"Simán el tudom képzelni, hogy az 1 millió számjegyű számok közül csak egynek van egész 89247-ik gyöke."
4 134 994 ilyen szám van.
Ezek 12 jegyű számok, mindnek 1602 az első négy legnagyobb helyiértékű számjegye. Az ötödik számjegy 6 vagy 7. (Egész pontosan: az 160 268 149 235 és 160 272 284 228 közötti számok 89247-ik hatványa egymillió jegyű a 10-es számrendszerben).
Úgy látom, hogy ha feltételezzük, hogy az eredmény egész, akkor a szóban forgó gyökvonáshoz elég a szám első 12 számjegyét ismerni, meg persze a jegyei számát (ami itt egymillió). Ezekből 10 hatványaként írnám fel a számot (ami itt 10999999,419403), ha ez megvan, akkor 10999999,419403/89247 = 1011,2048519211-et keressük. Az eredmény ellenőrzéséhez jól jöhet még a legkisebb helyiértékű pár számjegy összevetése, tehát az egymillió jegyből 999 986 jegy nem jelent hasznos információt, nem kell törődni velük.
Simán el tudom képzelni, hogy az 1 millió számjegyű számok közül csak egynek van egész 89247-ik gyöke. Tehát nem kellett elolvasnia a számot, elég volt, ha megmondták, hány jegyű.
Ettől persze még fogalmam sincs, hogyan tudta azt a nagy számot kimondani. Kicsit kételkedem a hír pontosságában...
Ha a tábláról letörlünk n db számot és vesszük az átlagukat, akkor az nézhetjük úgy is, hogy az érintett számokat elosztjuk n-nel ill. összekapcsoljuk, s a következő műveletnél az összekapcsolt számok egy számnak tekintendők. Ha ezt a kapcsolt számcsoportot újból bevesszük az átlagolásba, akkor csak 1-gyel növeli az új n értékét, de a csoport összes számát el kell majd osztani az új n-nel. Ha ezen logika mentén összekapcsoltuk mind a 11 számot, akkor ezen törtek összege megegyezik az eredeti kiírás táblán maradt végső számával, továbbá a számlálók rendre 1, 2, ... 10 számok, míg a nevezők 2 és 2^9 közötti egész számok a 2 felé sűrűsödve. A nevezők reciprokösszege 1.
Egyik Diag feladat kapcsán kezdtem töprengeni a következő problémákon, de nem sokra jutottam vele. Megosztom Veletek!
A tanár felírja a táblára az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számokat. Utána letöröl valahány (legalább két) számot a tábláról, és felírja az átlagukat helyettük, így csökkenti a számsor elemszámát. Ezt addig ismétli, amíg csupán egyetlen szám marad a táblán.
1. Hányféle lehet ez a végső szám?
2. Mennyi a legkisebb (és legnagyobb) lehetséges ilyen szám?
3. Hogyan helyezkednek el a számegyenesen ezek a számok?
1. Csak annyit tudok, hogy a válasz páratlan szám.
2. Tippem 2013/512, de nem tudom igazolni.
3. Szerintem a közepe (5,5) felé sűrűsödnek, de nem tudom igazolni...
Hétfő este elmélyedtem a feladatban és 3 megoldást is találtam. Az első, melyet vurugya is hozott, majd megleltem az eddig általam ismert legjobb megoldást (mivel nem tudom kizárni, hogy nincs még ennél is jobb) és utána pk1-ére is ráleltem. A harmadik megoldás a vurugya hozta megoldás egyfajta transzformációja, de a keresés örömét nem akarok senkitől elvenni egyelőre.
