Sajnos nem elég. Mint ahogy a Poisson egyenletnél sem elég csak térfogati megoszló terheléssel számolni. Tudni kell mi hol van. Ha pl veszek két V1 és V2 térfogatban ro1 és ro2 sűrűségű tömegeloszlást, majd az egészet körbeveszem egy zárt térfogattal, akkor is érvényes Gauss tétel és érvényes Gauss Osztrogradszkij, Green stb... az összes (eddig ismert) integrálátalakitó tételek. Pl a tér olyan r helyvektorú pontjaira ami kivűl van V tartományon a Poisson egyenlet megoldásfv 0, ha a tartomány határán van a függvényérték fele lesz, ha belül van a V tartományon akkor pedig ki kell számolni pl. Partikuláris megoldások összege megoldás (kérdés hogy megtaláltuk e az összes partikuláris megoldást, de még lehetnek szinguláris megoldások is).
Hasonlóan nem elég két tetszőleges függvény szorzatának Laplace transzformációjánál csak az egyik (pl a felirt azonosság bal oldala szerinti konvolúcióval számolni)
Na most ezek ismert dolgok előtted is.
Hogy miért van az, hogy a műszaki gyakorlatban a Riemann integrált használjuk inkább, az a felfogás módjához való jobb illeszkedés miatt van (talán). Egyrészt a megfogalmazása a problémáknak olyan, hogy az értelmezési tartomány felosztása
jobban illeszkedik a mondanivaló kifejtéséhez és az értékkészlet a keresett.
A Lebesgue integrál pedig az értékkészlet felosztásából indul ki.
Nekem nem kell magyaráznod, ötösre szigorlatoztam 3 évnyi analízisből (és volt még vagy 80 jeles vizsgám) matematikus szakon.Gratulálok. De ha definiciót irok, akkor az a félreértések (pozitiv hozzáállásom kimutatásaként : az, hogy én nem értem félre amit te mondasz) elkerülése miatt van. Na nyilván más lenne a helyzet ha én is 15 évet tanultam volna és csak matekot, de sajna én nem matekozhatok ennyit.
Egyébként a wikipédiás szócikk is csak egydimenziós (egyváltozós) L-S integrálról beszél, nem véletlenül: We are finally equipped to define the Lebesgue-Stieltjes integral of an arbitrary function f with respect to the measure associated with an arbitrary additive function of an interval, v, which is of bounded variation.
A te értelmezésed, miszerint df(x,y)=(d2f/dxdy)dxdy, sajátos értelmezés, de el tudom fogadni mint definíciót.
Még azt is hozzátenném, hogy a te definíciód azért sem szerencsés, mert semmivel sem ad többet, mint a Riemann-integrál. Te egyszerűen csak becsempészel egy bizonyos d2f/dxdy alakú szorzót az integrálba és elnevezed Stieltjes-integrálnak. Az igazi 1-dimenziós Stieltjes-integrál ennél sokkal többet tud. Nevezetesen a df(x) mérték és a hozzá tartozó int g(x) df(x) alakú integrálok nem csak arra az esetre vannak definiálva, ha f(x) differenciálható, hanem minden olyan esetre, ha f(x) korlátos változású (pl. monoton növekvő). Magyarán az 1-dimenziós Stieltjes-integrálok nem az 1-dimenziós Riemann-integrál speciális esetei, míg a te "2-dimenziós Stieltjes-integrálod" bizony csak a 2-dimenziós Riemann-integrál speciális esetei (hiszen azzal vannak definiálva).
És még azt is megjegyezném, hogy az 1-dimenziós Lebesgue-Stieltjes integrálra nem is igaz általában az int g(x) df(x) = int g(x) f'(x) dx formula. Ez csak akkor igaz, ha a df(x) mérték abszolút folytonos a dx mértékre nézve (és ekkor a fenti formula a Radon-Nykodym tétel következménye). De az általános esetben elég vad dolgok történhetnek. Pl. meg lehet adni olyan f(x) szigorúan növekvő függvényt a [0,1] intervallumon, aminek deriváltja majdnem minden pontban nulla. Ekkor int[0,1] df(x) = f(1)-f(0) pozitív, míg int[0,1] f'(x) dx = 0. Ez is mutatja, hogy a Lebesgue-Stieltjes integrál mennyivel többet tud, mint gondolod. Pont ezen különbségek és finomságok miatt szeretjük a L-S integrált. Hogy úgy mondjam, ezért tartjuk számon, ezért tanítjuk, ezért beszélünk róla. Na most a 2-dimenziós esetre ezt nem látom, hogy lehetne átvinni, és pont ezért én értelmetlennek vagy fölöslegesnek látom 2-dimenziós L-S integrálról beszélni.
Riemann-Stieltjes integrálon az alábbit Riemann-Stieltjes összeg határértékét értjük
Nekem nem kell magyaráznod, ötösre szigorlatoztam 3 évnyi analízisből (és volt még vagy 80 jeles vizsgám) matematikus szakon.
Ez parciális deriválással kiterjeszthető többváltozós esetre d' parciális deriválást jelöl d a differenciál
Standard kiterjesztésről én nem tudok. Differenciálformák között értelmes a d operáció és fontos is nagyon, de az egy egészen más tészta. A te értelmezésed, miszerint df(x,y)=(d2f/dxdy)dxdy, sajátos értelmezés, de el tudom fogadni mint definíciót. Ellenben ezzel a definícióval nem lesz igaz, amit korábban állítottál, nevezetesen hogy
Ezt úgy értem, mi a p és r vektor? Egy töltésfelhő, tömegeloszlás stb. most ne mozogjon. Ekkor p a töltésfelhőbe mutat, vagy pontszerű töltés esetén a a töltés a p helyvektorú pontban van, r a tér tetszőleges pontja. V tetszőleges nem feltétlenüll korlátos nyilt tartomány, ennek határa.
Nem szoktam a Wikire hivatkozni de most kivételt teszek.
Riemann-Stieltjes integrálon az alábbit Riemann-Stieltjes összeg határértékét értjük
Sum f(zi)(g(xi)-g(xi-1))
ha max abs(xi-xi-1)Ha ez az értelmezési tartomány minden felosztására és bármely tetszőleges zi értékre a felosztás i. intervallumából igaz, és ez a határérték létezik, akkor létezik az R-S integrál int a,b fdg(x). Ez a határérték létezik, ha f az intervallumon folytonos g pedig korlátos variációjú fv.
Ez parciális deriválással kiterjeszthető többváltozós esetre d' parciális deriválást jelöl
Köszönöm. (külön köszönöm, hogy számomra is megérthető példát hoztál :-))
Most, hogy mondod, jut eszembe, hogy (ugratásképpen) magam is kreáltam már olyan példát, ami éppen ilyen dolgokon bukik meg, sőt, ha jól emlékszem, be is írtam valamelyik topikba.
Sok természetes szituációban a sűrűségeloszlás nem is folytonos függvény (pl. a tér egy szép tartományán 1 a sűrűség, azon kívül meg 0). Szóval a problémák itt kezdődnek. Hogy hasonlattal éljek: "mindenki tudja", hogy az F(x):=int[0,x] f(t) dt integrálfüggvény deriváltja f(x). Csak azt felejtik el hozzátenni, hogy "azokban az x pontokban, ahol f(t) folytonos" vagy valami hasonló. De alapvetően az a probléma, hogy ezek matematikai állítások, amiket a fizika- meg műszaki könyvek nem bizonyítanak vagy csak szemléletesen de valójában hibásan vagy hiányosan bizonyítanak (nagyjából jó de nem teljesen jó végeredménnyel, mint a fenti példa).
Én ehhez nem értek, de mégis lenne egy felvetésem.
Azt kéne megnézni, hogy vajon a műszaki könyvekből miért hiányoznak a hiányoltad kikötések.
Pl. meg kellene nézni, hogy van-e valamiféle fizikai jelentésük nekik. Pl. a Q(r) integrájának a teljes téren. És akkor kiderülhet esetleg, hogy ezek a kikötések a fizikában természetesek, ezért nem kell külön kikötni őket, hiszen mindig (maguktól)teljesülnek. Nem tudom, csak vélekedem.
Na ezt vezettem én le a Green-tétel segítségével precízen a 179-es üzenetemben. A Green-tétel pedig azonnal következik az eredeti Gauss-Osztrogradszkij tételből. A fenti divF(r)= 4pi Q(r) minden olyan esetben igaz, mint megmutattam a 179-ben, ha Q(r) kétszeresen differenciálható és a legfeljebb másodrendű deriváltak korlátosak és abszolút integrálhatók a teljes téren. Ezek a finom feltételek a fizika és műszaki könyekből általában hiányoznak. Helyette azt mondják, hogy ez mindig igaz és kész, mert a precíz bizonyítások nem érdeklik őket. Csak egy matematikus ezt nem tudja elfogadni, azért mert feltételek nélkül kimondva a fenti egyenlet egy hamis állítás. Apriori az sem világos, hogy F(r)-nek miért van egyáltalán divergenciája (pl. miért léteznek F(r) parciális deriváltjai egyáltalán). Ez matek, nem fizika.
De én azt csak egyváltozós függvényekre ismerem (mint mondtam már többször). Definiáld már nekem a Riemann-Stieltjes integrált R2-ben. Adok neked egy kétváltozós függvényt, f(x,y)=x2y3. Adok neked egy téglalapot, T := {(x,y): 1<x<2, 3<y<4}. Mondd már el nekem, mit értesz az alábbi integrálon (számold ki nekem):
intT df(x,y).
Az f itt nem egy absztrakt szimbólum, mint a te dV(p) jelölésedben (V for volume), hanem egy konkrét függvény, mint a R-S integrálban általában. De én a R-S integrált csak egyváltozóra ismerem, ezért kérdem, te mit értesz alatta.
a kérdésedre a válasz R-S ben értve f(x1,x2,x3)=x1x2x3 a térfogat.
A függvényt én adom meg, nem te. Megadom a függvényt és te elmondod, mit értesz a hozzátartozó R-S integrál alatt. A játék így működik.
Tehát a df(x)=f'(x)dx
Mit értesz f'(x) alatt, ha x nem egy szám, hanem egy vektor (azaz szám n-es)? Egy n-változós valós értékű függvény deriváltja nem egy szám! A fenti példámban (f(x,y)=x2y3) mit értsünk f'(x,y) alatt?
Hát azért az hasznos, szerintem ha az ember leirja milyen fizikai problémát akar megoldani.
Nem akartam semmiféle fizikai problémát megoldani. Matematikai problémát akartam megoldani és azt is tettem.
s(r) sűrűség akkor mi az s(r-p)?
Sűrűség eltolva p-vel. Arrébb nyomod a tömegeket p-vel.
Ez utóbbit nem tudom értelmezni.
Ez eléggé gáz.
A Gauss tétel csak igy szimplán
Mondtam már, hogy a Gauss-tételből a Poisson-egyenlet levezetését részleteztem. Néha az utóbbit a Gauss-tétel differenciális alakjának hívják, mert azt mondja ki, hogy a gravitációs erő divergenciája (vagy ami ugyanaz: a Laplace operátor alkalmazva a potenciálra) megegyezik a kiindulási tömegeloszlással (amit én s-sel jelöltem).
Én a Riemann-Stieltjes integrálra gondoltam. Ha ez létezik, akkor megegyezik értéke az L-S integrállal. Tehát a df(x)=f'(x)dx. Igy a kérdésedre a válasz R-S ben értve
f(x1,x2,x3)=x1x2x3 a térfogat. dV=dx1dx2dx3, Igy a kérdezett integrál f(x1x2x3)=V
Az azonosan 1 függvénnyel vett szorzat miatt.
Hát azért az hasznos, szerintem ha az ember leirja milyen fizikai problémát akar megoldani. Itt viszont azt kell megmondani, melyik változó mit jelent.
s(r) sűrűség akkor mi az s(r-p)? Ez utóbbit nem tudom értelmezni.
Tömegeloszlásnak térfogati potenciálja van pl q(r). Ha van felületen megoszló erőrendszer is akkor ennek felületi potenciálja van.
A Gauss tétel csak igy szimplán: az elektrosztatikában pl. éppen csak annyit jelent,
hogy a Coulomb törvény és az anyagi egyenlet alapján a töltést körülvevő tetszőleges zárt felületre vett felületi integrálja a töltésmennyiséggel egyenlő.
stb. nem részletezem.
Vagyis potenciálfüggvény int VQ(P)/abs(r-p)dV(P). Ehhez tartozó tömegeloszlás
Q(r) pedig F(r) = -gradFi(r) és divF(r)= 4pi Q(r). Itt a differenciálások viszont kizárólag p összes komponense szerint. (És térfogati megoszló rendszer)
Ha azt mondod, hogy intT 1 df(x) = f(b1,b2,b3)-f(a1,a2,a3) az R-en megszokott Lebesgue-Stieltjes mérték mintájára, akkor azt el tudom fogadni
Ezt visszavonom: a fenti definíció nem jó, mert nem ad mértéket. Ha ugyanis a T téglát kettévágjuk T1 és T2 téglákká az egyik lappal párhuzamos síkkal, akkor a fenti definícióval általában nem fog teljesülni, hogy
intT df(x) = intT1 df(x) + intT2 df(x).
Magyarán a fenti definíció nem ad mértéket, tehát integrált sem ad.
Akkor újra kérdem: mit jelent nálad az intT df(x) szimbólum?
Akkor tehát szerinted az ln(|x12+x22+x33|1/2) függvénynek valamiféle deriváltja az 1/|x12+x22+x33|1/2 függvény?
Mondjuk egy origó középpontú gömbfelületen a kifelé irányú normálirányú deriváltak ekkorák, de szerintem ez kevés a te Lebesgue-Stieltjes integrálodhoz (aminek definícióját egyelőre nem tisztáztuk).
Na most itt r=(x1,x2,x3), ahol xi valós számok. Ennek a vektornak az abszolút értéke (legalábbis amiről én beszéltem)
|r| := |x12+x22+x33|1/2.
Akkor tehát szerinted az ln(|x12+x22+x33|1/2) függvénynek valamiféle deriváltja az 1/|x12+x22+x33|1/2 függvény? Szerintem ki fogsz ábrándulni, ha ebbe jobban belegondolsz.
Továbbá még mindig nem tudom, mit értesz intT df(x) alatt, ha f(x) egy 3-változós függvény és T egy tégla az R3-ban. Ha ennek jelentését elárulod, akkor érteni fogom, mit értesz int g(x) df(x) alatt a (teljes R3-on) tetszőleges szép g(x) függvényre.
r nálam egy valós számokból álló ponthármas, magyarán a 3-dimenziós R3 egy pontja. Ezt emlegetem már egy ideje. Nálam s(r) és az (Us)(p) konvolúciók R3 függvényei. Egy valós számhármasnak nálam nincs logaritmusa. Nálad van?
Elegendő többdimenziós eloszlásfüggvényrekre hivatkozni.
Igen, de számomra nem világos, hogy R3-on melyik eloszlásfüggvényt (más szóval Borel-mértéket) érted df(x) alatt. Legyen pl. f(x)=f(x1,x2,x3) egy tetszőleges háromváltozós függvény és legyen T az ai<xi<bi (i=1,2,3)egyenlőtlenségekkel definiált tégla, ahol ai<bi (i=1,2,3) tetszőleges valós számok. Mennyi a T téglatest Lebesgue-Stieltjes mértéke az általad emlegetett df(x) mérték alatt? Más szóval mi az intT 1 df(x) integrál definíciója, mennyi az értéke? Ha azt mondod, hogy
intT 1 df(x) = f(b1,b2,b3)-f(a1,a2,a3)
az R-en megszokott Lebesgue-Stieltjes mérték mintájára, akkor azt el tudom fogadni, de akkor a parciális integrálás szokásos azonossága kompakt tartójú függvényekre (inf f dg = -int g df) szerintem nem fog teljesülni. Nem ellenőriztem, de elsőre így érzem.
Egyébként az integráljeleket elhagyva épp egy differenciálegyenlet a fenti definició.
De nem hagyhatod el az integráljeleket, elmondtam miért ;-) Ha elhagyhatnád, akkor egy mindig igaz premisszából egy olyan konkluziót kapnál az s-re (egy diff.egyenletet), ami általában nem igaz. Magyarán hibás eredményre vezető logika ez, röviden hibás logika.
Továbbá: le kellene irni azért pontosan pl. mit értesz az s(r) függvényen, s(r-p) mi a fizikai értelme. p rögzitett? r változik?
Nem kell leírnom semmit. Egy matematikai problémáról volt szó, a Laplace-operátor rezolvensének (inverzének) megadásáról integráloperátor alakjában.
De ha a probléma fizikai hátterét kérdezed: A Gauss-tételben az s(r) egy tömegeloszlás, a p pedig szintén változó: az (Us)(p) konvolúció adja meg a p-beli eredő gravitációs potenciált. A potenciálra a Laplace-operátort alkalmazva visszakapod az s(p)-t megszorozva (-4pi)-vel. Ezt hívják Poisson-egyenletnek és szerettem volna látni a precíz feltételeket, amik mellett ez ténylegesen igaz. Mint írtam, kompakt tartójú sima eloszlásokra igaz, de már az is elegendő, ha a legfeljebb másodrendű deriváltak korlátosak és abszolút integrálhatók. A fizikakönyvek általában megelégednek szemléletes, nem teljesen precíz bizonyításokkal, én meg adtam egy rendes bizonyítást. Ennyi.
Akkor ez a definició értelmében f=s(r) és g(r)=ln r függvények Stieltjes konvolóciója lenne, r=r(x,y,z), s=s(x,y,z), mert áttérve Riemann integrálra, dg(r)=1/rdr
Nem értem miért mondod. Az értékkészlet R beli de maga az s , abs(r) rel jelölt fv háromváltozós.
Akkor megismétlem a Stieltjes konvolúció definicióját:
K(t)=int f(t-x)dg(x)==int g(t-x)df(x) mindazon t értékekre, amelyekre a két integrál azonosan egyenlő és az integrálok léteznek. Az integrál határozott integrál természetesen. Te pl. a teljes teret emlitetted. Ekkor az integrál -inf,inf. Ekkor elegendő az integrálok létezése.
Tetszőleges n változós fv-re létezik a konvolúció a fenti értelemben. Elegendő többdimenziós eloszlásfüggvényrekre hivatkozni.
Egyébként az integráljeleket elhagyva épp egy differenciálegyenlet a fenti definició.
Továbbá: le kellene irni azért pontosan pl. mit értesz az s(r) függvényen, s(r-p) mi a fizikai értelme. p rögzitett? r változik?
Abból hogy két függvénynek a teljes téren vett határozott integrálja megegyezik, nem tudsz arra következtetni, hogy a két függvény is megegyezik. Jól is néznénk ki.
Pontosan emiatt lehetséges s fv re felirt diff. egyenletből s-re megoldás függvényt felirni, amikor ez is teljesül..
Vegyük a legáltalánosabbat a Stjieltjes - konvolúciót
Ennek csak R-en van értelme, R3-on nem.
Int s(p-r)d(1/abs(r))
Ennek nincs értelme R3-on, ahol most vagyunk. De ha lenne is, én nem erről beszéltem, hanem az int s(p-r) |r| dr integrálról.
Adódik egy differenciálegyenlet:
Egy s-re vonatkozó állítólagos azonosságból hogyan akarsz levezetni egy s-re vonatkozó egyenletet, ami nem mindig teljesül? Ez logikai bukfenc, nem gondolod?
A hibát egyébként ott követed el, hogy határozatlan integrálokban gondolkodsz, holott a konvolúció a teljes téren vett határozott integrál. Abból hogy két függvénynek a teljes téren vett határozott integrálja megegyezik, nem tudsz arra következtetni, hogy a két függvény is megegyezik. Jól is néznénk ki.
Az én bizonyításomban s tetszőleges kompakt tartójú sima függvény volt. Még általánosabban vehetsz olyan kétszeresen differenciálható függvényt a téren, amire a legfeljebb másodrendű deriváltak korlátosak és abszolút integrálhatók. Még ilyenekre is működik a bizonyításom.
Legalábbis szigorúan akkor konvolúció
Az s(r) és az 1/|r| függvények konvolúciója definíció szerint int s(r) 1/|p-r| dr, ahol persze 1/|p-r|=1/|r-p| triviálisan. Szóval ez a konvolúció hajszálnyira ugyanaz, mint az általam tekintett (Us)(p).
Köszönöm a referenciát! Közben bennem is felrémlettek ilyen irányú tanulmányaim, Green-függvény és társai, de soha nem használtam őket. Nyilván nem véletlenül hívják Green-függvénynek a Dirac-deltára vonatkozó megoldást, mert a bizonyítások mélyén valahol ott lapul a Green-formula. Közben utánanéztem az utóbbinak is, látom hogy az a Stokes-tétel egy speciális esete, ez már messzire vezet (kohomológiacsoportok stb.), de éppen ezért izgalmas és kéne mélyebben megértenem. Sajnos nagyon kevés időm van most ilyenekre, el vagyok maradva a saját dolgaimmal. De amúgy tényleg erre jó a fórum, mint Te is mondtad egyszer: az ember végiggondol olyan dolgokat is, amiket amúgy nem tenne.
Legalábbis szigorúan akkor konvolúció, ha int s(r)1/abs(r-p)dr = int s(p)1/abs(r-p)= eddig igaz. = int s(r-p)1/abs(r)dp a térfogatbeli bármely r és p vektorokra, az egyenlőségek azonosságok most. Alighanem ekkor s(v) állandó.
