Nézd, szerintem ennek nincs értelme. A világban ZFC vagy konzisztens, vagy nem, tehát nincs értelme arról beszélni, hogy mi van akkor, ha nem az van, ami van. Igen, van egyetlen Turing-gép, de hogy ez melyik a két jelölt közül, az attól függ, hogy a ZFC most konzisztens-e vagy sem. Természetesen ezt az egyetlen Isten adta Turing gépet, ami az igaz választ kiírja, nem ismerjük, mert a választ nem áll módunkban megismerni (feltéve, hogy ZFC konzisztens).
Mondok egy hasonlatot. Ha feldobunk három pénzérmét (fej vagy írás), akkor biztosak lehetünk benne, hogy legalább két érmén ugyanaz fog kijönni. Nem tudjuk, melyik lesz ez a két érme, de a dobás 8 lehetséges kimenetétől függetlenül végeredményben az állítás mindig igaz. Na így van ez a Turing-géppel, ami kiírja nekünk az igazságot, tehát hogy ZFC konzisztens vagy sem. Annyit kell tudni, hogy a válasz létezik, tehát a hozzá való egyetlen szent Turing-gép is létezik (a másik meg mehet a kukába).
És tegyük hozzá, hogy eredeti formájában a mondatot tényleg lehetett így érteni, ahogyan én szándékosan értettem.
Tudtam, hogy miről ír, csakhogy nem nekem írt, hanem DancingerF-nek, és nem nekem kellett megértenem ezeket hanem DancingerF-nek, és korántsem volt biztos, hogy DancingerF számára a megértés lehetősége adott.
"Con(ZFC) -> van Turing-gép, ami kiírja, hogy Con(ZFC), ÉS ~Con(ZFC) -> van Turing-gép, ami kiírja, hogy ~Con(ZFC)". Mivel ez a formula minden M-en igaz, ezért igaz ZFC-ben.
úgy olvastam, hogy
egyetlen Turing-gép van, hogy ha Con(ZFC) igaz (mondjuk a világban), akkor a gép kinyomtatja, hogy "Con(ZFC)",
és ha ~Con(ZFC) igaz (mondjuk a világban), akkor _ugyanaz_ a gép kinyomtatja, hogy "~Con(ZFC)".
Az M-en a Con(ZFC) vagy igaz vagy hamis, hasonlóan ahogy a boltban vagy ki tudod fizetni az árut vagy nem. Ezért az M-ben triviálisan igaz "Con(ZFC) -> van Turing-gép, ami kiírja, hogy Con(ZFC), ÉS ~Con(ZFC) -> van Turing-gép, ami kiírja, hogy ~Con(ZFC)". Mivel ez a formula minden M-en igaz, ezért igaz ZFC-ben.
Én ezt már eleve értettem, hanem arra hívtam fel a figyelmedet, hogy a mondat, amit leírtál, nem volt egyértelmű, mert úgy lehetett érteni, hogy Turing-gépet keresel, amely Con(ZFC)-t írja ki, ha a ZFC konzisztens, és ~Con(ZFC)-t, ha nem az.
-
Sorry: a Shoenfield-hivatkozás az iteratív koncepcióról a 231. oldalon van a Boolos-cikkben (és utána).
A szerzők megközelítése formális, ami azt is jelenti, hogy ők az iteratív koncepció egy axiomatizálását végezték el.
Ebből ők a ZFC-axiómákat formálisan igazolják.
Most, hogy írtam, megnéztem Shoenfield Handbook-beli, eredeti írását újra. Vissza szeretném vonni, amit a formalizálatlan metafizikai megalapozásról mondtam, mert ez lényegében egy alternatív halmazelmélet (axiómarendszer).
Amit leírtam a Replacement megalapozásáról, a saját, metafizikai véleményem volt - ettől persze, még nem értéktelen biztosan (és erre fel is hívtam a figyelmet).
Azt akartam mondani, hogy a (világbeli) hatványhalmaz-operáció alkalmazása egy halmazra minden "lehetséges", konzisztens részösszességet halmazzá tesz. Tehát, speciálisan, nincs olyan, hogy van egy konzisztens részösszesség-definíció, és ami hozzá tartozik, az nem halmaz. Ez azonban nem tétel, hanem benne foglaltatik a világbeli hatványhalmaz-operáció intuitív értelmébe.
Igen a hatványhalmazképzésről nekem is az az intuitív képem, hogy az "összes lehetséges módon" kiveszünk és halmazzá formálunk elemeket. Ezzel sose volt bajom a kumulatív hierarchiás motivációnál.
Zermelo például a Replacement-ről azt mondta: ha van egy halmaz, és minden elemét kicserélem (v.ö. bijekció), továbbra is halmazom lesz, nem? Úgy tűnik, nem jutok így ellentmondásra, felettébb hihető Zermelo itt. Ez is egy naiv, metafizikai megalapozás.
Igen ez lényegében az informális jelentése a Replacement axiómának, ez mindigis hihető volt számomra. A kumulatív hierarchia ideológiájában viszont az történik, hogy mindig olyan halmazokat hozunk létre, amiknek az elemeit már korábban létrehoztuk. Ezeket közben szintekbe soroljuk stb. Itt például omega+omega -ig úgy képzeletben ellát az ember, így ez a motiváció ad egy informális értelemben vett struktúrát, ahol ZC axiómák igazak. Ennek a mesének valami ügyes módosítása ha "magyarázná" ZFC-t az szép lenne, de nem találtam ilyent.
Azt hiszem én tudom, hol olvastál erről: A matematika filozófiája a 21. század küszöbén, Osiris, Boolos-cikk, 231.o. Sajnos, Shoenfield nevéd következetesen Schoenfield-nek írja.
Szerintem ha Penelope Maddy: Beliving the axioms cikkben a Shoenfield-es hivatkozások fele találsz róla bővebben.
Tudom már mi ez, köszönöm. Maddy cikkét olvastam, és akkor a Barwise-könyvben utána is néztem.
Ez nekem így nem sokat mond.
Érthető: ez a baj a nem pontosan formalizált érvelésekkel:((
Azt akartam mondani, hogy a (világbeli) hatványhalmaz-operáció alkalmazása egy halmazra minden "lehetséges", konzisztens részösszességet halmazzá tesz. Tehát, speciálisan, nincs olyan, hogy van egy konzisztens részösszesség-definíció, és ami hozzá tartozik, az nem halmaz. Ez azonban nem tétel, hanem benne foglaltatik a világbeli hatványhalmaz-operáció intuitív értelmébe.
Vigyázni kell ezekkel, mert, ahogyan mondtam, lényegében naiv halmazelméleti megfontolások (mint Cantornál). Számosságok nélkül a "transzfinit" szó jelentése tisztán metafizikai, el kell felejteni a matematika nagy részét, egészen más megértési képességre, nyitottságra van szükség. Én mindenesetre megkíséreltem adni egy kísérletet.
Amikor azonban a ZFC-axiómák metafizikai megalapozása a feladat, persze, hogy plauzibilis metafizikai érveket kell hozni.
Zermelo például a Replacement-ről azt mondta: ha van egy halmaz, és minden elemét kicserélem (v.ö. bijekció), továbbra is halmazom lesz, nem? Úgy tűnik, nem jutok így ellentmondásra, felettébb hihető Zermelo itt. Ez is egy naiv, metafizikai megalapozás.
-----------
Kérdezted még az eldöntés fogalmával kapcsolatos véleményem, és válaszoltam is.
Egyet tennék hozzá: a Turing-gép, ha nyomtat, lehet mondani, hogy eldönt. Ha azonban a program biztosítja, hogy a program valamilyen igazságdefiníciónak megfelel, és ezért a kinyomtatott sztring, mint értelmes formula, igaz lesz (jóldefiniált értelemben), matematikailag is más eldöntés-fogalom. Ehhez persze az igazság definíciójára van szükség; az adott Ax axiómarendszerből való formális levezetés (pl. Hilbert-kalkulusban), mint algoritmus, a szintaktikai igazság egy definíciójának megfelel.
Van olyan Turing-gép is, amely minden formulára azt mondja, hogy "igaz". Ennek nem sok értelme van, bár a gép persze algoritmussal fut.
Nem volt szó semmiféle eldönthetőségről. Az eredeti kérdést a 4633-ban tettem fel: van-e olyan algoritmus, ami azt írja ki, hogy "ZFC konzisztens" vagy "ZFC inkonzisztens" aszerint, hogy ZFC konzisztens vagy ZFC inkonzisztens? A válasz triviálisan az, hogy "van", hiszen bármilyen véges sztringet ki lehet printelni (bemenet-független) Turing-géppel. Ennek semmi köze nincs ahhoz, hogy akkor most ZFC konzisztens-e vagy sem, illetve hogy mi mit tudunk eldönteni. Van két Turing-gépünk, az egyik biztos a helyes választ adja.
Na most persze lehet filozofálni pl. azon, hogy van-e igazságértéke annak, hogy "ZFC konzisztens" csak úgy önmagában, de ilyen módon az égvilágon mindenbe bele lehet kötni és el lehet térni a tárgytól.
Ez egy klasszikus elsőrendű bizonyítás volt, nem görcsölve az igazság filozófiai vonatkozásain. Van két eset, és mindkét esetben belátjuk az állítást. Ha már nem vagy barátságban az elsőrendű bizonyításokkal (mert túl sok másfajta logikát szívtál Magadba), akkor végiggondolhatod elsőrendű modellelmélettel is. Vegyük a ZFC egy tetszőleges M modelljét, illetve rögzítsük a Con(ZFC) formulát (ami egy fordítása a metanyelvi "ZFC konzisztens" kijelentésnek). Az M-en a Con(ZFC) vagy igaz vagy hamis, hasonlóan ahogy a boltban vagy ki tudod fizetni az árut vagy nem. Ezért az M-ben triviálisan igaz "Con(ZFC) -> van Turing-gép, ami kiírja, hogy Con(ZFC), ÉS ~Con(ZFC) -> van Turing-gép, ami kiírja, hogy ~Con(ZFC)". Mivel ez a formula minden M-en igaz, ezért igaz ZFC-ben.
És ez tekinthető az eljárás fogalmának általánosításaként?
Eljárásról, meg módszerről meg konstruktív bizonyításról és hasonlókról igazából metanyelvi szinten beszélünk.
Nincs olyan, hogy Eljárás(x)<==>phi(x), ahol phi egy formula a halmazelmélet nyelvén. Ha ilyen lenne, akkor ez egy definiált fogalom lenne és konkrét jelentése lenne.
Amit én írtam az csak annyi, hogy egy halmaz minden eleméhez hozzárendelsz formulával körülírható módon egy halmazt, akkor a hozzárendelt dolgok halmazt alkotnak. Ez csupán a Replacement axioma informális elmondása.
Tekintheted ezt mint egy általánosított eljárást, ha úgy jobban tudsz róla gondolkodni.
mert mivel "minden halmaz, ami csak lehetséges, benne van"
Ez nekem így nem sokat mond.
halmaz definícióval adott képe benne van a Hierarchiában (hiszen másik halmaznak a kép része)
Ha azt tudod indokolni, hogy a kép része egy halmaznak az valóban elegendő, mert a részhalmaz axiómát triviálisan motiválja a kumulatív hierarchia gondolata.
Shoenfield-nél a kumulatív hierarchia szintjei már a halmazok előtt léteznek, ezekről a szintekről tesz fel dolgokat. Számomra nem szimpatikus megoldás, hogy a halmazok előtt létezzen valami, de érdekes és jól átgondolt "megoldása" a feladatnak. Shoenfield egyébként valamelyik logikakönyvében is "principle of cofinality" elvet emleget, ami alatt azt érti, hogy halmaznyi sok szint után mindig van további szint, ami a Replacement-ünknek az átfogalmazása.
Szerintem ha Penelope Maddy: Beliving the axioms cikkben a Shoenfield-es hivatkozások fele találsz róla bővebben.
Vagy "Stage-theory, Shoenfield" kulcsszavakkal ha keresel. Sajnos pontosan nem tudom, hol olvastam erről.
bizonyítása rossz a szokásos elsőrendű ZFC-ben, vagy formálisan jó, de valamilyen filozófiai okból rossznak tartod?
Filozófiai okból tartom rossznak, és formális szempontból jónak, akkor, ha az eldönthető szó jelentése az, hogy van olyan bemenet, amelyre Con(ZFC)-t az univerzális Turing-gép kiírja.
Ha az "eldönthető" szóban az igazság fogalma is benne foglaltatik (tehát az eldöntés helyes eldöntést jelent), akkor nincs igaza.
Nincs időm végiggondolni a bizonyítást, de ha jól sejtem, azt kell csinálni (vagy úgy is lehet csinálni), hogy vesszük az első |K| elemű oszlop által generált ideált (ami főideál), annak egy generátorát stb. és így n lépésben sorra megkapjuk a keresett bázist és együtthatókat. Tehát igazából véges sok lépésben megy a dolog, felhasználva, hogy R-ben minden ideál főideál. Az euklideszi algoritmus valószínűleg csak ködösítés, pontosabban ez az algoritmus garantálni tudja, hogy minden ideál főideál legyen, de ennek bizonyításában sincs szükség végtelen sok lépésre.
Másfelől olyan nagyon is van és elterjedt a matematikában, hogy végtelen sok lépésben definiálunk valamit (pl. egy függvényt). Nevezheted eljárásnak, de valójában definícióról van szó (amihez esetleg fel kell használni egy kiválasztási függvényt, amiért a végtermék nem lesz kanonikus). Ezt transzfinit rekurziónak hívják, és a halmazelmélet egyik alapvető fogalma (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Transfinite_recursion). Elképzelhető, hogy az említett bizonyítás (ahogy az órán elhangzott) ilyet használ vagy legalábbis ezzel lehetne formalizálni: tehát rekurzívan megy végig a mátrixelemeken és definiál hozzájuk rendelt mennyiségeket. De mint mondtam, szerintem erre nincs szükség, a |K|xn-es mátrix csak szemléletesebbé teszi a bizonyítást, aminek ötlete, hogy bizonyos együtthatóhalmazok legnagyobb közös osztóját tekinti (tehát az általuk generált ideál egy generátorelemét).
Félreérthetően fogalmaztam, nem az érdekelt, hogy kontinuum sokszor iterálom az összeadást (de az is érdekes lehet), hanem a fenti tétel bizonyításánál egy végtelen mátrix minden elemén el kell végezni egy valamilyen műveletet.
DancingerF,
(4654)-et elolvasásra javaslom,
továbbá a végtelen, akár kontinuum-sok műveletet ne érezd misztikusnak. Gondolj a halmazelméleti unióra. Az is művelet, ha végesen alkalmazzuk, azután mégis milyen jól működik - tetszőlegesen nagy számosságra -, ha végtelen sok halmazra alkalmazzuk. Más esetekben is lehet egy művelet általánosítása értelmes. Erre (4654)-ben adok is példát.
Dancinger-nek csak azt próbáltam elmagyarázni, hogy eldönthetetlen sztringhalmaz (formulahalmaz, számhalmaz, problémahalmaz, bármi) nem lehet véges
A ZFC egy kvázi-ontológia (vagy valódi). A csoportelmélet (a minden csoportban igaz azonosságok elmélete) ZFC szerint eldönthetetlen, és ha ZFC az "ontológia", akkor valóban azért, mert végtelen.
Van olyan konstruktivista logika, amely ontológiája (fundamentumául szolgáló típuselmélete+predikátumkalkulusa és bizonyítási rendszere) alapján a csoportelmélet már eldönthető.
Véges sztringhalmaz is lehet eldönthetetlen, pl. "párhuzamos univerzum, melyet sosem érhetünk el, létezik?" Ha mégis eldönthető, az azért van, mert ontológiát raktunk a gépbe amely alapján a válasz már következik.
Nem fogadhatom el, hogy a "buta" gép, amely csak kiír (pl. a Con(ZFC)-t), azonos filozófiai státusszal bír, mint az, amelybe hosszas vívódás után egy filozófián (pl. ZFC konzisztens bővítésein) alapuló programot raktunk, és a gép ezzel a programmal írja ki Con(ZFC)-t.
Ezt egyébként senki sem gondolja így [hogy a két gép azonos metafizikai státuszú].
Így száműznénk az értelmet a matematikai gondolkodásból - sőt, talán mindenféle gondolkodásból, amit a Turing-gép modellezni tud.
Nem írtam ki a teljes gondolatmenetet (mert spekulatív). A Kumulatív Hierarchia a két operációval (limesznél unió) a Pótlást tudja - intuitíve -, mert mivel "minden halmaz, ami csak lehetséges, benne van", így minden definícióval megadott halmaz is benne van.
A Pótlási séma intuitív lényege itt ez: halmaz definícióval adott képe benne van a Hierarchiában (hiszen másik halmaznak a kép része), és ha benne van, a kép is halmaz lesz, hiszen a Hierarchia "tömör", mert a hatványhalmaz-operáció gondoskodik arról, hogy ne legyen lyuk a Hierarchián, tehát olyan definíció, amely valódi osztály.
Ha ugyanis lenne lyuk, az benne lenne egy halmazban, márpedig feltettük, hogy a hatványhalmaz-operáció előállít "minden lehetséges" halmazt.
A kis valódi osztály ugyanis része lenne halmaznak, és a hatványhalmaz-operáció ezért (intuitíve) őt is halmaznak posztulálja (mert ez konzisztens), és ez az operáció "minden részre vonatkozik, amire csak lehet", mindent halmazzá tesz, amit csak (ellentmondás nélkül) lehet.
Hangsúlyozom, ez egy metafizikai gondolatmenet (ahogyan Boolos-é is).
Shoenfield-nek van egy sztint-elmélete is erről.
Ezt tudnom kellene, de nem tudom. Miről van szó, és mi a referencia?
egy végtelen mátrix minden elemén el kell végezni egy valamilyen műveletet
Mivel egy végtelen mátrix elemei halmazt alkotnak, a Replacement axióma miatt el tudsz végezni ilyen műveletet minden elemen, feltéve, hogy formulával tudod definiálni azt (esetleg paraméterekkel).
De az eredeti probléma még mindig áll, vagyis hogy mit csinál egy végtelen eljárás egy "nem eldönthető" mátrixszal (hú basszus ezt hogy is kell írni...). Persze a kérdésben leírt fogalmakkal nem vagyok 100 százalékig tisztában, csak tudom, hogy vannak ilyen fogalmak, és érdekelne a válasz. Ha értelmetlen a kérdés, az is érdekel.
Persze amikor gondolkodtam a kérdéseden nem gondoltam át a Turing-gép definícióját, az ilyen trivialitásokra sem gondoltam. Persze az is nyilvánvaló, hogy ZFC konzisztenciáját tekintve nem mondott semmit a megoldás. Ha a véleményemet kérdeznék (amire persze továbbra is igaz az állítás, hogy vélemény~segglyuk), akkor azt mondanám, hogy ettől nem lesz ZFC konzisztenciája eldönthető.
A 4623-beli tétel bizonyításáról beszéltem, amely egy végtelen eljárást használ. Félreérthetően fogalmaztam, nem az érdekelt, hogy kontinuum sokszor iterálom az összeadást (de az is érdekes lehet), hanem a fenti tétel bizonyításánál egy végtelen mátrix minden elemén el kell végezni egy valamilyen műveletet.
Nautilus a szavaimba köt bele. Én itt nem fogok vitázni azon, hogy mit jelent a magyar nyelvben az, hogy "aszerint, hogy ZFC konzisztens vagy sem". Dancinger-nek csak azt próbáltam elmagyarázni, hogy eldönthetetlen sztringhalmaz (formulahalmaz, számhalmaz, problémahalmaz, bármi) nem lehet véges (mert úgy tűnt, ez nem világos számára).
