Na most itt r=(x1,x2,x3), ahol xi valós számok. Ennek a vektornak az abszolút értéke (legalábbis amiről én beszéltem)
|r| := |x12+x22+x33|1/2.
Akkor tehát szerinted az ln(|x12+x22+x33|1/2) függvénynek valamiféle deriváltja az 1/|x12+x22+x33|1/2 függvény? Szerintem ki fogsz ábrándulni, ha ebbe jobban belegondolsz.
Továbbá még mindig nem tudom, mit értesz intT df(x) alatt, ha f(x) egy 3-változós függvény és T egy tégla az R3-ban. Ha ennek jelentését elárulod, akkor érteni fogom, mit értesz int g(x) df(x) alatt a (teljes R3-on) tetszőleges szép g(x) függvényre.
r nálam egy valós számokból álló ponthármas, magyarán a 3-dimenziós R3 egy pontja. Ezt emlegetem már egy ideje. Nálam s(r) és az (Us)(p) konvolúciók R3 függvényei. Egy valós számhármasnak nálam nincs logaritmusa. Nálad van?
Elegendő többdimenziós eloszlásfüggvényrekre hivatkozni.
Igen, de számomra nem világos, hogy R3-on melyik eloszlásfüggvényt (más szóval Borel-mértéket) érted df(x) alatt. Legyen pl. f(x)=f(x1,x2,x3) egy tetszőleges háromváltozós függvény és legyen T az ai<xi<bi (i=1,2,3)egyenlőtlenségekkel definiált tégla, ahol ai<bi (i=1,2,3) tetszőleges valós számok. Mennyi a T téglatest Lebesgue-Stieltjes mértéke az általad emlegetett df(x) mérték alatt? Más szóval mi az intT 1 df(x) integrál definíciója, mennyi az értéke? Ha azt mondod, hogy
intT 1 df(x) = f(b1,b2,b3)-f(a1,a2,a3)
az R-en megszokott Lebesgue-Stieltjes mérték mintájára, akkor azt el tudom fogadni, de akkor a parciális integrálás szokásos azonossága kompakt tartójú függvényekre (inf f dg = -int g df) szerintem nem fog teljesülni. Nem ellenőriztem, de elsőre így érzem.
Egyébként az integráljeleket elhagyva épp egy differenciálegyenlet a fenti definició.
De nem hagyhatod el az integráljeleket, elmondtam miért ;-) Ha elhagyhatnád, akkor egy mindig igaz premisszából egy olyan konkluziót kapnál az s-re (egy diff.egyenletet), ami általában nem igaz. Magyarán hibás eredményre vezető logika ez, röviden hibás logika.
Továbbá: le kellene irni azért pontosan pl. mit értesz az s(r) függvényen, s(r-p) mi a fizikai értelme. p rögzitett? r változik?
Nem kell leírnom semmit. Egy matematikai problémáról volt szó, a Laplace-operátor rezolvensének (inverzének) megadásáról integráloperátor alakjában.
De ha a probléma fizikai hátterét kérdezed: A Gauss-tételben az s(r) egy tömegeloszlás, a p pedig szintén változó: az (Us)(p) konvolúció adja meg a p-beli eredő gravitációs potenciált. A potenciálra a Laplace-operátort alkalmazva visszakapod az s(p)-t megszorozva (-4pi)-vel. Ezt hívják Poisson-egyenletnek és szerettem volna látni a precíz feltételeket, amik mellett ez ténylegesen igaz. Mint írtam, kompakt tartójú sima eloszlásokra igaz, de már az is elegendő, ha a legfeljebb másodrendű deriváltak korlátosak és abszolút integrálhatók. A fizikakönyvek általában megelégednek szemléletes, nem teljesen precíz bizonyításokkal, én meg adtam egy rendes bizonyítást. Ennyi.
Akkor ez a definició értelmében f=s(r) és g(r)=ln r függvények Stieltjes konvolóciója lenne, r=r(x,y,z), s=s(x,y,z), mert áttérve Riemann integrálra, dg(r)=1/rdr
Nem értem miért mondod. Az értékkészlet R beli de maga az s , abs(r) rel jelölt fv háromváltozós.
Akkor megismétlem a Stieltjes konvolúció definicióját:
K(t)=int f(t-x)dg(x)==int g(t-x)df(x) mindazon t értékekre, amelyekre a két integrál azonosan egyenlő és az integrálok léteznek. Az integrál határozott integrál természetesen. Te pl. a teljes teret emlitetted. Ekkor az integrál -inf,inf. Ekkor elegendő az integrálok létezése.
Tetszőleges n változós fv-re létezik a konvolúció a fenti értelemben. Elegendő többdimenziós eloszlásfüggvényrekre hivatkozni.
Egyébként az integráljeleket elhagyva épp egy differenciálegyenlet a fenti definició.
Továbbá: le kellene irni azért pontosan pl. mit értesz az s(r) függvényen, s(r-p) mi a fizikai értelme. p rögzitett? r változik?
Abból hogy két függvénynek a teljes téren vett határozott integrálja megegyezik, nem tudsz arra következtetni, hogy a két függvény is megegyezik. Jól is néznénk ki.
Pontosan emiatt lehetséges s fv re felirt diff. egyenletből s-re megoldás függvényt felirni, amikor ez is teljesül..
Vegyük a legáltalánosabbat a Stjieltjes - konvolúciót
Ennek csak R-en van értelme, R3-on nem.
Int s(p-r)d(1/abs(r))
Ennek nincs értelme R3-on, ahol most vagyunk. De ha lenne is, én nem erről beszéltem, hanem az int s(p-r) |r| dr integrálról.
Adódik egy differenciálegyenlet:
Egy s-re vonatkozó állítólagos azonosságból hogyan akarsz levezetni egy s-re vonatkozó egyenletet, ami nem mindig teljesül? Ez logikai bukfenc, nem gondolod?
A hibát egyébként ott követed el, hogy határozatlan integrálokban gondolkodsz, holott a konvolúció a teljes téren vett határozott integrál. Abból hogy két függvénynek a teljes téren vett határozott integrálja megegyezik, nem tudsz arra következtetni, hogy a két függvény is megegyezik. Jól is néznénk ki.
Az én bizonyításomban s tetszőleges kompakt tartójú sima függvény volt. Még általánosabban vehetsz olyan kétszeresen differenciálható függvényt a téren, amire a legfeljebb másodrendű deriváltak korlátosak és abszolút integrálhatók. Még ilyenekre is működik a bizonyításom.
Legalábbis szigorúan akkor konvolúció
Az s(r) és az 1/|r| függvények konvolúciója definíció szerint int s(r) 1/|p-r| dr, ahol persze 1/|p-r|=1/|r-p| triviálisan. Szóval ez a konvolúció hajszálnyira ugyanaz, mint az általam tekintett (Us)(p).
Köszönöm a referenciát! Közben bennem is felrémlettek ilyen irányú tanulmányaim, Green-függvény és társai, de soha nem használtam őket. Nyilván nem véletlenül hívják Green-függvénynek a Dirac-deltára vonatkozó megoldást, mert a bizonyítások mélyén valahol ott lapul a Green-formula. Közben utánanéztem az utóbbinak is, látom hogy az a Stokes-tétel egy speciális esete, ez már messzire vezet (kohomológiacsoportok stb.), de éppen ezért izgalmas és kéne mélyebben megértenem. Sajnos nagyon kevés időm van most ilyenekre, el vagyok maradva a saját dolgaimmal. De amúgy tényleg erre jó a fórum, mint Te is mondtad egyszer: az ember végiggondol olyan dolgokat is, amiket amúgy nem tenne.
Legalábbis szigorúan akkor konvolúció, ha int s(r)1/abs(r-p)dr = int s(p)1/abs(r-p)= eddig igaz. = int s(r-p)1/abs(r)dp a térfogatbeli bármely r és p vektorokra, az egyenlőségek azonosságok most. Alighanem ekkor s(v) állandó.
Ez a bizonyítás valószínűleg nem kis mutatványnak számít. Ezt onnan gondolom, hogy megnéztem egy könyvben (Vlagyimirov: Parciális diferenciálegyenletek), hogy más mit mond erre. Ő azzal a logikával csinálja, hogy megkeresi a Laplace-egyenlet ú.n. alapmegoldását, ami azt jelenti, hogy ez annak az egyenletnek a megoldása, amelyikben a jobboldalon s helyett egy dirac-delta disztibúció van ("pontszerű tömeg"). Ezt azért teszi, mert előtte bebizonyította, hogy ha a jobboldalon egy tetszőleges s függvény van, akkor az erre vonatkozó megoldást s-nek az alapmegoldással vett konvolúció adja. Végülis te is ezt az alapmegoldást kerested meg, de sokkal egyszerűbben, és lényegesen kisebb apparátussal, mint ahogy Vlagyimirov teszi. Szóval, bár sajnos még nem rágram át magam rendesen még a te egyszerű bizonyításodon sem, azt hiszem ennél könnyebben nemigen juthatunk ennek a tudásnak a birtokába.
Sikerült egzakt bizonyítást találnom Gauss tételére.
Pontosabban azt részleteztem precízen, hogy a Green-formulából (ami Gauss divergenciatételének egyenes következménye) miként következik a gravitációs potenciálra vonatkozó Poisson-egyenlet. Más szóval hogy az R3-beli Laplace-operátornak miért rezolvense az 1/|r-p| maggal rendelkező integráloperátor.
Sikerült egzakt bizonyítást találnom Gauss tételére. Ha s egy sima, kompakt tartójú függvény R3-on, akkor tekintsük az
(Us)(p) := int s(r) 1/|r-p| dr
konvolúciót, ahol dr=dxdydz a standard Lebesgue-mérték R3-on és az integrál a teljes téren értendő. Megmutatom, hogy L(Us)=-4pi.s, ahol L a Laplace-operátor. Az s-re vonatkozó feltételek egyébként jelentősen gyengíthetők.
Először lássuk be, hogy L(Us)=U(Ls), tehát hogy U és L felcserélhető operátorok. Ehhez elég belátni, hogy az egyes koordinátatengelyekhez tartozó Dx, Dy, Dz parciális deriválások felcserélhetők U-val, hiszen L ezek polinomja,
L := Dx2 + Dy2 + Dz2 .
Megmutatjuk, hogy Dx felcserélhető U-val, a másik két parciális deriválásra a bizonyítás hasonló. Jelölje v az x-tengely egységvektorát és legyen x>0. Ekkor
(Us)(p+xv) - (Us)(p) = int s(r) 1/|r-p-vx| dr - int s(r) 1/|r-p| dr
= int s(r+vx) 1/|r-p| dr - int s(r) 1/|r-p| dr = int {s(r+vx)-s(r)} 1/|r-p| dr
= int {int[0,x] (Dxs)(r+vt) dt} 1/|r-p| dr = int[0,x] {int (Dxs)(r+vt) 1/|r-p| dr} dt.
Itt az utolsó sorban felhasználtuk Fubini tételét. Tehát
A belső integrál folytonossága miatt (ami maga Lebesgue tételének és Dxs korlátosságának következménye) azt jelenti, hogy a bal oldal x szerint deriválható és a t pontban a derivált a belső integrállal egyezik meg. A t=0 értékre ez azt adja, hogy
Dx(Us)(p) = int (Dxs)(r) 1/|r-p| dr = U(Dxs)(p).
Ezzel beláttuk, hogy L(Us)=U(Ls). Most rögzítsünk egy p pontot. Legyen k>0 tetszőleges és tekintsük a B:={r:|r-p|<k} gömböt és annak határát, az S:={r:|r-p|=k} gömbfelületet. Legyen V a B komplementere. Ekkor tehát
L(Us)(p) = int (Ls)(r) 1/|r-p| dr = intB (Ls)(r) 1/|r-p| dr + intV (Ls)(r) 1/|r-p| dr.
Azt kívánjuk belátni, hogy a bal oldal éppen -4pi.s(p). A továbbiakban feltesszük, hogy k nullához tart, ekkor a jobb oldalon az első integrál az Ls korlátossága folytán nullához tart. Ezért elég belátnunk, hogy a második integrál limesze -4pi.s(p). A Green-formulát alkalmazzuk a V tartományra, figyelembe véve, hogy az 1/|r-p| függvényt a Laplace-operátor lenullázza:
intV (Ls)(r) 1/|r-p| dr = intS Dns(r) 1/|r-p| dr - intS Dn(1/|r-p|) s(r) dr,
ahol Dn az S felületen való kifelé irányú normálmenti deriválás. A jobb oldalon az első integrál a Dns korlátossága folytán nullához tart. A második integrál pedig
intS Dn(1/|r-p|) s(r) dr = 1/k2 intS s(r) dr,
aminek limesze az s folytonossága miatt 4pi.s(p). A bizonyítás kész.
vagyis elegendő belátnunk az állítást az s helyett az Rs forgásátlagolt eloszlásra
Itt burkoltan használtam, hogy az Rs-hez tartozó potenciál éppen RU. Ezt könnyű igazolni annak alapján, hogy az U magja, az 1/|r-p| nem változik, ha r-et bárhogy elforgatjuk a p körül.
Kicsit gondolkoztam Gauss tételén. Egyelőre nem teljesen látom, hogy pontosan milyen feltételek mellett létezik a lenti
F(p) := int s(r) (r-p)/|r-p|3 dr
vektormező divergenciája. Az általam fellelhető források sajnos nem teljesen precízek a tétel kimondása és bizonyítása terén. Mindenesetre a lenti
U(p) := int s(r) 1/|r-p| dr
potenciál létezéséből (a mínusz előjel fölösleges volt) könnyű közvetlenül látni, hogy ha div(F) létezik és folytonos p-ben, akkor a p-beli érték csakis -4pi.s(p) lehet (folytonos s mellett). Ezt most részletezem.
Mivel F=grad(U), ezért div(F)=LU, ahol L a Laplace-operátor. Ezért azt kell belátnunk, hogy ha LU létezik és folytonos p-ben, akkor
LU(p)=-4pi.s(p).
Feltehetjük, hogy p az origó. Jelölje R az origó körüli forgásátlagolás-operátort:
Mivel a Laplace-operátor kommutál a tér egybevágóságaival, ezért az R átlagolással is kommutál: R(LU)=L(RU). Ugyanakkor R nem változtatja meg az origóbeli értéket, vagyis elegendő belátnunk az állítást az s helyett az Rs forgásátlagolt eloszlásra. Más szóval eleve feltehetjük, hogy az s gömbszimmetrikus az origó körül. Ekkor azonban használhatjuk Newton héjtételét:
A másik implikáció, amiről beszéltem: (1)+(3)+(4) -> (2). Ez még kérdéses, de Simply Red szerintigaz.
Nem, én csak tisztán (4)->(2) -ről beszéltem, de közben rájöttem, hogy ez valamiféle transzlogikus gondolat volt. Sajnos a (138)-ban nem írtam le részletesen a gondolatmenetet, mert akkor egyből kiderült volna, hogy hibás.
Addig stimmel, hogy div F = ρ ekvivalens azzal, hogy F-nek egy zárt felületre való integrálja egyenlő a felület által határolt térrészben lévő tömeggel. Ha az origóban lévő m pontszerű tömegtől r távolságra van az egységnyi tömegű pontszerű próbatestünk, akkor ő az origó körüli r sugarú gömbön van, és F-nek az integrálja erre a gömbre m.
És itt jött a logikai bakugrásom, mert ebből arra következtettem, hogy ez azt jelenti, hogy 4πr2F = m, vagyis F = const m/r2. Csak épp nem vettem észre, hogy (mivel tudom, hogy milyen egy pontszerű test erőtere) automatikusan gömbszimmetrikus F-fel számoltam.
Magyarul én a Newton-törvényt nem puszán (4)-ből, hanem (4)-ből és abból (a fizikailag plauzibilis) feltevésből vezettem le (magamban), hogy pontszerű tömeg erőtere gömbszimmetrikus. Csak épp ez a második feltétel nem tudatosodott bennem. Pardon.
A 140-esbeli üzenetben 4 tisztán matematikai állítás szerepel: (1)-(4). Az állítások tetszőleges pontfüggvényekről szólnak, nem erőkről meg sűrűségekről. A 4 állítás között kétféle implikációról beszéltem, a többi engem nem érdekel.
Az egyik implikáció, amiről beszéltem: (2)+(3) -> (4). Ez Gauss tétele.
A másik implikáció, amiről beszéltem: (1)+(3)+(4) -> (2). Ez még kérdéses, de Simply Red szerint igaz.
1. Newton III hatás ellenhatás tv. Fpr(p,r)+Frp(r,p)=0.
2. dFpr=fs(r)s(p)(p-r)/|p-r|3drdp p test egy elemére r által kifejtett vonzóerő, f grav. állandó
3. Fpr= f Int s(p)dpInt s(r)(p-r)/|p-r|3dr A teljes r test által a p re gyakorolt vonzóerő. Azaz mindkét test térfogatára kell integrálni. dr, dp itt R3 Lebesgue mérték (elemi térfogatok) s(p)dp és s(r)dr tömegelemek.
4. Div Fpr= ? (ki kell számolni)
3---->1 Frp= f Int s(r)drInt s(p)(r-p)/|p-r|3dp=-F(p,r) mert r-p=-(p-r) továbbá az integrálás sorrendje felcserélése miatt -1 szorzó
1---->3 nem következik általában (végtelen sok ilyen fv van), hanem 3 olyan alakú, hogy 1 teljesül. 1 Következmény.
2---->3 trivi, ha p és r korlátos zárt (kompakt) térbeli tartományok elemei (térfogatelemek) 2 integrálható s(r), s(p) sűrűségek (skalár vektor fv) korlátosak.
s(p)dp, s(r)dr tömegelemek végesek
3---->2 F folytonos, diffható. fv p és r szerint is
Itt az első integrálban d(x(t),y(t),z(t)) helyett -d(x(t),y(t),z(t)) lett volna helyes, ugyanis dp=-d(r-p). A lényegen nem változtat. És persze dp itt nem térfogati mérték, hanem görbe menti ívmérték. Talán matmérnök is ezért panaszkodott (jelölések keveredése).
