Mindegyik rendszerbe két megfigyelő kell, a szakasz egy-egy végpontjára.
Van egy tükör középen, ami mindkét irányba visszatükrözi a fénysugarakat. Megnézik (egy nem megálló órával), hogy a megálló óra által kibocsátott fényjel kibocsátása és visszaérkezése közt mennyi idő telt el (ez egyértelmű, mert egyetlen órával mérik!). Ha a két megálló órához azonos idő alatt ér vissza a fényjel, akkor a tükör középen volt. Ha nem, akkor nem.
Nem nyúltam bele a lekvárba -> nem indultak egyszerre"
Ennek semmi értelme, ha egyik megfigyelő sem középen van, sőt, mindegyik a szakaszok végpontján. Honnan nyilatkoznának arról, hogy a fényjeleik mikor és hol találkoznak?
"Próbáld megérteni, amit írtam. Nem olyan szörnyű bonyolult."
Amit írsz a lekvárról, érthető és logikus, csak nem tudom, mi köze az órákhoz és a fényjelekhez.
Mindkét megfigyelő elmondhatja (a földi és az űrhajós), hogy a saját óráját hamarabb látja megállni, mint a másikét, de ki is tudják számítani, hogy az valójában egyszerre történt. Mondjuk mindkettő azt mondja, hogy a tiédet 5 évvel később láttam megállni, mint a sajátomat, ebből arra következtetnek, hogy a 2 óra egyszerre állt meg valójában.
Próbáld megérteni, amit írtam. Nem olyan szörnyű bonyolult.
A következtetési szabály az ú.n. podus pollens:
1. Ha belenyúltam a lekvárba, ragad a kezem. 2. Nem ragad a kezem. -------------------------------------------------------------------- K: Nem nyúltam bele a lekvárba
"Olyan nincs. Ha egy megfigyelő két eseményt egyidejűnek lát, az azt jelenti, hogy a két eseményből elinduló egy-egy fényjel a két esemény helyét összekötő szakasz közepénél találkozik."
Nem arról van szó, hogy egyidejűnek látja a nála lévő óra megállását a fényévekre lévővel, mivel ez csak akkor lenne lehetséges, ha a másik óra évekkel hamarabb álna meg. Arról van szó, hogy a fényjel megérkezésének idejéből és a távolságból meg tudja állípítani, hogy a másik óra is akkor állt meg, mint az övé.
K: De mi van, ha mindkettő szerint egyszerre állnak meg az órák?
V: Olyan nincs. Ha egy megfigyelő két eseményt egyidejűnek lát, az azt jelenti, hogy a két eseményből elinduló egy-egy fényjel a két esemény helyét összekötő szakasz közepénél találkozik. De ha egy másik megfigyelő a két eseményt összekötő szakasszal párhuzamosan mozog, akkor ő szerinte nem középen találkozik a két fényjel. Következésképpen nem egyszerre indultak.
Esetleg mondhatjuk azt is, hogy a forduló előttig évente küld egy fényjelet, mondjuk összesen 6-ot, de utána egyet sem. A földi iker is évente küld egy fényjelet, összesen hatot, utána egyet sem. A végén mindegyik 6 fényjelet számol annak ellenére, hogy a forduló előttig csak 2 érkezik meg. (Persze csak ha a specrelt elfogadjuk.)
"V: Az esemény az, hogy megáll az óra. Ha szerintem egyszerre állnak meg az órák, akkor az ikertesvérem szerint az én órám később állt meg, mit az övé. Ha ő szerinte állnak meg egyszerre, akkor szerintem az övé később állt meg, mint az enyém. Az eredmény tehát attól függ, hogy ki szerint álltak meg egyszerre az órák."
Ha már ide válaszoltál, akkor ide kell reagálnom. Mindkettőnk szerint egyszerre áll meg annak ellenére, hogy az övét én később látom, mint a sajátomat, mert a távolság ismeretében az esemény időpontja számítható.
K: Egy adott óra által mutatott idő az most esemény vagy valami más a Te fogalomrendszeredben? Mondjuk, hogy az én atomórám megáll éppen az előtt, mielőtt az űrhajós ikrem visszafordulna, és az övé is. Melyik fog nagyobb értéket mutatni és miért az? Vagy egyformát fognak mutatni visszatéréskor?
V: Az esemény az, hogy megáll az óra. Ha szerintem egyszerre állnak meg az órák, akkor az ikertesvérem szerint az én órám később állt meg, mit az övé. Ha ő szerinte állnak meg egyszerre, akkor szerintem az övé később állt meg, mint az enyém. Az eredmény tehát attól függ, hogy ki szerint álltak meg egyszerre az órák.
Lehet, de ez szerintem nem triviális. Ha nem távolságtartó a leképezés, akkor a geodetikusokat nem kell geodetikusba (egyenesbe) vinnie (ha viszont az, akkor a geodetikus definíciójából látszik, hogy igen). Görbe vonalakkal pedig meg lehet rajzolni négy darab 120 fokos szögű valamit.
Most látom, hogy távolságtartó térkép tényleg nem létezhet, hiszen annak egyrészt geidetikust egyenesbe kéne vinnie, tehát a földgömb hosszúsági köreit is, viszont két szomszédos hosszúsági kör az egyenlítőből kiindulva mindkét irányban közeledik egymáshoz, ilyen egyenespárt viszont nem lehet a síkban rajzolni.
Egyébként ezt az egész távolságtartó/szögtartó/területtartó dolgot azért mondtam, mert a minap az egyik rádióban egy találós kérdést adtak fel, hogy milyen típusú térképek léteznek, és erre ez volt a nyerő válasz. Most akkor hogy van ez?
Úgy látszik, ezt senki nem olvasta el, de jól is tette, mert jó nagy marhaságokat sikerült beleírnom. Szóval annyi igaz, hogy a görbült tér ... nyújtás, szakítás és összeragasztás nélkül nem formálható eukludeszivé, de az már nem, hogy az ilyen leképezést neveznék homeomorfnak. A homeomorfizmus folytonos, és kölcsönösen egyértelmű leképezést jelent, tehát szakítás és összerahasztás tényleg nem lehet benne, de nyújtás természetesen igen.
Valószínűleg távolságtartó leképezést kellett volna mondanom helyette, és persze akkor az sem igaz, hogy létezik távolságtartó térkép. Most már abban sem vagyok biztos, hogy szögtartó létezik. Területtartó az biztos, több féle is.
Akkkor én egy nagyon pontos hasonlatot mondok. A newtoni mechanika Lagrange-féle megfogalmazása pontosan olyan, mint az ált. rel. (még a matematikai eszköztáruk is azonos): A mechanikai rendszer úgy mozog, hogy a fázistérben leírt fázisgörbére számolt "hatás" minimális legyen (legkisebb hatás elve). A hatás ugyanolyan dolog, mint az ívhossz: egy függvénynek, jelen esetben a Lagrange-függvénynek a görbe menti integrálja. A Lagrenge függvény a rendszer kinetikus és potenciális energiájának a különbsége. Mind a kinetikus, mind pedig a potenciális energia (így a Lagrange-függvény is) a a rendszert leíró koordinátáktól és sebességtől függ.
A rendszer koordinátáit és sebességeit ilyen módon meghatározó Lagrange-függvény tehát a rendszert leíró koordinátáktól és sebességtől függ.
Igen, az említett esetekben a hőmérséklet helyfüggésének kialakulásában szerepe van pl. a gravitációnak, ez megint egy külső szereplő, tehát a kör nem zárt, mint az ált.rel. esetében.
Igen, de itt is van egy külső, független tényező, a gravitációs tér. Ha egy üres (newtoni) térbe beteszel két tömegpontot, el tudod kezdeni a számítást, még ha a végén rekurzív is lesz a programod. Én viszont nem látom, hogyan megy ez az ált-rel.ben. Addig nincs is értelme térről beszélni, míg oda nem teszem a két tömegpontot. Addig a távolságukat sem tudom, míg nem ismerem a tér szerkezetét és görbületét. Azt meg addig nem tudom meg, amíg ki nem számolom. Szóval én úgy látom ebben az esetben el sem tudom kezdeni a számítást. Az viszont tény, hogy még soha sem próbálkoztam ált-rel. egyenletek megoldásával, lehet, hogy rosszul látom a kérdést. És az is lehet, hogy a világ éppen ilyen, és saját maga húzza ki saját magát a semmiből, és ezért más nem is lehet, mint önhivatkozó...
"A példa majdnem jó, jó akkor lesz, ha megmondod, hogyan függ a hőmérséklet a helytől?"
Mivel írtam példaképpen a merülőforralót meg a hűtőgépet, nem értem hogy mit nem értesz...
Nem értem, hogy mi a baj azzal, hogy a dolgok 'kölcsönösen függenek' egymástól, illetve hogy a modellekben az ok-okozat grás nem körmentes.
A Newtoni mechanika is ilyen. (Ha nem így lenne nem vezetnének a progblémák diffegyenletekre...)
Egyszer írtam bolygók mozgását szimuláló programot:
A gravitációs erők függtek a bolygók elhelyezkedésétől és a tömegüktől. A gyorsulások a tömegektöl és az erőktől. A sebességek a gyorsulásoktól, az elhelyezkedések a sebességektől, goto eleje.
Ha már a fizikai mennyiségek kölcsönös összefüggése is a szemléleted ellen való, akkor persze nem csoda, hogy a relativitáselméletet nehezen fogadja el a szemléleted.
A példa majdnem jó, jó akkor lesz, ha megmondod, hogyan függ a hőmérséklet a helytől? Valamint, én úgy tudom, a hőmérséklet az maga a sebesség. Minél gyorsabban mozognak egy gáz részecskéi, annál nagyobb a hőmérséklet. A kettő tehát ugyanaz... (vagy legalábbis arányos egymással). Sőt, egy részecske hőmérsékletéről nem is nagyon van értelme beszélni, így az analógia nem pontos...
A példa érdekes, de az a gond vele, hogy van benne egy külső tényező, a gravitáció. Így az egymásrahatási lánc nem zárt, mint amilyen az ált.rel.-ben (és ahogy leírtam).
Egyébként arra gondoltam, hogy az ált-rel. egyenleteinek megoldásakor azért jönnek elő a táguló és összeomló megoldások, mert az egész egy merő önhivatkozás, emiatt nem is jöhet ki belőle más, mint a két szélsőséges "katasztrófa-helyzet". Persze ennek bizonyítása túl megy a képességeimen, előbb ki kellene fejlesztenem az önhivatkozó rendszerek elméletét... :-)
Természetesen a végén a 'maximális' és 'minimális' jelzőket pont fordítva írtam.
Helyesen:
Euklídeszi térben csak minimális hossz létezik, Minkowski-ban csak maximális . Hogy az ált. rel. Riemann-terében lehet-e mindkettő, vagy ott is csak a maximális , azt nem tudom, de ha van valaki, aki otthon van a témában, az remélem, elárulja nekünk. S
A fogalmak, amelyek a görbült téridő fogalmának pontos megértéséhez szükségesek, és egymásra épülnek (a teljesség igénye nélkül):
halmaz
környezet
nyílt halmaz
Hausdorff-tér
differenciélható sokaság
deriváció
görbe
érintő
vektortér
lineáris forma
skalárszorzat
norma
euklideszi tér
duális tér
érintőrér
koérintőtér
vektormező
multilineáris forma
tenzor
tenzormező
külső deriválás
párhuzamos eltolás
kovariáns deriválás
metrikus alaptenzor
ívhossz
Riemann-tér
geodetikus
komuutátor
Lie-csoport
Lie-algebra
Riemann-féle görbületi tenzor
homeomorfizmus
téridő
görbült téridő
De ha egy szokásos fél-válasszal is beéred: az hogy egy tér (pl. a gömb felülete, vagy a téridő) görbült, az azt jelenti, hogy ha egy érintővektort párhuzamos eltolással körbetolsz egy zárt görbe mentén, akkor a vektor nem az eredeti helyzetébe jut vissza, hanem valamennyire elfordul (próbáld ki például az asztal lapján, illetve egy földgömbön az első nem görbült, a második igen).
Meg azt is jelenti, hogy a görbült tér homeomorf módon (vagyis nyújtás, szakítás és összeragasztás nélkül) nem formálható eukludeszivé. Pl. a gömbfelszín ilyen: egy földgömbről a térképet lehántva nem tudod nyújtás, vagy szakítás nélkül az asztalra teríteni. Ezért van az, hogy egy térkép soha sem lehet teljesen pontos: vagy a szögeket, vagy a távolságokat, vagy a területeket tartja meg, de a három közül csak az egyiket tudja.
A másik kérdésedre válaszolva: Igen, mindegy, hogy maximális, vagy minimális az ívhossz. Euklídesz térben csak maximális hossz létezik, Minkowski-ban csak minimális. Hogy az ált. rel. Riemann-terében lehet-e mindkettő, vagy ott is csak a minimális, azt nem tudom, de ha van valaki, aki otthon van a témában, az remélem, elárulja nekünk.
"Nem tudom, melyik két definícióra gondoltál, a geodetikusra, és az extrémálisra? Az extrémális csak annyit jelent, hogy az összes lehetséges közül a leghosszabb, vagy legrövidebb."
Igen , meg előtte a görbült téridő - geodetikus fogalmakra.
"Vannak speciális esetek, amikor eltűnik egy csomó tagja az egyenletnek, de ez nem kiterjeszthető."
Az asztalon lévő monitor elég speciális helyzet? Nyugalomban van hozzám és a Földhöz képest is, és nyomja az asztalt, amit egy elektrosztatikus taszítóerő kompenzál. Vagy olyan sincs?
