-tér
geodetikus
komuutátor
Lie-csoport
Lie-algebra
Riemann-féle görbületi tenzor
homeomorfizmus
téridő
görbült téridő
De ha egy szokásos fél-válasszal is beéred: az hogy egy tér (pl. a gömb felülete, vagy a téridő) görbült, az azt jelenti, hogy ha egy érintővektort párhuzamos eltolással körbetolsz egy zárt görbe mentén, akkor a vektor nem az eredeti helyzetébe jut vissza, hanem valamennyire elfordul (próbáld ki például az asztal lapján, illetve egy földgömbön az első nem görbült, a második igen).
Meg azt is jelenti, hogy a görbült tér homeomorf módon (vagyis nyújtás, szakítás és összeragasztás nélkül) nem formálható eukludeszivé. Pl. a gömbfelszín ilyen: egy földgömbről a térképet lehántva nem tudod nyújtás, vagy szakítás nélkül az asztalra teríteni. Ezért van az, hogy egy térkép soha sem lehet teljesen pontos: vagy a szögeket, vagy a távolságokat, vagy a területeket tartja meg, de a három közül csak az egyiket tudja.
A másik kérdésedre válaszolva: Igen, mindegy, hogy maximális, vagy minimális az ívhossz. Euklídesz térben csak maximális hossz létezik, Minkowski-ban csak minimális. Hogy az ált. rel. Riemann-terében lehet-e mindkettő, vagy ott is csak a minimális, azt nem tudom, de ha van valaki, aki otthon van a témában, az remélem, elárulja nekünk.
"Nem tudom, melyik két definícióra gondoltál, a geodetikusra, és az extrémálisra? Az extrémális csak annyit jelent, hogy az összes lehetséges közül a leghosszabb, vagy legrövidebb."
Igen , meg előtte a görbült téridő - geodetikus fogalmakra.
"Vannak speciális esetek, amikor eltűnik egy csomó tagja az egyenletnek, de ez nem kiterjeszthető."
Az asztalon lévő monitor elég speciális helyzet? Nyugalomban van hozzám és a Földhöz képest is, és nyomja az asztalt, amit egy elektrosztatikus taszítóerő kompenzál. Vagy olyan sincs?
Azért ettől többet is kellene írjon, hogy a pontos viselkedést szavakkal is le lehessen írni.
Ha szavakkal le lehetne írni a világ pontos viselkedését, akkor nem lenne szükség a matematikai modellre, vagyis a fizika tudományára.
Egyik definicó használ egy másikat, ez nem túl szerencsés.
Nem tudom, melyik két definícióra gondoltál, a geodetikusra, és az extrémálisra? Az extrémális csak annyit jelent, hogy az összes lehetséges közül a leghosszabb, vagy legrövidebb.
Azért ettől többet is kellene írjon, hogy a pontos viselkedést szavakkal is le lehessen írni. Egyik definicó használ egy másikat, ez nem túl szerencsés.
Elég sokan nem tudnak olyan bonyolult számításokat elvégezni, ami egy egyszerű folyamathoz kellhet, de azért megértenének néhány jól definiált fogalmat és összefüggést.
Ki kell ábrándítsalak, ez nem megy. Az altrel tökéletesen definiált modell, de nem lehet néhány egyszerű szóban úgy leírni, hogy aztán tetszőleges feladatot középiskolás matematikával meg lehessen oldani. Nem véletlen, hogy csak metaforákat írnak az ismeretterjesztő könyvek. Az ember nem látja át közvetlenül, mankót használ, és ez a mankó a matematika. Ha valamit az energia_impulzus tenzor jellemez, akkor az nem tudod egyetlen számmal helyettesíteni.
Az, hogy lehet nagyon speciális eseteket találni, ahol valamit közvetlenül ki lehet számolni, nem jelenti, hogy ez általában is igaz. Vannak speciális esetek, amikor eltűnik egy csomó tagja az egyenletnek, de ez nem kiterjeszthető. Pl. megforgatod, akkor nem az lesz, hogy az egy szem konstansod lesz más értékű, hanem belép egy csomó másik paraméter, amiről sose hallottál, és hirtelen fontossá válik. Addig csak azéert nem kellett, mert direkt kerestek neked egy egyszerű példát, ahol azok mind kiestek.
"Bárki bármit írt, az igazság az, hogy az ált. rel modellje a gravitácót úgy írja le, hogy a testek a görbült téridőben geodetikusok mentén mozognak. Ha akarod, interpretálhatod ezt egyenesnek, egyenesvonalúnak, bárhogy, de a geodetikus definíciójában csak annyi szerepel, hogy ő két pont között extrémális ívhosszú görbe. Ez a hivatalos álláspont. A többi csak rizsa."
Azért ettől többet is kellene írjon, hogy a pontos viselkedést szavakkal is le lehessen írni. Egyik definicó használ egy másikat, ez nem túl szerencsés.
Elég sokan nem tudnak olyan bonyolult számításokat elvégezni, ami egy egyszerű folyamathoz kellhet, de azért megértenének néhány jól definiált fogalmat és összefüggést.
Ha az elektrosztatikában nem is, de az elektrodinamikában épp az van, amit írtál (sőt, az elektron még saját magára is hat, de ezt inkább ne kavarjuk bele).
De, mint a többiek jelezték, ez teljesen normális dolog. A fizik alapvető fogalma a kölcsönhatás. A ló húzza a kocsit, a kocsi meg a lovat.
"Egy kifeszített gumilepedőre találomra ráteszünk pár golyót. "
Ezt a példát olvastam egy párszor. Nem kis hülyeség...
A valóságban a térben nincs rugalmasság mint a gumiban, és nincs egy lefelé ható erő.
Izé, merre van a lefele?
A Naprendszerben miért az eliptika síkjában van a "gumilepedő"?
a testek a görbült téridőben egyenletesen mozognak
Bárki bármit írt, az igazság az, hogy az ált. rel modellje a gravitácót úgy írja le, hogy a testek a görbült téridőben geodetikusok mentén mozognak. Ha akarod, interpretálhatod ezt egyenesnek, egyenesvonalúnak, bárhogy, de a geodetikus definíciójában csak annyi szerepel, hogy ő két pont között extrémális ívhosszú görbe. Ez a hivatalos álláspont. A többi csak rizsa.
Visszakereshetnék, hogy ki és hogyan írta, de az volt a lényege, hogy gravitációs erő nem hat a testekre, és ettől függetlenül a testek a görbült téridőben egyenletesen mozognak. Ha mégsem így lenne (amit persze én is gondolok), akkor szeretném tudni, mi a hivatalos álláspont.
Az meg végképp magas, hogy a tömegek elhelyezkedése és hagysága okozza a görbületet, ami meghatározza a mozgásukat, ami meghatározza az elhelyezkedésüket, ami meghatározza a görbületet, és így tovább, vég nélkül, és az egész olyan mint a saját farkába harapó, majd magát felfaló kígyó.
Vehetünk egy teljesen newtoni analógiát. Egy kifeszített gumilepedőre találomra ráteszünk pár golyót. Erre az elrendezésre pont ugyanezt elmondhatod. Nincs benne semmi meglepő, mindre hat a gumi görbülete, mind mozog, mind befolyázolja a gumi görbületét. Lehet, hogy nem egy kéjmámor ki is számolni, de csoda az nincs benne... :-)
Mondok hasonló képtelenséget: a részecske helye függ a sebességétől, a sebessége a hőmérséklettől, a hőmérséklet a helytől... még ezek után mondja azt valaki, hogy létezhet hűtőgép vagy merülőforraló...
Nekem ebben az a magas, hogy nem értem, mások miért hiszik azt, hogy ezzel megmagyaráznak valamit is. Mondjuk mit szólnál egy ilyen elektrosztatikához: a töltések és a távolságok megszabják az erőket, az erők a gyorsulásokat, a gyorsulások a mozgásokat, a mozgások a távolságokat, a távolságok a töltéseket (!!!), és így tovább. Minden körkörös függésben van mindentől, ez olyan, mintha a léggömb fel tudná fújni önmagát...
Melyik sebesség az, ami állandó a téridőben mondjuk egy számomra 10m magasról leejtett testnél?
Ki beszélt itt állandó sebességről? Már megint valamilyen nemrelativisztikusan, ill. spec. relativisztikusan speciálisan igaz dolgot akarsz ráerőszakolni az ált. rel. modellre. Szó sincs ott állandó sebességről. Geodetikusról van szó, ami nem állandó sebességet, meg nem is elforgatássalegymásbavihetőséget, meg tudj isten még mit nem, hanem két pont közözz extrémális ívhosszat jelent.
Ez így érthető lenne, ha mennyiségileg nem lenne ekkora különbség a sebességekhez tartozó pályák tulajdonságai és az ahhoz tartozó kisérletileg tesztelhető téridő-mérések között. Mert rendben van, hogy egy magasabbról leejtett test az euklédeszi térben két magasságpont között gyorsabban mozog, mint az alacsonyabbról leejtett, de azt már számszerűen nem látom igazolva, hogy ezekhez a sebességekhez olyan nagy időkülönbségek tartoznának(se gravitációs se sebességtől függő értelemben), hogy az magyarázzon egy ekkora változást. Melyik sebesség az, ami állandó a téridőben mondjuk egy számomra 10m magasról leejtett testnél? Az eleje? A vége? Vagy valahol közte? Esetleg még a végsebességnél is nagyobb? Azt sehogy nem látom magyarázhatónak, hogy a test nyugalomban van akár egy pillanatra is, mert akkor minek hatására mozogna? De ha egy nyugalomban lévő test is a téridőben egyenletesen mozog, akkor az miért marad "titokban"? :-)
Amit felvetettél, az egy érdekes kérdés: mi közük van a geodetikusoknak az izometriákhoz (távolságtartó transzformációkhoz, mint pl. a forgatás). Sajnos (legalábbis így kapásból) én ezt nem tudom, de ha idetéved egy geométer, biztos elmondja neked.
Amire én gondoltam, az nem ilyen bonyolult, nincs benne semmi transzformáció. A geodetikus két pont között extrémális hosszűságú görbe. Euklídeszi térben ezek az egyenesek (amik mellesleg izometriával tényleg egymásba vihetők, de ez itt most nem érdekes), Minkowski-térben is az egyenesek, ált. relben meg valami mások.
A te kérdésed az volt, hogy hogy lehet az, hogy két, különböző magasságból leejtett test a tér adott pontjában eltérő gyorsulással mozog. Hát úgy, hogy nem térben, hanem téridőben kell gondolkodni. A két test a téridőnek nem ugyanazt a két pontját köti össze, ezért egymástól eltérő világvnalat írnak le. Mint ahogy a papírlapra rajzolt két, egymást metsző egyeneshez sem találsz olyan pontpárt, amelyik mindkét egyenesen rajta fekszik. Ez így érthető?
