A transzformáció arra való, hogy két egymáshoz képest mozgó inercia rendszernél, miként lehet meghatározni azt, hogy egy esemény hogy látszik a két inercia rendszerből. Az egyik inercia rendszerbeli értékeket vesszőtlen, a másik inercia rendszerben lévőket vesszős formában jelöli. A megtett út x, az idő t és a két rendszer relatív sebessége v. A fény sebességét mindkét rendszerben állandó c értékkel jelöli. A témában bevált hasonlattal élve, a transzformáció megadja, hogy egy álló állomásépület illetve az előtte elhaladó vonat viszonya hogyan határozható meg bármelyik nézőpontjából.
A transzformáció alapja, hogy a fény mindkét inercia rendszerben azonos sebességgel terjed, ezért mindkét rendszerre igaz, hogy
x = c*t,
illetve ellenkező irányú fény esetén
x = -c*t. (1)
A fenti egyenlőségeket átalakítja
x–c*t = 0 illetve
x+c*t = 0 (2)
alakba, majd a két inercia rendszerre vonatkozóan egyenlőséget állít fel és beiktat egy λ és μ arányossági tényezőt:
x-c*t = λ*(x’-c*t’)
illetve az ellenkező irányú fény esetén
x+c*t = μ*(x’+c*t’). (3)
Majd a későbbi képletek egyszerűsítése érdekében bevezeti az
a = (λ+μ)/2 és
b = (λ-μ)/2 (4)
egyenlőségeket. Az a és b értékeire meghatározza az
a² = 1/(1-v²/c²) és
b = v*a/c
egyenlőségeket, majd ezeket visszahelyettesíti a
x' = a*x - b*c*t (5)
egyenletbe és kapja a
x' = (x-v*t) / √(1-v²/c²) (6)
egyenletet, majd ezt átalakítva a
t' = (t-v/c²*x) / √(1-v²/c²) képletet. (7)
A (7) és (8) képlet a Lorentz transzformáció és ezek megadják, hogy egy másik inercia rendszerhez képest mozgó inercia rendszerben mérhető távolság és idő milyennek mérhető a másik inercia rendszer szempontjából.
Az első hiba, hogy (1) második képletében a c fénysebességet irányfüggő vektorként, az x elmozdulást abszolút skalárként kezeli. Mivel Lorentz szerint az x távolság irányfüggetlen ezért
c*t = x = -c*t, vagyis 1 = -1, ami matematikailag lehetetlen.
Ha jól megfigyeljük a képleteket, akkor egyértelmű, hogy a (2) képletek alapján a (3) és (4) képletek így is felírhatóak:
λ = 0/0 = 0 és μ = 0/0 = 0
illetve
a = (0+0)/2 = 0 és b = (0-0)/2 = 0 (8)
A nullával való osztás általában nem értelmezhető művelet, de a 0*0 = 0 érvényes egyenlőség és ebből következően a 0/0 = 0 is az.
Az (8) egyenletekből következik, hogy a (5) egyenlet x' = 0 kell lennie és ez csak akkor lehetséges, ha a (6) egyenletben az (x-v*t) = 0. (Ebből az már látszik, hogy az x' értéke független a két inercia rendszer v relatív sebességétől.)
Mivel x' = 0, ezért a c = x'/t' -> c*t' = x' összefüggés miatt t' = 0 kell lenni. A (7) egyenlet alapján pedig t' akkor egyenlő 0, ha (t-v/c²*x) = 0. Így a nullával való egyenlőség miatt
x-v*t = t-v/c²*x ->
x+v/c²*x = t+v*t ->
x(1+v/c²) = t*(1+v) ->
x/t = (1+v)/(1+v/c²)
Mivel x/t = v ezért
v = (1+v)/(1+v/c²) ->
v+v²/c² = 1+v ->
v²/c² = 1
A Lorentz transzformációról azt szokták mondani hozzáértők, hogy csak fénysebességhez közeli sebességgel mozgó inercia rendszereknél érdemes használni. Ez annyira igaz, hogy ha az inercia rendszerek nem fénysebességgel mozognak egymáshoz képest, akkor a Lorentz transzformáció nem érvényes.
Ezekből a képletekből az is látható, hogy a sebességek négyzetre emelésével megszűnik a negatív sebesség, tehát csak a '+' irányú elmozdulásokra vonatkoztatható.
